高等数学对数留数与辐角原理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第四节 对数留数与辐角原理,一、对数留数,二、辐角原理,三、路西定理,四、小结与思考,一、对数留数,1.,定义,具有下列形式的积分,:,说明,:,1),对数留数即函数,f,(,z,),的对数的导数,在,C,内孤立奇点处的留数的代数和,;,2),函数,f,(,z,),的零点和奇点都可能是,的奇点,.,2.,定理一,内零点的总个数,P,为,f,(,z,),在,C,内极点的总个数,.,其中,N,为,f,(,z,),在,C,且,C,取正向,.,注意,:,m,级的零点或极点算作,m,个零点或极点,.,证,证毕,由以上所述和留数定理，得,二、辐角原理,.,不一定为简单闭曲线,其可按正向或负向绕原,点若干圈,.,1.,对数留数的几何意义,单值函数,等于零,结论,:,(,k,总为整数,),对数留数的,几何意义,是 绕原点的,回转次数,k,由定理一及对数留数的几何意义得,可计算,f(z),在,C,内零点的个数,此结果称为辐角原理,2,定理二,(,辐角原理,),如果,f,(,z,),在简单闭曲线,C,上与,C,内解析,且在,C,上不等于零,那么,f,(,z,),在,C,内零点的个数,等于,乘以当,z,沿,C,的正向绕行一周,f,(,z,),的辐角的改变量,.,三、路西定理,定理三,(,路西定理或儒歇定理,),说明,:,利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较,.,证,在,C,内部解析,证毕,例,1,试证方程,证,在圆内的零点数为,n,在圆内的零点数也为,n,例,2,对数留数,.,解,所以这些零点是二级零点,从而是,f,(,z,),的二级极点,.,所以由对数留数公式得,四、小结与思考,通过本课的学习,应熟悉对数留数及其与函,数的零点及极点的关系,;,了解辐角原理与路西定,理,.,思考题,提示：利用儒歇定理，令,f(z)=,？,思考题答案,只有一个根,.,放映结束，按,Esc,退出,.,