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,27.2,相似三角形/,QICAIKETANG,2,4,.,2,点和圆、直线和圆的位置关系/,27.2,相似三角形/,27.2,相似三角形,第一课时,第二课时,第三课时,第四课时,人教版 数学 九,年级 下册,27.2.1,相似三角形的判定,1,27.2相似三角形第一课时第二课时第三课时第四课时人教版 数,平行线分线段成比例定理,及其推论,第一课时,返回,2,平行线分线段成比例定理第一课时返回2,1.,相似多边形的特征是什么？,2.,怎样判定两个多边形相似？,3.,什么叫相似比？,4.,相似多边形中，最简单的就是相似三角形如果,A,A,1,，,B,B,1,，,C,C,1,， ，,那么,ABC,与,A,1,B,1,C,1,相似吗？我们还有其他方法判定两个三角形相似吗？,导入新知,A,B,C,A,1,B,1,C,1,3,1.相似多边形的特征是什么？导入新知ABCA1B1C13,1.,理解,相似三角形,的概念,，,并会用以证明和计算,.,2.,体会用相似符号“”表示的相似三角形之间的,边，角对应,关系,.,素养目标,3.,掌握,平行线分线段成比例,的基本事实及其推论的,应用,，会用平行线判定两个三角形相似并进行证明和计算,.,1. 理解相似三角形的概念，并会用以证明和计算. 2.体会用,请分别度量,l,3,l,4,l,5,.,在,l,1,上截得的两条线段,AB,BC,和在,l,2,上截得的两条线段,DE,EF,的长度,AB,：,BC,与,DE,：,EF,相等吗？任意平移,l,5,再量度,AB,BC,DE,EF,的长度,它们的比值还相等吗？,?,?,?,?,猜想,A,B,C,D,E,F,l,2,探究新知,l,1,除此之外，还有其他对应线段成比例吗？,l,2,l,3,l,4,l,5,知识点,1,平行线分线段成比例定理,若,，,那么,若 ， 那么,即,请分别度量l3 , l4, l5.在l1 上截得的两,事实上，当,l,3,/,l,4,/,l,5,时，都可以得到 ，还可以得到 ， ， 等,.,A,B,C,D,E,F,l,3,l,4,l,5,l,1,l,2,通过探究，你得到了什么规律呢？,探究新知,事实上，当l3 /l4 / l5时，都可以得到,一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：,两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.,符号语言：,若,ab c,，,则,， ，,归纳：,A,1,A,2,A,3,B,1,B,2,B,3,b,c,a,探究新知,7,一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：符号语言,1,.,如何理解“对应线段”？,2,.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？,【,想一想,】,探究新知,【想一想】 探究新知,1,.,如图，已知,l,1,l,2,l,3,，,下列比例式中错误的是,( ),A. B.,C. D.,D,A,C,E,B,D,F,l,2,l,1,l,3,巩固练习,1.如图，已知l1l2l3，下列比例式中错误的是 (,如图，直线,l,3,l,4,l,5,，由,平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，,A,B,C,D,E,F,l,4,l,5,l,1,l,2,l,3,把直线,l,1,向左或向右任意平移，这些线段依然成比例,.,探究新知,知识点,2,平行线分线段成比例定理的推论,如图，直线l3l4l5，由平行线分线段成比例的基本,【,思考,】,如果把图,1,中,l,1,l,2,两条直线相交，交点,A,刚好落到,l,3,上，如图,2,（,1,），,所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？,A,B,C,D,E,F,l,3,l,4,l,5,l,1,l,2,探究新知,图,1,图,2,（,1,）,A,（,D,）,E,F,C,B,11,【思考】 如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点,【,思考,】,如果把图,1,中,l,1,l,2,两条直线相交，交点,A,刚好落到,l,4,上，如图,2,（,2,）,所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？,探究新知,图,1,图,2,（,2,）,A,B,C,D,E,F,l,3,l,4,l,5,l,1,l,2,B,C,E,A,D,l,1,l,2,l,3,l,4,l,5,12,【思考】如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚好落,l,2,l,3,l,1,l,3,l,l,平行于三角形一边的直线截其他两边,(,或两边的延长线,),所得的对应线段成比例,.,A,B,C,D,E,l,2,A,B,C,D,E,l,1,l,l,探究新知,归纳：,13,l2l3l1l3ll 平行于三角形一边的直线截其他,巩固练习,2.,如图,l,1,l,2,l,3,，,，,DE,6,，求,DF,的长,解：,l,1,l,2,l,3,，, .,又, ，,DE,6，, ，,解得,EF,4.,DF,DE,EF,6410,.,l,1,l,2,l,3,巩固练习2.如图,l1l2l3， ，DE,例,1,如图，在,ABC,中,，,DE,BC,，,AC,=4,，,AB,=3,，,EC,=1.,求,AD,和,BD,.,AE=,3,.,解：,AC=,4,，,EC=,1,，,DEBC,，,AD=,2.25,，,BD=,0.75,.,探究新知,素养考点,1,利用平行线分线段成比例定理及推论求线段,15,例1 如图，在ABC中，DEBC，AC=4 ，,3.,如图，在,ABC,中,，,EF,BC,，,AE,=2cm,，,BE,=6cm,，,FC,=3cm,，,AF,的长为,_,1cm,巩固练习,16,3. 如图，在ABC中，EFBC，AE=2cm，1cm巩,如图，在,ABC,中，,D,为,AB,上任意一点，过点,D,作,BC,的平行线,DE,，交,AC,于点,E,.,问题,1,ADE,与,ABC,的三个角分别相等吗？,问题,2,分别度量,ADE,与,ABC,的边长，它们的边,长是否对应成比例？,B,C,A,D,E,探究新知,知识点,3,相似三角形的判定定理,如图，在ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC,问题3,你认为,ADE,与,ABC,之间有什么关系？平行移动,DE,的位置，你的结论还成立吗？,通过度量，我们发现,ADE,ABC,，,且只要,DEBC,，,这个结论恒成立,.,探究新知,B,C,A,D,E,问题3 你认为ADE与ABC之间有什么关系？平行移动DE,【,思考,】,1.,我们通过度量三角形的边长，知道,ADE,ABC,，但要用相似的定义去证明它，我们需要证明什么？,2.,由前面的结论，我们可以得到什么？还需证明什么？,探究新知,用相似的定义证明,ADE,ABC,B,C,A,D,E,【思考】1.我们通过度量三角形的边长，知道ADE,A,B,C,D,E,证明,:,在,ADE,与,ABC,中，,A,= ,A,DE,/,BC,ADE,=,B, ,AED,=,C,，,过,E,作,EF,/,AB,交,BC,于,F,四边形,DBFE,是平行四边形,F,DE,=,BF,ADE,ABC,探究新知,则,已知：如图,，在,ABC,中，,DE,/,BC,，,且,DE,分别交,AB,，,AC,于点,D,、,E,求证：,ADE,ABC .,ABCDE证明:在ADE与ABC中，A= A DE,“A”,型,“X”,型,（图,2,）,D,E,O,B,C,A,B,C,D,E,（图,1,）,探究新知,定理：,平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成,的三角形与原三角形相似,.,符号语言：,DE,/,BC,ADE,ABC,“A”型 “X”型 （图2）DEOBCABCDE（图1）探究,【,讨论,】,过点,D,作与,AC,平行的直线与,BC,相交，可否证明,ADE,ABC,？如果在三角形中出现一边的平行线，那么你应该联想到什么？,【,方法总结,】,过点,D,作与,AC,平行的直线与,BC,相交，仍可证明,ADE,ABC,，这与教材第,31,页证法雷同题目中有平行线，可得,相似三角形,，然后利用相似三角形的性质，可列出比例式,探究新知,【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证明ADE,4,.,已知：如图，,ABEFCD,，,图中共有_对相似三角形,.,3,C,D,A,B,E,F,O,相似具有传递性,巩固练习,4. 已知：如图，ABEFCD，图中共有_对相似三角,连接中考,巩固练习,（2018临安区）如图，在,ABC,中，,DE,BC,，,DE,分别与,AB,，,AC,相交于点,D,，,E,，若,AD,=4，,DB,=2，,则,DE,：,BC,的值,为（）,A,B,C,D,A,连接中考巩固练习 （2018临安区）如图，在ABC中,1,.,如图，在,ABC,中，,EFBC,，,AE,=2cm，,BE,=6cm，,BC,= 4 cm，,EF,长（ ）,A,A. 1,cm,B.,cm,C. 3,cm,D.,2cm,A,B,C,E,F,课堂检测,基础巩固题,1. 如图，在 ABC 中，EFBC，AE=2cm，BE,2.,如图,，,DEBC,， ，,；,FGBC,，,，,则,.,A,B,C,E,D,F,G,课堂检测,基础巩固题,2.如图，DEBC， ，,3.,如图，在,ABC,中，,EFBC,.,（,1,）如果,E,、,F,分别是,AB,和,AC,上的点，,AE,=,BE,=7，,FC,= 4 ，那么,AF,的长是多少？,A,B,C,E,F,解：,解得,AF,= 4,.,课堂检测,基础巩固题,3.如图，在ABC中， EFBC.ABCEF解：解得,(,2,),如果,AB,= 10，,AE,=6，,AF,= 5，那么,FC,的长是多少？,解：,基础巩固题,解得,.,A,B,C,E,F,课堂检测,(2) 如果AB = 10，AE=6，AF = 5，那么 F,如图所示，如果,D,，,E,，,F,分别在,OA,，,OB,，,OC,上，且,DF,AC,，,EF,BC,求证：,OD,OA,OE,OB,证明：,DF,AC,，,EF,BC,，,课堂检测,能力提升题,29,如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，O,如图，已知菱形,ABCD,内接于,AEF,，,AE,=5cm，,AF,= 4 cm，求菱形的边长.,解：,四边形,ABCD,为菱形，,B,C,A,D,E,F,CDAB,，,设菱形的边长为,x,cm,，则,CD,=,AD,=,x,cm,，,DF,=,(,4,x,）,cm,，,解得,菱形的边长为,cm.,课堂检测,拓广探索题,如图，已知菱形 ABCD 内接于AEF，A,两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例,.,推论,平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线）,，,所得的对应线段成比例,.,相似三角形判定的引理,平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似,.,基本事实,平行线分线段成比例,课堂小结,两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论平行于三,三边成比例的两个三角形相似,第二课时,返回,A,B,C,D,E,D,E,O,B,C,32,三边成比例的两个三角形相似第二课时返回ABCDEDEOBC3,学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等对应边相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（,SSS,、,SAS,、,ASA,、,AAS,）类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？,类似于判定三角形全等的,SSS,方法，我们能不能通过三边来判断两个三角形相似呢？,探究探究！,讨论一下？,导入新知,33,学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相,2.,会运用“,三组对应边的比相等的两个三角形相似,”判定两个三角形相似，并能进行相关计算与推理,.,1.,复习已经学过的,三角形相似的判定定理,.,素养目标,2. 会运用“三组对应边的比相等的两个三角形相似”判定两个三,1,.,定义法,:,对应角相等,，,对应边的比相等,的两个三角形相似,.,如何判断两个三角形是否相似,?,DE,BC, ,ADE, ,ABC,D,E,A,B,C,A,B,C,D,E,2.,平行法,:,平行于,三角形一边的直线和其他两边,(,或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似,.,A,型,X,型,探究新知,知识点,1,三边对应成比例的两三角形相似,还有没有其他简单的判断方法呢？,1.定义法:对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似.如何,是否有,ABC,ABC,？,A,B,C,三边对应成比例,探究新知,C,B,A,36,是否有ABCABC？ABC三边对应成比例探究,A,B,C,C,B,A,通过测量不难发现,A,=,A,，,B,=,B,，,C,=,C,，,又因为两个三角形的边对应成比例，,所以,ABC,ABC,.,下面我们用前,面所学的定理,证明该结论,.,探究新知,ABCCBA 通过测量不难发现A=A，,已知,:,如图，在,ABC,和,A,B,C,中，,A,B,:,AB,=,A,C,:,AC,=,B,C,:,BC,.,求证,:,ABC,A,B,C,证明,:,在,ABC,的边,AB,(,或延长线,),上截取,AD=A,B,A,B,C,A,B,C,D,E,过点,D,作,DEBC,交,AC,于点,E,.,又,A,B,:,AB=B,C,:,BC=C,A,:,CA,AD:AB=AE:AC=DE:BC,ADE,ABC,AD=A,B,AD:AB=A,B,:AB,DE:BC=B,C,:BC,EA:CA=C,A,:CA.,因此,DE=B,C,EA=C,A,.,A,B,C,ABC,ADE,A,B,C,探究新知,已知:如图，在ABC和ABC中，AB:AB=A,由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：,三边成比例的两个三角形相似,归纳：,，,ABC, ,A,B,C,.,符号语言：,探究新知,由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：归纳：,【,讨论,】,在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻找对应边？,【,方法点拨,】,利用三边的比判定两个三角形相似时，应先将两个三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似,探究新知,【讨论】在用三边的比判定两个三角形相似时，如何寻找对应边？【,例,1,已知,AB,=4 cm,，,BC,=6 cm,，,AC,=8 cm,，,A,B,=12 cm,，,B,C,=18 cm,，,A,C,=24 cm,，试说明,ABC,A,B,C,.,ABC,A,B,C,探究新知,素养考点,1,利用三边成比例判断三角形相似,解：,41,例1 已知AB=4 cm，BC=6 cm ，AC,探究新知,方法点拨,判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的,比值,，看是否相等，计算时,最大边与最大边对应,，,最短边与最短边对应,.,42,探究新知 方法点拨 判定三角形相似的方法之一：如果题中,1.,在,ABC,和,DEF,中,，,如果,AB,4,，,BC,3,，,AC,6,；,DE,2.4,，,EF,1.2,，,FD,1.6,，,那么这两个三角形能否相似的结论是,_,，理由是,_,2.,如图，在大小为,44,的正方形网格中，是相似三角形的是（,）,相似,C,三组对应边的比相等,巩固练习,A. 和 B. 和 C. 和 D. 和,43,1.在ABC和DEF中，如果AB4，BC3，AC6,例,2,如图，在,Rt,ABC,与,Rt,ABC,中,，,C,=,C,= 90,，,且,求证：,ABC,ABC,.,证明：,由已知条件得,AB,= 2,A,B,，,AC,= 2,A,C,，,BC,2,=,AB,2,AC,2,= ( 2,A,B, ),2,( 2,A,C, ),2,= 4,A,B,2,4,A,C,2,= 4 (,A,B,2,A,C,2,) = 4,B,C,2,= ( 2,B,C, ),2,.,ABC,ABC,.,BC,=2,B,C,，,探究新知,素养考点,2,判断三角形相似,例2 如图，在 RtABC 与 RtABC中,3,.,如图，,ABC,中，点,D,，,E,，,F,分别是,AB,，,BC,，,CA,的中点，求证：,ABC,EFD,ABC,EFD,.,证明：,ABC,中，点,D,，,E,，,F,分别是,AB,，,BC,，,CA,的中点，,巩固练习,3. 如图，ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，,试说明,BAD,=,CAE,.,A,D,C,E,B,ABC,ADE,BAC=,DAE,BAC,DAC=DAE,DAC,即,BAD=CAE,例,3,如图已知：,解：,探究新知,素养考点,3,利用三角形相似求角相等,46,试说明BAD=CAE.ADCEBABCADE例3,解：,相等的角有,BAC,=,DAE,，,B,=,ADE,，,C,=,E,，,BAD,=,CAE,.,理由如下：,在,ABC,和,ADE,中,，,AB,:,A,D,=,BC,:,DE,=,AC,:,AE,，,ABC,ADE,，,BAC,=,DAE,，,B,=,ADE,，,C,=,E,.,BAC,CAD,=,DAE,CAD,，,BAD,=,CAE,.,故图中相等的角有,BAC,=,DAE,，,B,=A,DE,，,C,=,E,，,BAD,=,CAE,.,4.,如图，已知,AB,:,A,D,=,BC,:,DE,=,AC,:,AE,，,找出图中相等的角,(,对顶角除外,),，并说明你的理由,.,A,B,C,D,E,巩固练习,解：相等的角有BAC=DAE， 4. 如图，已知 AB,（,2018,临安,）,如图，小正方形的边长均为,1，,则下列图中的三角形（阴影部分）与,ABC,相似的是,（）,A,B,C,D,连接中考,巩固练习,B,（2018临安）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的,1,下列各组三角形一定相似的是（ ）,A,两个直角三角形,B,两个钝角三角形,C,两个等腰三角形,D,两个等边三角形,D,2,.,下列判断，不正确的是（ ）,A两条直角边分别是3、4和6、8的两个直角三角形相似.,B斜边长和一条直角边长分别是 、 4和 、2的两个直角三角形相似.,C两条边长分别是,7、4,和,14、8,的两个直角三角形相似.,D斜边长和一条直角边长分别是,5、3,和,2.5、1.5,的两个直角三角形相似.,C,课堂检测,基础巩固题,49,1下列各组三角形一定相似的是（ ）D2.下列,3.,如图,，,APD,=90，,AP,=,PB,=,BC,=,CD,，,下列结论正确,的是（ ）,A. ,PAB,PCA,B. ,PAB,PDA,C. ,ABC,DBA,D. ,ABC,DCA,A,C,B,P,D,C,课堂检测,基础巩固题,3. 如图，APD=90，AP=PB=BC=CD，下列结,4.,判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由,A,B,C,3,3.5,4,D,F,E,1.8,2.1,2.4,课堂检测,基础巩固题,4. 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由ABC33.,解：,在,ABC,中,，,AB,BC,CA,，,在,DEF,中,，,DE,EF,FD.,DEF, ABC,.,， ， ，,.,课堂检测,基础巩固题,D,F,E,1.8,2.1,2.4,A,B,C,3,3.5,4,解：在 ABC 中，AB BC CA，在 DE,要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为,4,、,5,、,6,，另一个三角形框架的一边长为,2,，它的另外两条边长应当是多少？你有几个答案？,方案,(,1,),解：,设另外两条边长分别为,x,y,方案,(,2,),方案,(,3,),课堂检测,能力提升题,要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的,如图，某地四个乡镇,A,，,B,，,C,，,D,之间建有公路， 已知,AB,= 14,千米，,AD,= 28,千米,，,BD,= 21,千米,，,DC,= 31.5,千米，公路,AB,与,CD,平行吗？说出你的理由,.,A,C,B,D,28,14,21,42,31.5,解：,公路,AB,与,CD,平行,.,AB,D,B,D,C,，,ABD,=,BDC,，,ABDC,.,课堂检测,拓广探索题,如图，某地四个乡镇 A，B，C，D 之间建有公,三边成比例两个三角形相似,利用,三边,判定两个三角形相似,相似三角形的判定定理的,运用,课堂小结,三边成比例两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似相似三角,两边成比例且夹角相等的两个,三角形相似,第三课时,返回,B,A,C,B,A,C,56,两边成比例且夹角相等的两个第三课时返回BACBAC56,1,.,两个三角形全等有哪些判定方法？,2,.,我们学习过哪些判定三角形相似的方法？,SSS、SAS、ASA、AAS、HL,(,1,),通过,定义,（三边对应成比例，三角分别相等）,(,2,),平行,于三角形一边的直线,(,3,),三边对应成比例,导入新知,57,1. 两个三角形全等有哪些判定方法？SSS、SAS、ASA、,类似于判定三角形全等的,SAS,方法，我们能不,能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？,探究,导入新知,类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不探究导入新,1.,探索,“,两边成比例且夹角相等,的两个三,角形相似,”,的判定定理并且会运用,.,2.,会运用“,两边成比例且夹角相等,”判定两个三角形相似,，并进行相关计算与推理,.,素养目标,1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理,改变,A,或,k,值的大小，再试一试，是否有同样的结论？,实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法,.,等于,k,B,=,B,C,=,C,改变,k,的值具有相同的结论,利用刻度尺和量角器画,ABC,和,A,B,C,，,使,A,A,，,量出它们第三组对应边,BC,和,BC,的长，它们的比,等于,k,吗？另外两组对应角,B,与,B,，,C,与,C,是否相等？,探究新知,知识点,1,两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,改变A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？实际上，我,A,B,C,A,B,C,A,A,如果两个三角形的两组,对应边的比相等,，并且,相应的夹角相等,，那么这两个三角形相似,类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试证明这个结论,ABC, ,A,B,C,探究新知,ABCABCAA 如果两个三角形,已知：如图，,ABC,和,ABC,中,，,A,=,A,，,AB,：,AB,=,AC,：,AC,求证：,ABC, ,ABC,证明：,在,ABC,的边,AB,、,AC,（或它们的延长线）上分别截取,AD,AB,，,AE,AC,，,连结,DE,，,因,A, =,A,，,这样,ABC,ADE,DE,/,BC,ADE, ,ABC,ABC, ,ABC,A,B,C,A,B,C,D,E,探究新知,已知：如图， ABC和 ABC中，A =A，,由此得到利用,两边和夹角,来判定,三角形相似的定理：,两边成比例且夹角相等,的两个三角形相似,符号语言：,A=,A,，,B,A,C,B,A,C,ABC,ABC,.,归纳：,探究新知,63,由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：符号语,【,思考,】,对于,ABC,和,A,B,C,，,如果,A,B,:,AB,=,A,C,:,AC,. ,C,=,C,，,这两个三角形一定会相似吗？,不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个，其中一个和原三角形相似，另一个不相似,.,A,B,C,A,B,B,C,探究新知,64,【思考】对于ABC和 ABC，如果 AB :,探究新知,归纳总结,如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，,相等的角一定要是,两条对应边的夹角,.,65,探究新知 归纳总结 如果两个三角形两边对应,已知,A,120,，,AB,7cm,，,AC,14cm,，,A,120,，,A,B,3cm,，,A,C,6cm,，,判断,ABC,与,A,B,C,是否相似，并说明理由,.,又,A,A,ABC,ABC,例,1,探究新知,素养考点,1,利用,两边成比例且夹角相等,识别三角形相似,两三角形的相似比是多少？,ABC,ABC .,理由如下：,解,：,已知A120，AB7,1.,已知,A,=40,，,AB,=8,，,AC,=15,，,A,=40,，,A,B,=16,，,A,C,=30,，,判断,ABC,与,A,B,C,是否相似，并说明理由,.,解：,ABC,ABC,巩固练习,ABC,A,B,C,.,理由如下：,A,=,A,又,1. 已知A=40，AB=8，AC=15， A =,解：,AE,=1.5,，,AC,=2,，,A,C,B,E,D,例,2,如图，,D,，,E,分别是 ,ABC,的边,AC,，,AB,上的点，,AE,=1.5,，,AC,=2,，,BC,=3,，且 ，求,DE,的长,.,又,EAD,=,CAB,，, ,ADE,ABC,，,探究新知,素养考点,2,利用三角形相似求线段的长度,提示：,解题时要找准对应边,.,解： AE=1.5，AC=2， ACBED例2 如图，D，,2.,如图，在,ABC,中，,AC,BC，D,是边,AC,上一点，连接,BD,（,1,）要使,CBD,CAB,，,还需要补充一个条件是 ;（只要求填一个,）,（,2,）,若,CBD,CAB,，,且,AD,2,，,求,CD,的长,巩固练习,A,B,C,D,解,：,（,1,）,CD,:,CB,BC,:,AC,（,2,）设,CD,x,则,CA,x,2,当,CBD,CAB，,且,AD,2,， ,有,CD,:,CB,BC,:,AC,，,即 ,所以,x,2,x,3,0,解得,x,1,，,x,3,但,x,3,不符合题意,应舍去,所以,CD,1,2.如图，在ABC 中，ACBC，D 是边AC 上一点，,证明：,CD,是边,AB,上的高,，,ADC,=,CDB,=90,.,ADC,CDB,， ,ACD,=,B,，, ,ACB,=,ACD,+,BCD,=,B,+,BCD,=,90.,A,B,C,D,例,3,如图，,在,ABC,中,，,CD,是边,AB,上的高,，,且,，,求证,：,ACB,=90,探究新知,素养考点,3,利用三角形相似求角,方法总结：,解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等,.,证明： CD 是边 AB 上的高，ADC CDB,3.,如图，已知在,ABC,中，,C,90,，,D,、,E,分别是,AB,、,AC,上的点，,A,E,：,A,D,A,B,：,AC,试问:,DE,与,AB,垂直吗? 为什么?,A,B,C,D,E,证明：,DE,AB,理由如下:,A,E,：,A,D,A,B,：,AC, ,又,A,A,ABC,A,ED,ADE,C,90,DE,与,AB,垂直,巩固练习,3.如图，已知在ABC 中，C90，D、E 分别是A,1.,（201,7,同仁,）,如图，已知：,BAC=EAD，AB=,20.4,，AC=,48,，AE=,17,，AD=,40,求证：,ABC,AED,连接中考,巩固练习,证明：,AB=,20.4,，AC=,48,，AE=,17,，AD=,40,BAC=,EAD,，,ABC,AED, ， ，, ，,1.（2017同仁）如图，已知：BAC=EAD，AB=,1.,如图,，,D,是,ABC,一边,BC,上一点，连接,AD,，,使,ABC, ,DBA,的条件是,（ ）,A,.,AC,:,BC=AD,:,BD,B,.,AC,:,BC=AB,:,AD,C,.,AB,2,=,CD,BC,D,.,AB,2,=,BD,BC,D,A,B,C,D,课堂检测,基础巩固题,1. 如图，D 是 ABC 一边 BC 上一点，连接 AD,2.,在,ABC,和,DEF,中,，,C,=,F,=70,，,AC,= 3.5 cm,，,BC,= 2.5 cm,，,DF,=2.1 cm,，,EF,=1.5 cm.,求证,：,DEF,ABC,.,A,C,B,F,E,D,证明：,AC,= 3.5 cm,，,BC,= 2.5 cm,，,DF,= 2.1 cm,，,EF,= 1.5 cm,，,又,C,=,F,= 70,，,DEF,ABC,.,课堂检测,基础巩固题,74,2. 在 ABC 和 DEF 中，C =F=70，,3.,如图,，,ABC,与,ADE,都是等腰三角形,，,AD,=,AE,，,AB,=,AC,，,DAB,=,CAE,.,求证：,ABC,ADE,.,证明：,AD,=,AE,，,AB,=,AC,，,又,DAB,= ,CAE,，, ,DAB,+,BAE,= ,CAE,+,BAE,，,即 ,DAE,=,BAC,，,ABC, ,ADE,.,A,B,C,D,E,课堂检测,基础巩固题,75,3. 如图，ABC 与 ADE 都是等腰三角形，AD=A,如图，在四边形,ABCD,中,，,已知,B,=,ACD,，,AB,=6，,BC,=4，,AC,=5，,，,求,AD,的长,A,B,C,D,解：,AB,=6，,BC,=4，,AC,=5， ，,又,B,=,ACD,，,ABC, ,DCA,，,，,课堂检测,能力提升题,如图，在四边形 ABCD 中，已知 B =,如图，在,ABC,中，,D，E,分别是,AB，AC,上的点，,AB=,7.8,，BD=,4.8,，AC=,6,，AE=,3.9，试判断,ADE,与,ABC,是否相似，某同学的解答如下：,解：,AB=AD+BD,，,而,AB=,7.8,，BD=,4.8,，,AD=,7.8,-,4.8,=,3,.,这两个三角形不相似,.,你同意他的判断吗？请说明理由.,拓广探索题,课堂检测,77,如图，在ABC中，D，E分别是AB，,解：,他的判断是错误的,.,AB=AD+BD，,而,AB=,7.8,，BD=,4.8,，,AD=,7.8-4.8=3,., ， ，, ,又,A,=,A,，,ADE,ACB,拓广探索题,课堂检测,78,解：他的判断是错误的.拓广探索题课堂检测78,两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,利用,两边及夹角,判定三角形相似,相似三角形的判定定理的,运用,课堂小结,两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹角判定三角形,两角分别相等的两个三角形相似,第四课时,返回,80,两角分别相等的两个三角形相似第四课时返回80,观察两副三角尺如图，其中同样角度（,30,与,60,，或,45,与,45,）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？,导入新知,观察两副三角尺如图，其中同样角度（30与60，或,1.,掌握“,两角对应相等,，两个三角形相似”的判定方法,.,2.,能够运用,三角形相似,的条件解决简单的问题,.,素养目标,3.,掌握判定两个,直角三角形相似,的方法，并能进行相关计算与推理,.,1. 掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法.2.,作,ABC,和,A,B,C,，使得,A,A,，,B,B,，这时它们的第三个角满足,C,C,吗？分别度量这两个三角形的边长，计算 ，你有什么发现？,满足：,C,= ,C,探究新知,知识点,1,两角分别相等的两个三角形相似,这两个三角形是,相似,的,作ABC和ABC ，使得AA,把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？,ABC,和,ABC,相似吗？,一样,ABC,和,ABC,相似,探究新知,你能试着证明,ABC,ABC,吗？,把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？ 一样,如图，已知,ABC,和,ABC,中,，,A,=,A,B,=,B,，,求证,:,ABC,ABC,证明：,在,ABC,的边,AB,（或延长线）上，截取,AD=AB,，,过点,D,作,DE,/,BC,，交,AC,于点,E,，则有,ADE,ABC,ADE,=,B, ,B,=,B,ADE,=,B,又,A,=,A ,，,AD=AB,ADE,ABC,ABC,ABC,A,B,C,D,E,A,B,C,探究新知,如图，已知ABC和ABC中，A=A, B=,由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：,两角分别相等的两个三角形相似,., ,A,=,A,，,B,=,B,，,ABC,ABC,.,符号语言：,C,A,B,A,B,C,归纳：,探究新知,86,由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： A,例,1,如图所示，在,ABC,和,A,B,C,中，,B,B,90，,A,A,，,判断这两个三角形是否相似,C,B,A,C,B,A,解：, ,B,B,90,，,A,A,，,ABC,A,B,C,探究新知,利用两角相等判断三角形相似,素养考点,1,例1 如图所示，在ABC和ABC中，B,A,B,D,C,ACD,ACB,B,ADC,巩固练习,1,.,如图，点,D,在,AB,上，当,(,或,),时，,ACD,ABC,；,88,ABDCACDACB B ADC巩固练习1.如图，点,例,2,弦,AB,和,CD,相交于,O,内一点,P,求证,:,PAPB,=,PCPD,A,C,D,证明,:,连接,AC,、,BD,A,、,D,都是弧,CB,所对的圆周角,A,=,D,同理,:,C,=,B,PAC,PDB,即,PAPB=PCPD,A,B,P,O,O,D,C,B,P,探究新知,素养考点,2,利用三角形相似求等积式,89,例2 弦AB和CD相交于O内一点P,求证:PAPB=PC,2,.,如图,，,O,的弦,AB,，,CD,相交于点,P,，,若,PA,=3，,PB,= 8，,PC,= 4，,则,PD,=,.,6,O,D,C,B,A,P,巩固练习,2. 如图，O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=,解：,ED,AB,，,EDA,=90.,又,C,=90 ,，,A,=,A,，,AED,ABC,.,如图,，,在,Rt,ABC,中，,C,= 90,，,AB,= 10,，,AC,= 8.,E,是,AC,上一点，,AE,= 5,，,ED,AB,，垂足为,D,.,求,AD,的长,.,D,A,B,C,E,探究新知,知识点,2,两直角三角形相似的判定,91, 解： EDAB，EDA=90. 如图，在,由此得到一个判定直角三角形相似的方法：,有一个锐角相等的两个直角三角形相似,.,归纳：,探究新知,92,由此得到一个判定直角三角形相似的方法：归纳：探究新,已知：,ABC,A,1,B,1,C,1,.,求证：,你能证明吗？可要仔细哟！,H,L,A,B,C,A,1,B,1,C,1,Rt,ABC,和,Rt,A,1,B,1,C,1,，,探究新知,93,已知：ABCA1B1C1.求证：你能证明吗？可要仔细哟,如图，在,Rt,ABC,和,Rt,A,B,C,中，,C,=90,，,C,=90,，,.,求证：,Rt,ABC, Rt,A,B,C,.,C,A,A,B,B,C,要证明两个三角形相似，即是需要,证明什么呢？,目标：,探究新知,94,如图，在 RtABC 和 RtAB,证明：,设,，则,AB,=,kA,B,，,AC,=,kA,C,.,由 ，得,.,Rt ,ABC, Rt ,A,B,C,.,勾股定理,C,A,A,B,B,C,探究新知,95,证明：设 ，则A,如果一个直角三角形的,斜边,和一条,直角边,与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似,.,判定两直角三角形相似的定理,H,L,A,B,C,ABC,A,1,B,1,C,1,.,即,如果,那么,A,1,B,1,C,1,Rt,ABC,和,Rt,A,1,B,1,C,1.,探究新知,96,如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三,例,3,如图，已知：,ACB,=,ADC,= 90，,AD,= 2，,，当,AB,的长为,时,，,ACB,与,ADC,相似,C,A,B,D,探究新知,素养考点,1,直角三角形相似的判定,97,例3 如图，已知：ACB =ADC = 90，A,解析：,ADC,= 90，,AD,= 2，,，,要使这两个直角三角形相似，有两种情况：,（,1,）,当,Rt,ABC, Rt,ACD,时，有,AC,:,AD,AB,:,AC,，,即,，解得,AB,=3,；,C,A,B,D,2,探究新知,98,解析：ADC = 90，AD = 2，,（,2,）当,Rt,ACB, Rt,CDA,时，有,AC,:,CD,AB,:,AC,， 即,，解得,当,AB,的长为,3,或 时，这两个直角三角形相似,探究新知,C,A,B,D,2,99,（2）当 RtACB RtCDA 时，有 AC :,3.,如图,，,在 Rt,ABC,中， ,ABC,= 90,，,BD,AC,于,D.,若,AB,=6，,AD,=2，则,AC,=,，,BD,=,，,BC,=,.,18,D,B,C,A,巩固练习,100,3. 如图，在 RtABC 中， ABC = 90，B,1.,（2018永州）,如图，在,ABC,中，点,D,是边,AB,上的一点,，ADC=ACB，AD=2，BD=6，,则边,AC,的长为,（）,A2,B4,C6,D8,巩固练习,连接中考,B,1.（2018永州）如图，在ABC中，点D是边AB上的一,2.,（2018绍兴）,学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置,BD,绕,O,点旋转到,AC,位置，已知,AB,BD,，,CD,BD,，,垂足分别为,B,，,D,，,AO,=4m，,AB,=1.6m，,CO,=1m，,则栏杆,C,端应下降的垂直距离,CD,为（,）,A0.2mB0.3mC0.4mD0.5m,连接中考,巩固练习,C,2.（2018绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置,1,.,如图，,ABC,中,，,AE,交,BC,于点,D,，,C,=,E,，,AD,:,DE,=3,:,5，,AE,=8，,BD,=4，,则,DC,的长等于,（ ）,A.,B.,C.,D.,A,C,A,B,D,E,课堂检测,基础巩固题,103,1. 如图，ABC中，AE 交 BC 于点 D，C=E,2.,如图，在 ,ABC,和,ABC,中，若,A,=60,，,B,=40,，,A,= 60,，当,C,=,时，,ABC,ABC.,C,A,B,B,C,A,80,基础巩固题,课堂检测,2. 如图，在 ABC 和 ABC 中，若A=6,3.,如图，,ABC,中，,DEBC,，,EFAB,，,求证：,ADE,EFC,.,A,E,F,B,C,D,证明,:,DEBC,，,EFAB,，,AED,C,，,A,FEC,., ,ADE,EFC,.,基础巩固题,课堂检测,3. 如图，ABC中，DEBC，EFAB，A,证明：, 在,ABC,中，,A,=40,，,B,=80,，, ,C,=180,A,B,=60.,在,DEF,中，,E,=80,，,F,=60.,B,=,E,，,C,=,F,.,ABC,DEF,.,4.,如图,，,ABC,和,DEF,中,，,A,=40,，,B,
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