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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,首 页,上一页,下一页,末 页,第六篇 平面解析几何,首 页,上一页,下一页,末 页,第六篇 平面解析几何,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六节曲线与方程,考纲点击,了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系,热点提示,1.,本节重点考查曲线与方程的关系，考查曲线方程的探求方法,.,2.,本部分在高考试题中主要以解答题的形式出现，属中高档题目,.,1,曲线与方程,一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线,C,上的点与一个二元方程,f(x,，,y),0,的实数解建立了如下关系：,(1),曲线上点的坐标都是,(2),以这个方程的解为坐标的点都是,那么这个方程叫做,，这条曲线叫做,这个方程的解,曲线上的点,曲线的方程,方程的曲线,2,求动点的轨迹方程的一般步骤,(1),建系,建立适当的坐标系,(2),设点,设轨迹上的任一点,P(x,，,y),(3),列式,列出动点,P,所满足的关系式,(4),代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为,x,，,y,的方程式，并化简,(5),证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程,1,方程,x,2,xy,x,的曲线是,(,),A,一个点,B,一条直线,C,两条直线,D,一个点和一条直线,【,解析,】,方程变为,x(x,y,1),0,，,x,0,或,x,y,1,0.,故方程表示直线,x,0,或直线,x,y,1,0.,【,答案,】,C,2,已知两定点,A(,2,0),，,B(1,0),，如果动点,P,满足,|PA|,2|PB|,，则点,P,的轨迹所围成的图形的面积等于,(,),A,B,4,C,8 D,9,【,解析,】,设,P(x,，,y),，则由,|PA|,2|PB|,得,(x,2),2,y,2,4(x,1),2,y,2,，即,(x,2),2,y,2,4,，故,P,点的轨迹是以,(2,0),为圆心，以,2,为半径的圆,所围成的图形的面积等于,2,2,4.,【,答案,】,B,3,已知定点,P(x,0,，,y,0,),不在直线,l,：,f(x,，,y),0,上，则方程,f(x,，,y),f(x,0,，,y,0,),0,表示一条,(,),A,过点,P,且垂直于,l,的直线,B,过点,P,且平行于,l,的直线,C,不过点,P,但垂直于,l,的直线,D,不过点,P,但平行于,l,的直线,【,解析,】,P(x,0,，,y,0,),不在直线,l,上，,f(x,0,，,y,0,),0.,方程,f(x,，,y),f(x,0,，,y,0,),0,表示的直线与,l,平行,又,f(x,0,，,y,0,),f(x,0,，,y,0,),0.,点,P(x,0,，,y,0,),在方程,f(x,，,y),f(x,0,，,y,0,),0,表示的直线上，即直线过,P,点,【,答案,】,B,4,已知动圆,P,与定圆,C,：,(x,2),2,y,2,1,相外切，又与定直线,l,：,x,1,相切，那么动圆的圆心,P,的轨迹方程是,_,【,解析,】,设动圆,P,的圆心,P(x,，,y),，半径为,r,，,则由题意得,消,r,得：,y,2,8x.,【,答案,】,y,2,8x,【,答案,】,3x,4y,5,0,如图所示，设动直线,l,垂直于,x,轴，且与椭圆,x,2,2y,2,4,交于,A,、,B,两点，,P,是,l,上满足,的点，求点,P,的轨迹方程,又直线,l,与椭圆交于两点，,2,x,2,，,点,P,的轨迹方程为,1(,2,x,2),【,方法点评,】,1.,如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含,x,、,y,的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略,2,用直接法求轨迹方程是近年来高考常考的题型，有时题目以向量为背景，解题中需注意向量的坐标化运算有时需分类讨论,1,线段,AB,与,CD,互相垂直平分于点,O,，,|AB|,2a,，,|CD|,2b,，动点,P,满足,|PA|PB|,|PC|PD|,，求动点,P,的轨迹方程,【,解析,】,以,AB,的中点,O,为原点，直线,AB,为,x,轴，直线,CD,为,y,轴，建立直角坐标系,则,A(,a,0),，,B(a,0),，,C(0,，,b),，,D(0,，,b),设,P(x,，,y),，由题设知，,点,P,满足的条件为,|PA|PB|,|PC|PD|.,根据两点间的距离公式，得,如图所示，一动圆与圆,x,2,y,2,6x,5,0,外切，同时与圆,x,2,y,2,6x,91,0,内切，求动圆圆心,M,的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线,【,思路点拨,】,利用两圆的位置关系,相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种曲线的定义,【,自主探究,】,方法一：设动圆圆心为,M(x,，,y),，半径为,R,，设已知圆的圆心分别为,O,1,、,O,2,，将圆的方程分别配方得：,(x,3),2,y,2,4,，,(x,3),2,y,2,100,，当动圆与圆,O,1,相外切时，有,|O,1,M|,R,2,当动圆与圆,O,2,相内切时，有,|O,2,M|,10,R,将两式相加，得,|O,1,M|,|O,2,M|,12,|O,1,O,2,|,，,动圆圆心,M(x,，,y),到点,O,1,(,3,0),和,O,2,(3,0),的距离和是常数,12,，,所以点,M,的轨迹是焦点为,O,1,(,3,0),、,O,2,(3,0),，,长轴长等于,12,的椭圆,2c,6,2a,12,，,c,3,，,a,6,，,b,2,36,9,27,，,【,方法点评,】,1.,运用解析几何中一些常用定义,(,例如圆锥曲线的定义,),，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程,2,用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一,即,x,2,(y,2),2,3,2,.,所以点,Q,的轨迹是以,C(0,2),为圆心，以,3,为半径的圆,点,P,是点,Q,关于直线,y,2(x,4),的对称点,动点,P,的轨迹是一个以,C,0,(x,0,，,y,0,),为圆心，半径为,3,的圆，其中,C,0,(x,0,，,y,0,),是点,C(0,2),关于直线,y,2(x,4),的对称点，即直线,y,2(x,4),过,CC,0,的中点，且与,CC,0,垂直，,故动点,P,的轨迹方程为,(x,8),2,(y,2),2,9.,代入方程,(*),得,(,3u,4v,32),2,(4u,3v,26),2,(3,5),2,，,化简得,u,2,v,2,16u,4v,59,0,(u,8),2,(v,2),2,9.,故动点,P,的轨迹方程为,(x,8),2,(y,2),2,9.,【,方法点评,】,1.,动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点,P(x,，,y),却随另一动点,Q(x,，,y,),的运动而有规律的运动，且动点,Q,的轨迹方程为给定或容易求得，则可,先将,x,、,y,表示为,x,、,y,的式子，再代入,Q,的轨迹方程，然后整理得,P,的轨迹方程，代入法也称相关点法,2,用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：,x,f(x,，,y),，,y,g(x,，,y),，然后代入已知曲线而求对称曲线,(,轴对称、中心对称等,),方程实质上也是用代入法,(,相关点法,),解题,3,如图所示，已知,P(4,0),是圆,x,2,y,2,36,内的一点，,A,、,B,是圆上两动点，且满足,APB,90.,(1),求,AB,中点,R,的轨迹方程；,(2),求矩形,APBQ,的顶点,Q,的轨迹方程,【,解析,】,(1),设,AB,的中点,R,的坐标为,(x,，,y),，,则在,Rt,APB,中，,|AR|,|PR|,，即,|AR|,又点,R,是弦,AB,的中点，依勾股定理，,在,Rt,ORA,中，,又点,R,是弦,AB,的中点，依勾股定理，,在,Rt,ORA,中，,|AR|,2,|AO|,2,|OR|,2,36,(x,2,y,2,),，,(x,4),2,y,2,36,(x,2,y,2,),，,即,x,2,y,2,4x,10,0,，,故,AB,中点,R,的轨迹方程为,x,2,y,2,4x,10,0.,(2),设矩形,APBQ,的顶点,Q,的坐标为,(x,，,y),，,AB,中点,R,的坐标为,(x,1,，,y,1,),，,整理得,x,2,y,2,56,，,故矩形,APBQ,的顶点,Q,的轨迹方程为,x,2,y,2,56.,1,(2008,年北京高考,),若点,P,到直线,x,1,的距离比它到点,(2,0),的距离小于,1,，则点,P,的轨迹为,(,),A,圆,B,椭圆,C,双曲线,D,抛物线,【,解析,】,由题意知，点,P,到点,(2,0),的距离与,P,到直线,x,2,的距离相等，由抛物线定义得点,P,的轨迹是以,(2,0),为焦点，以直线,x,2,为准线的抛物线，故选,D.,【,答案,】,D,2,(2008,年重庆高考,),如图所示，,M(,2,0),和,N(2,0),是平面上的两点，动点,P,满足：,|PM|,|PN|,6.,(1),求点,P,的轨迹方程；,(2),由,|PM|,|PN|=,|PM|PN|cos,MPN,|PM|PN|,2.,因为,cos,MPN,1,，,P,不为椭圆长轴顶点，故,P,、,M,、,N,构成三角形在,PMN,中，,|MN|,4,，由余弦定理有,|MN|,2,|PM|,2,|PN|,2,2|PM|PN|cos,MPN.,将代入，得,4,2,|PM|,2,|PN|,2,2(|PM|PN|,2),3,(2009,年湖南高考,),在平面直角坐标系,xOy,中，点,P,到点,F(3,0),的距离的,4,倍与它到直线,x,2,的距离的,3,倍之和记为,d.,当点,P,运动时，,d,恒等于点,P,的横坐标与,18,之和,(1),求点,P,的轨迹,C,；,(2),设过点,F,的直线,l,与轨迹,C,相交于,M,，,N,两点，求线段,MN,长度的最大值,C2,：,y2=12x,在直线,x=2,的左侧部分,(,包括它与直线,x=2,的交点,),所组成的曲线，参见图,1,(2),如图,2,所示，易知直线,x=2,与,C1,，,C2,的交点都是,A(2,2 ),，,B(2,，,-2 ),，直线,AF,，,BF,的斜率分别为,kAF=-2,，,kBF=2,，当点,P,在,C1,上时，由知,|PF|=6-x.,1,求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹时的作用，只要动点满足已知曲线定义时，就可直接得出方程,2,要注意一些轨迹问题，都包含一定的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围,3,解答这类试题首先要明确圆锥曲线的性质，作好对图形变化可能性的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，如参数的选取，相关点的变化规律及限制条件等等，注意将动点的几何特性用数学语言表述,4,在求轨迹方程问题中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线的方程之后，应仔细地检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面又要注意有无“漏网之鱼”逍遥法外，将其捉回,课时作业,点击进入链接,1,、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。,18 十一月 2024,2024/11/18,2024/11/18,2024/11/18,2,、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种偶然的机遇只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。,十一月 24,2024/11/18,2024/11/18,202
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