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第,*,页 共 53 页,第二十八讲等差数列,回归课本,1.,等差数列的定义及等差中项,(1),如果一个数列从第,2,项起,每一项与前一项的,差,都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫等差数列的,公差,通常用字母,d,表示,.,定义的表达式为,a,n+1,-a,n,=d(nN,*,),.,(2),对于正整数,m,、,n,、,p,、,q,若,m+n=p+q,则等差数列中,a,m,、,a,n,、,a,p,、,a,q,的关系为,a,m,+a,n,=a,p,+a,q,;,如果,a,A,b,成等差数列,那么,A,叫做,a,与,b,的,等差中项,其中,2.,等差数列的通项公式及前,n,项和公式,等差数列的通项公式为,a,n,=a,1,+(n-1)d,;,前,n,项和公式为,S,n,=,或,3.,等差数列的性质,(1),等差数列的通项是关于自然数,n,的,一次,函数,(d0).(n,a,n,),是直线上的一群孤立的点,a,n,=an+b(a,、,b,是常数,),是,a,n,成等差数列的,充要,条件,.,(2),等差数列,a,n,的首项是,a,1,公差为,d.,若其前,n,项之和可以写成,S,n,=An,2,+Bn,则 当,d0,时它表示,二次,函数,数列,a,n,的前,n,项和,S,n,=An,2,+Bn,是,a,n,成等差数列的,充要,条件,.,(3),等差数列的增减性,d0,时为,递增,数列,且当,a,1,0,时前,n,项和,S,n,有最,小,值,.d0,时前,n,项和,S,n,有最,大,值,.,4.,与等差数列有关的结论,(1),若数列,a,n,和,b,n,是等差数列,则,ma,n,+kb,n,仍为等差数列,其中,m,k,为常数,.,(2),等差数列中依次,k,项和成等差数列,即,S,k,S,2k,-S,k,S,3k,-S,2k,成等差数列,且公差为,k,2,d(d,是原数列公差,).,(3),项数为偶数,2n,的等差数列,a,n,有,S,2n,=n(a,1,+a,2n,)=,=n(a,n,+a,n+1,)(a,n,与,a,n+1,为中间的两项,);,S,偶,-S,奇,=nd;,(4),项数为奇数,2n-1,的等差数列,a,n,有,S,2n-1,=(2n-1)a,n,(a,n,为中间项,);S,奇,-S,偶,=a,n,;,S,奇,S,偶,分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和,.,5.,与等差数列有关的规律,(1),等差数列,a,n,中,若,a,n,=m,a,m,=n(mn),则,a,m+n,=0.,(2),等差数列,a,n,中,若,S,n,=m,S,m,=n(mn),则,S,m+n,=-(m+n).,(3),等差数列,a,n,中,若,S,n,=S,m,(mn),则,S,m+n,=0.,(4),若,a,n,与,b,n,均为等差数列,且前,n,项和分别为,S,n,与,S,n,则,6.,等差数列的判定方法,(1),定义法,:a,n+1,-a,n,=d(,常数,),a,n,是等差数列,.,(2),中项公式法,:2a,n+1,=a,n,+a,n+2,(nN,*,),a,n,是等差数列,.,(3),通项公式法,:a,n,=pn+q(p,q,为常数,),a,n,是等差数列,.,(4),前,n,项和公式法,:S,n,=An,2,+Bn(A,B,为常数,),a,n,是等差数列,.,1,、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。,2,、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。,3,、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。,4,、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。,5,、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。,6,、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。,十一月 24,2024/11/18,2024/11/18,2024/11/18,11/18/2024,7,、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我,;,对事以诚信，事无不成。,2024/11/18,2024/11/18,18 November 2024,8,、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。,2024/11/18,2024/11/18,2024/11/18,2024/11/18,考点陪练,1.,设,a,n,是等差数列,若,a,2,=3,a,7,=13,则数列,a,n,前,8,项的和为,(),A.128B.80,C.64D.56,答案,:C,2.(2010,山东烟台高三诊断,),在等差数列,a,n,中,若前,5,项和,S,5,=20,则,a,3,等于,(),A.4B.-4,C.2D.-2,解析,:S,5,=a,1,+a,2,+a,3,+a,4,+a,5,=5a,3,=20.a,3,=4.,答案,:A,3.(2010,辽宁大连高三一模,),在等差数列,a,n,中,若,a,4,+a,6,+a,8,+a,10,+a,12,=120,则,a,9,-a,11,的值为,(),A.14B.15,C.16D.17,答案,:C,4.,在数列,a,n,中,a,1,=1,a,2,=5,a,n+2,=a,n+1,-a,n,(nN,*,),则,a,1000,等于,(),A.5B.-5,C.1D.-1,解析,:,解法一,:a,1,=1,a,2,=5,a,n+2,=a,n+1,-a,n,(nN,*,),可得该数列为,1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,由此可得,a,1000,=-1.,解法二,:a,n+2,=a,n+1,-a,n,a,n+3,=a,n+2,-a,n+1,(nN,*,),两式相加可得,a,n+3,=-a,n,a,n+6,=a,n,a,1000,=a,1666+4,=a,4,=-a,1,=-1.,答案,:D,答案,:C,类型一等差数列的判断与证明,解题准备,:,证明一个数列,a,n,为等差数列的基本方法有两种,:,(1),利用等差数列的定义证明,即证明,a,n+1,-a,n,=d(nN,*,);,(2),利用等差中项证明,即证明,a,n+2,+a,n,=2a,n+1,(nN,*,).,注意,:,在选择方法时,要根据题目的特点,如果能够求出数列的通项公式,则可以利用定义法,否则,可以利用等差中项法,.,【,典例,1】,已知数列,a,n,的通项公式,a,n,=pn,2,+qn(p,、,qR,且,p,、,q,为常数,).,(1),当,p,和,q,满足什么条件时,数列,a,n,是等差数列,;,(2),求证,:,对任意实数,p,和,q,数列,a,n+1,-a,n,是等差数列,.,解,(1)a,n+1,-a,n,=p(n+1),2,+q(n+1)-(pn,2,+qn)=2pn+p+q,要使,a,n,是等差数列,则,2pn+p+q,应是一个与,n,无关的常数,所以只有,2p=0,即,p=0.,故当,p=0,时,数列,a,n,是等差数列,.,(2),证明,:a,n+1,-a,n,=2pn+p+q,a,n+2,-a,n+1,=2p(n+1)+p+q,而,(a,n+2,-a,n+1,)-(a,n+1,-a,n,)=2p,为一个常数,.,a,n+1,-a,n,是等差数列,.,类型二等差数列的基本量运算,解题准备,:,等差数列,a,n,中,a,1,和,d,是两个基本量,用它们可以表示数列中的任何一项,利用等差数列的通项公式与前,n,项和公式,列方程组解,a,1,和,d,是解决等差数列问题的常用方法,;,由,a,1,d,n,a,n,S,n,这五个量中的三个量可求出其余两个量,需选用恰当的公式,利用方程组观点求解,.,【,典例,2】,已知等差数列,a,n,中,a,2,=8,前,10,项和,S,10,=185.,(1),求数列,a,n,的通项公式,a,n,;,(2),若从数列,a,n,中依次取出第,2,4,8,2,n,项,按原来的顺序排成一个新的数列,试求新数列的前,n,项和,A,n,.,(2)A,n,=a,2,+a,4,+a,8,+,+a,2n,=(32+2)+(34+2)+(38+2)+,+(32,n,+2),=3(2+4+8+,+2,n,)+2n,=3 +2n=32,n+1,+2n-6.,反思感悟,先求出数列的通项公式,然后用通项公式表示出新数列中的各项,再求和,.,类型三等差数列的性质及应用,解题准备,:,若,m+n=p+q(m,n,p,qN,*,),则,a,m,+a,n,=a,p,+a,q,S,k,S,2k,-S,k,S,3k,-S,2k,构成的是公差为,k,2,d,的等差数列,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷,应注意运用,.,【,典例,3】,在等差数列中,S,n,表示,a,n,的前,n,项和,(1)a,3,+a,17,=10,求,S,19,的值,;,(2)a,1,+a,2,+a,3,+a,4,=124,a,n,+a,n-1,+a,n-2,+a,n-3,=156,S,n,=210,求项数,n;,(3)S,4,=1,S,8,=4,求,a,17,+a,18,+a,19,+a,20,的值,.,(3)S,4,S,8,-S,4,S,12,-S,8,S,16,-S,12,S,20,-S,16,成等差数列,又,S,4,=1,S,8,-S,4,=3.,新的数列前,5,项分别为,1,3,5,7,9.,S,20,-S,16,=a,17,+a,18,+a,19,+a,20,=9.,类型四等差数列前,n,项和的最值问题,解题准备,:,求等差数列前,n,项和,S,n,的最值问题,主要有以下方法,:,二次函数法,:,将,S,n,看作关于,n,的二次函数,运用配方法,借助函数的单调性及数形结合,使问题得解,;,通项公式法,:,求使,a,n,0(,或,a,n,0),成立的最大,n,值即可得,S,n,的最大,(,或最小,),值,;,不等式法,:,借助,S,n,最大时,有 解此不,等式组确定,n,的范围,进而确定,n,的值和对应,S,n,的值,(,即,S,n,的最值,).,【,典例,4】,已知数列,a,n,满足,2a,n+1,=a,n,+a,n+2,(nN,*,),它的前,n,项和为,S,n,且,a,3,=10,S,6,=72.,若,b,n,=a,n,-30,求数列,b,n,的前,n,项和的最小值,.,分析,先判断,a,n,是等差数列,求,a,n,再求,b,n,由,b,n,的通项研究数列,b,n,的前,n,项和的最值,.,解,2a,n+1,=a,n,+a,n+2,a,n,是等差数列,设,a,n,的首项为,a,1,公差为,d,由,a,3,=10,S,6,=72,得,反思感悟,除上面方法外,还可将,a,n,的前,n,项和的最值问题看作,S,n,关于,n,的二次函数问题,利用二次函数的图象或配方法求解,.,错源一忽略数列项数,【,典例,1】,已知数列,a,n,的前,n,项和,S,n,=10n-n,2,(nN,+,),求数列,|a,n,|,的前,n,项和,T,n,.,错解,当,n=1,时,a,1,=S,1,=9;,当,n2,时,a,n,=S,n,-S,n-1,=11-2n.,由于,n=1,时,a,1,=9,也满足,a,n,=11-2n,因此,a,n,=11-2n.,由,11-2n0,得,即从第,6,项开始数列各项为负,那么,T,n,=|a,1,|+|a,2,|+,+|a,n,|,=-(a,1,+a,2,+,+a,n,)+2(a,1,+a,2,+,+a,5,),=-S,n,+2S,5,=n,2,-10n+2(105-5,2,),=n,2,-10n+50.,剖析,错解中忽视了,“,项数,”,默认了,n5,事实上,n,完全可以小于或等于,5.,显然,当,n5,时,结论就是错的,.,正解,对,n,进行分类,:,(1),由上述可知,a,n,=11-2n.,当,n5,时,同上述错解,得,T,n,=n,2,-10n+50;,(2),当,n5,时,T,n,=|a,1,|+|a,
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