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根底知识,一、二次函数的解析式,1一般式：f(x)(a0),2顶点式：f(x)(a0)，(k，h)为顶点坐标,3零点式：f(x)(a0)，x1、x2为两实根,求二次函数的解析式一般都是采用 ,ax,2,bx,c,a,(,x,k,)2,h,a,(,x,x,1)(,x,x,2),待定系数法,二、二次函数在闭区间上的最大值和最小值,对二次函数f(x)a(xk)2h(a0)在区间m，n上的最值问题，有以下结论：,1假设km，n，那么yminf(k)，ymaxmaxf(m)，f(n),2假设km，n，,当kn时，ymin ，ymax (当a0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，那么|M1M2|.,b,24,ac,|,x,1,x,2|,2实系数二次方程ax2bxc0(a0)，两根为x1，x2，那么,(1)方程有两个不等正根,(2)有两不等负根,(3)一正根一负根 ；,x,1,x,2,0,(4),x,1,x,2,0,(5),k,x,1,0,(6),x,1,k,0,f,(,k,),0；,0,易错知识,一、求二次函数解析式时，因设法不恰当致使计算量过大,1二次函数的图象经过点(1，6)、(1，2)和(2,3)，那么这个二次函数的解析式为_,答案：yx22x5,2假设二次函数的图象经过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，那么它的解析式为_.,答案：y x22x1,3抛物线与x轴交于A(1,0)、B(1,0)，并经过点M(0,1)，那么它的解析式为_,答案：yx21,二、对二次函数的性质理解不透彻,4函数f(x)x22ax3在区间1,2上是单调函数，那么a的取值范围是_,答案：(，12，),5假设函数f(x)(k2)x2(k1)x2是偶函数，那么f(x)的单调递增区间是_,答案：(，0,6假设函数yx2(a2)x3，xa，b的图象关于直线x1对称，那么b_.,答案：6,三、对于含参数的函数求最值或值域因考虑不全失误,7函数f(x)ax2(2a1)x3(a0)在区间 ，2上的最大值为1，那么实数a的值为_,答案：或,四、对于一元二次方程根的分布问题因考虑不全失误,8关于x的方程x2(2a)x5a0的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6，那么a的取值范围是_,答案：a5,回归教材,1函数,y,x,2,bx,c,(,x,0，)是单调函数的充要条件是(),A,b,0B,b,0,C,b,0 D,b,0,答案：,A,2函数,y,x,2,4,x,2在区间1,4上的最小值是(),A7B4C2D2,解析：,y,(,x,2,4,x,4)24(,x,2),2,2，在,x,4时，函数有最小值2.,应选C.,答案：,C,3(教材P436题即2021高考安徽卷)a0是方程ax22x10至少有一个负数根的(),A必要不充分条件,B充分不必要条件,C充分必要条件,D既不充分也不必要条件,解析：当a0时，x1x2 0，方程ax22x10有一个负根；当a0时，方程ax22x10的根为x .a0是方程ax22x10有一个负数根的充分不必要条件，应选B.,答案：B,4二次函数yax2bxc(a0)的图象如下图，确定以下各式的正负：b_，ac_，abc_.,答案：000,5二次函数yf(x)满足f(0)f(2)，x1、x2是方程f(x)0的两个实根，那么x1x2_.,答案：2,【例1】二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式,解析,方法一：利用二次函数一般式,设,f,(,x,),ax,2,bx,c,(,a,0)，,由题意得,解之得,二次函数为,y,4,x,2,4,x,7.,方法二：利用二次函数顶点式,设,f,(,x,),a,(,x,m,),2,n,，,f,(2),f,(1)，,抛物线对称轴为,m,，又根据题意，函数有最大值为,n,8，,y,f,(,x,),a,2,8.,f,(2)1，,a,2,81.,解之得,a,4.,f,(,x,)4(,x,),2,84,x,2,4,x,7.,方法三：利用双根式(零点式),由f(x)10的两根为x12，x21，,故可设f(x)1a(x2)(x1)，,即f(x)ax2ax2a1.,又函数有最大值8.,即 8，,解之得a4或a0(舍)，,所求函数解析式为f(x)4x24x7.,总结评述此题采用二次函数式的三种形式，以上三种解法求得，法一最好想，法二注重观察得f(2)f(1)，从而得f(x)的对称轴方程，法三采用构造法，由f(2)f(1)1，构造了方程f(x)10，采用双根式表达f(x)1，从而得f(x),设二次函数,f,(,x,)满足,f,(2,x,),f,(2,x,)，且,f,(,x,)0的两个实根的平方和为10，,f,(,x,)的图象过点(0,3)，求,f,(,x,)的解析式,思路点拨：,由,f,(2,x,),f,(2,x,)，可得函数,f,(,x,)的图象关于,x,2对称，故可设函数,f,(,x,),a,(,x,2),2,k,(,a,0),解析：f(2x)f(2x)，,f(x)的图象关于直线x2对称，,于是，设f(x)a(x2)2k(a0)，,那么由f(0)3，可得k34a，,f(x)a(x2)234aax24ax3.,ax24ax30的两实根的平方和为10，,10 xx(x1x2)22x1x216 ，,a1.f(x)x24x3.,方法技巧：此题可设f(x)ax2bxc(a0)，然后利用条件求出a，b，c，从而求得二次函数解析式不过利用隐含条件(即函数f(x)图象的对称轴为x2)，设f(x)a(x2)2k(a0)来解决更为简捷,温馨提示：此题易无视条件f(2x)f(2x)的挖掘利用，而致使计算量明显加大.,【例2】(2021湖北黄冈)y2x22ax3在区间1,1上的最小值为f(a)，试求f(a)的解析式，并指出函数yf(a)的单调性,命题意图此题主要考查一元二次函数在闭区间上的最值和函数的单调性,分析讨论对称轴与区间的位置关系,那么g(x)minf(a),当a0时，f(a)为增函数，,当a0时，f(a)为减函数,(2021江苏启东市期中练习)函数yx22x在4,3上的最大值为_,解析：yx22x(x1)21，函数在4,3上的最大值为15.,答案：15,总结评述：此题主要考查二次函数在给定区间内的最值，结合二次函数图象，较易解决,(2021安徽皖南八校第二次联考)函数yx2ax1在区间0,3上有最小值2，那么实数a的值为(),A2B,C2 D4,答案：C,解析：,当 0，即,a,0时，函数在区间0,3上为增函数，故,f,(,x,),min,f,(0)1不符合题意，舍去；,当 3，即,a,6时，函数在区间0,3上为减函数，故,f,(,x,),min,f,(3)2,a,，与,a,6不符，舍去；,当0 3，即6,a,0，f(1)0，求证：,(1)a0且2 0，,f,(1)0，,c,0,3,a,2,b,c,0，,a,b,c,0，消去,b,得,a,c,0；,再由条件,a,b,c,0，,消去,c,得,a,b,0，,2 0，,f,(1)0，,而,f,(),a,b,c,a,0，,方程,f,(,x,)0有两个实根，设方程的两根为,x,1,，,x,2,，,由韦达定理得，,故两根为正，,又,(,x,1,1)(,x,2,1)20，(,x,1,1)(,x,2,1)0，故两根均小于1，命题得证,总结评述高考对二次函数的考查是常考常新解决时要特别注意三个“二次的联系，特别是充分利用二次函数的图象，常使问题的解决显得直观明了,设二次函数,f,(,x,),ax,2,bx,c,(,a,0，,a,，,b,，,c,R)，且,f,(1)，,a,2,c,b,.,(1)判断,a,，,b,的符号,(2)证明：,f,(,x,)0至少有一个实根在区间(0,2)内,解析：,(1),f,(1)，3,a,2,b,2,c,0，,又,a,2,c,b,.3,a,2,b,2,c,3,b,2,b,b,6,b,，,综合得,a,0且,b,0.,(2)证明：由得,b,a,c,，,又,f,(0),c,，,f,(2)4,a,2,b,c,a,c,.,(a)当,c,0时，,a,0，,f,(1)0，且,f,(2),a,c,0.,f,(,x,)0在(1,2)内至少有一个实数根,(b)当c0时，a0.f(0)c0，且f(1)0.,f(x)0在区间(0,1)内至少有一个实根,综合(a)、(b)可得f(x)0在(0,2)内至少有一个实数根,反思归纳：此题利用根与系数的关系和二次函数的图象特征将方程的根转化为不等式和函数处理,1求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟练准确利用配方法,2,对于函数,y,ax,2,bx,c,要认为它是二次函数，就必须认定,a,0，当题目条件中未说明,a,0时，就要讨论,a,0和,a,0两种情况,3对于二次函数yax2bxc(a0)给定了定义域为一个区间k1，k2时，利用配方法求函数的最值是极其危险的，一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论以下四种情况：,对于这种情况，也可以利用导数法求函数在闭区间的最值方法求最值这两种方法运算量相当,4注意判别式作用，正确利用判别式,
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