5.2期货和远期定价

,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Nankai University,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title style,期货和远期的定价,南开大学数学科学学院,白晓棠,Nankai University,Contents,什么是远期,1,期货与远期的不同,2,利率远期,3,无套利远期定价,4,5,现货,远期平价定理,Nankai University,远期,远期合约是,20,世纪,80,年代初兴起的一种金融衍生产品，它是一种交易双方约定在未来的某一确定时间，以确定的价格买卖一定数量的某种资产的合约。,合约中要规定交易的标的物、有效期和交割时的执行价格等项内容。,期货与远期的定义很相似但是细细观察不难看出它们还是有一些差别的。,再考虑到其交易方式等细节，我们总结它们的主要区别如下：,Nankai University,期货和远期的区别,1,、交易场所不同。,2,、合约的规范性不同。,3,、交易风险不同。,4,、保证金制度不同。,5,、履约责任不同。,6,、会计上的优势不同。,Nankai University,远期利率协议,在所有远期市场中，货币远期市场是最为发达的。,主要的金融远期合约：远期利率协议（,FRA,）、远期外汇合约和远期股票合约。,远期利率协议（,FRA,）是,1983,年由银行引入的一种远期合约。协议双方同意按某项“存款”支付某个利率。,名义本金、合约利率和参考利率（结算日所流行的市场利率）三者一道共同确定以单个现金结算的方式支付和接受的利息差额的大小。,名义本金（存款）本身并不实际交换。,Nankai University,远期利率协议,实际支付和接受的数额由以下两个步骤确定：,第一步，取合约结算日的参考利率与协议利率之差，将这个差与名义本金相乘，再乘以存款的期限。,第二步，利用参考利率作为折现率，将在第一步求得的和折现，最后得到的现值就是支付或接受的数额。,参考利率常常取,LIBOR,。,3,个月对,9,个月的,LIBOR3,个月后开始并在,9,个月末结束,6,个月期的,LIBOR,。,Nankai University,什么是,Libor,？,Libor,（,LondonInterbankOfferedRate,），即伦敦同业拆借利率，是指伦敦的第一流银行之间短期资金借贷的利率，是国际金融市场中大多数浮动利率的基础利率。,作为银行从市场上筹集资金进行转贷的融资成本，贷款协议中议定的,LIBOR,通常是由几家指定的参考银行，在规定的时间（一般是伦敦时间上午,11,：,00,）报价的平均利率。最经常使用的是,3,个月和,6,个月的,Libor,。,Nankai University,远期利率的例子,假设美国银行需要锁定,3,个月后开始的,500,万美元期限为,6,个月的基于,LIBOR,的融资利率。即,3,个月后，银行将贷出,6,个月期的,500,万美元给客户。然而，客户需要立即从银行处确定利率。,银行不能自己给出利率承诺，他与某个远期利率协议交易商联系。当时，,6,个月的,LIBOR,报价为,8.25%,。银行向交易商询问,3,个月对,9,个月期的,LIBOR,交易商报价为,8.32%,，这家银行接受了（即成为了远期的买方）。,Nankai University,远期利率的例子,银行向它的客户报出,8.82%,的利率，银行在融资成本上加,50,个基点，来实现自己的利润并抵补所承担的信用风险。,假设,3,个月后,6,个月期的,LIBOR,利率为,8.95%,。于是银行在欧洲货币市场以,8.95%,的利率获得,500,万美元的,LIBOR,存款并将其以承诺利率,8.82%,贷给客户。,银行的损益为,（,8.82%-8.95%,）,5000000 182/360,=-3286.11,美元,Nankai University,远期利率的例子,虽然在贷款中有损失，但银行却可以在他对冲保值的远期合约中获得盈亏：,1 (8.95%-8.32%)5000000 182/360,=15925,美元,银行此次的总盈亏为,15925-3286.11=12639,美元,接受,/,支付的量是要用参考利率折现的（,why?,）,15925/(1+8.95%182/360)=15235.59,Nankai University,远期利率的确定,对于上面的例子我们给出了,39,的,LIBOR,，如果我们给出的是现在执行的,9,个月期的固定利率及现在执行的,3,个月期的固定利率是否可以计算出,39,的固定利率呢？,所谓远期利率就是指现在时刻的将来一定期限上的利率。那么远期利率是如何确定的呢？,远期利率可以由一系列即期利率决定：,例如，如果,1,年期的即期利率为,10%,，,2,年期的即期利率为,10.5%,，那么其隐含的意思是,1,年到,2,年的远期利率为,11%,。（,Why,？）,Nankai University,远期利率的确定,这是因为,一般地，如果现在时刻为,t,，,T,时刻到期的即期利率为,r,，,T*,时刻（,T*,T,）到期的即期利率为,r*,，则,t,时刻的,T*,-,T,期间的远期利率 可以通过下面式子求得：,注意，上式是每年计息一次的结果。当复利进行计算时我们要另行讨论。,Nankai University,远期利率的确定,对于复利的情形我们利用连续复利计算比较方便。,在前面我们讨论过名义年利率为,r,，每年记,m,次复利的,n,年期有效利率为：,而对于年连续复利 ，我们有,n,年期有效利率为：,所以我们可以得到每年计,m,次复利与连续复利之间的换算关系为：,Nankai University,远期利率的确定,当即期利率和远期利率所用的利率均为连续复利时，即期利率和远期利率可以表示为：,于是有,对于我们前面的例子，若一年期和两年期的连续复利年利率分别为,10%,和,10.5%,，则一年到两年的连续复利远期利率为,11%,，因为,Nankai University,远期和期货合约的定价,为了下面讨论方便，我们定义,T,：远期和期货合约到期的时间，单位为年；,t,：现在的时间；,S,：标的资产在,t,时刻的价格；,S,T,：标的资产在,T,时刻的价格；,K,：远期合约中的交割价格；,f,：远期合约多头在,t,时刻的价格；,F,：,t,时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理论价格。,r,：,T,时刻到期的以连续复利计算的,t,时刻的无风险利率。,Nankai University,无收益资产远期合约的定价,我们所用的定价方法为无套利定价法。其基本思路为：构建两种投资自合，让其终值相等，则其现值一定相等。,为了给无收益资产的远期定价我们可以构建如下两种组合：,组合,A,：一份远期合约多头加上一笔数额为 的现金；,组合,B,：一单位标的资产。,在组合,A,中，的现金以无风险利率投资，投资期为 。到,T,时刻，其金额将达到,K,。,Nankai University,无收益资产远期合约的定价,在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。根据无套利原则，这两种组合在,t,时刻的价值必须相等，即：,无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差。,Nankai University,现货,远期平价定理,远期价格（,F,）就是使合约价值（,f,）为零的交割价格，即当 时，。则,这就是无收益资产的现货,远期平价定理（,Spot-Forward Parity Theorem,）。,大家思考一下如果上面的等式不成立会出现什么情况？,（,1,）,（,2,）,Nankai University,现货,远期平价定理,若 ，说明交割价格大于现货的终值。,在此情形下，套利者可以按无风险利率,r,借入现金,S,，期限为,T,-,t,。然后用,S,买一单位的标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为,F,。,若 ，说明交割价格小于现货的终值。,在此情形下，套利者可以卖空一单位的标的资产，将所得收入以无风险利率,r,进行投资，期限为,T,-,t,，,同时买进一份该资产的远期合约，交割价格为,F,。,Nankai University,例题及练习,例 设一份标的资产为一年期债券的剩余期限为,6,个月的远期合约多头，其交割价格为,950,美元，,6,个月期的无风险年利率（连续复利）为,6%,，该债券的现价为,930,美元。求此份远期合约多头的价值？,解 由于,故,此份远期合约多头的价值为：,8.08,美元。,Nankai University,例题及练习,例 假设一年期的贴现债券价格为,960,美元，,3,个月期无风险年利率为,5%,，则,3,个月期的该债券远期合约的交割价格应为多少？,解 根据现货,远期平价定理,故,3,个月期的远期合约的交割价格应为,972,美元。,Nankai University,远期价格的期限结构,下面我们讨论不同期限远期价格之间的关系。,F,：,T,时刻交割的远期价格；,F*,：,T*,时刻交割的远期价格；,r,：,T,时刻到期的无风险利率；,r*,：,T*,时刻到期的无风险利率；,：,T,时刻到,T*,时刻的无风险远期利率；,由现货,远期平价定理,即,Nankai University,远期价格的期限结构,例 假设某种不付红利股票,6,个月远期的价格为,20,元，目前市场上,6,个月至,1,年的远期利率为,8%,，求该股票,1,年期的远期价格。,解 根据不同期限远期价格之间的关系：,于是该股票,1,年期远期价格为,Nankai University,远期利率协议的定价,在刚才我们提到过，远期利率协议是空方承诺在未来某个时刻（,T,时刻），将一定数额的名义本金（,A,）按约定的合同利率（,r,K,）在一定的期限（,T*,-,T,）贷给多方的远期协议。,本金,A,在借贷期间会产生固定的收益率,r,，因此其属于支付已知收益率资产的远期合约。,远期利率协议多方（即借入本金的一方）的现金流为：,T,时刻：,A,T*,时刻：,Nankai University,远期利率协议的定价,这些现金流的现值即为远期利率协议多头的价值。为此，我们要先将,T*,时刻的现金流用,T*,-,T,期限的远期利率（）贴现到,T,时刻，再贴现到现在时刻,t,，即：,这里的远期价格就是合同利率。根据远期价格的定义，远期利率就是使远期合约价值为,0,的协议价格（,r,K,）。,理论上远期利率（,r,F,）应与 相等。,Nankai University,远期外汇综合协议的定价,例 假设,2,年期即期年利率（连续复利）为,10.5%,，,3,年期即期年利率为,11%,，本金为,100,万美元的,2 3,年远期利率协议的合同利率为,11%,，请问该远期利率协议的价值和理论上的合同利率等于多少？,解 根据远期利率定价公式有,该合约的价值为,Nankai University,期货价格,期货价格与预期的未来现货价格的关系,E,(,S,T,),：现在市场上预期的标的资产在,T,时刻的市价；,y,：表示该资产的连续复利收益率；,t,：为现在时刻。,于是,与远期定价讨论类似，对期货价格也有：,Nankai University,期货价格,根据资本资产定价原理：,若标的资产的系统性风险为,0,，则,y=r,；,若标的资产的系统性风险大于零，则,yr,；,若标的资产的系统性风险小于零，则,yr,。,在现实生活中，大多数标的资产的系统性风险都大于零，因此在大多数情况下，,F,都小于,E,（,S,T,）。,对于有收益资产我们也可以得出同样