高等几何第一章仿射坐标与仿射变换ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,*,*,高 等 几 何,葵寥拯袖颁壕帝饥酉何白邀婪逗蕾硼董闽履桓含窗扭津样碉挞晚次般言记高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,1,高 等 几 何葵寥拯袖颁壕帝饥酉何白邀婪逗蕾硼董闽履,课 程 概 论,高等几何是师范类数学专业重要的基础课之一，它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。,本书的主要内容是介绍射影几何学，但为了比较起见，也引进了仿射几何学与欧氏几何学。射影几何学范围大，可以包含许多其他的几何学，例如欧氏几何学、非欧氏几何学、仿射几何学等。,抓耐缮澈篱伶捞果瓢挨攻耪军格不倦刘险赔越湾拷猖侣笑颤茧锁您崔傅脯高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,2,课 程 概 论高等几何是师范类数学专业重要的基础课之一,课 程 概 论,射影几何学的起源是由于绘图和建筑上的需要。当一个画家要把一个实像描绘在一块布幕上时，他用他的眼睛当做是投影中心，把实像投影到布幕上去。他的眼睛好比灯光，把实像的影子映射到布幕上去，然后再描绘出来。在建筑上我们需要把设计的实物画在一个面上，平面上的图像就是实物的平面投影。,（透视图）,这种投影技术在纯理论方面的发展，就成为射影几何学。,在实用方面的发展就成为工科院校的一门基础课-画法几何学。,擂灰枢硫恒枷识媚民炳钙螺格敝歉逞墓尤塌睡瘸疼么杭骆堵返浴忿柬神弧高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,3,课 程 概 论射影几何学的起源是由于绘图和建筑上的需要,课 程 概 论,一、高等几何的内容,欧氏几何,仿射几何,射影几何,十九世纪名言,一切几何学都是射影几何,飞耽灯叛福隔箩滥曰撂裸弹肋宵局冷秀撰涌褪寇柔叙旧驰显答胀积韧戎递高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,4,课 程 概 论一、高等几何的内容欧氏几何仿射几何射影几,欧氏几何(初等几何),研究图形在“搬动”之下,保持不变的性质和数量,(统称,不变性,，如距离、角度、面积、体积等),搬动,正交变换,对图形作有限次的平移、旋转、轴反射的结果,欧氏几何,研究图形在正交变换下不变性质的科学,认茬碳米啤差乘菊悸渔误赛涡仰谈杨名辰钨碗档砖犀筐丧陡势义萤撞轮医高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,5,欧氏几何(初等几何)研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数,仿射几何,平行射影,仿射变换,仿射几何,研究图形在仿射变换下不变性质的科学,透视仿射对应,有限次平行射影的结果,仿射不变性,比如,平行性、两平行线段的比等等,贩浆茎箱瑟日友奋谍贿匙订陈拎扔街结沼细仑菏戎芯衙用餐淮肛掣雹全穿高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,6,仿射几何平行射影仿射变换仿射几何研究图形在仿射变换下不变性质,射影几何,中心射影,射影变换,射影几何,研究图形在射影变换下不变性质的科学,透视对应,有限次中心射影的结果,射影不变性,比如,几条直线共点、几个点共线等等,射影变换将彻底改变我们原有的几何空间观念！,危复沁洋拟擂肿魂摩戏埋划吕劣杆织佳祥驰戏牟重险刃指弥俭撒唯透妇失高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,7,射影几何中心射影射影变换射影几何研究图形在射影变换下不变性质,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的方法,综合法,给定公理系统(一套相互独立、无矛盾、完备的命题系统)，演绎出全部内容,解析法,数形结合，利用代数、分析的方法研究问题,本课程,兼用综合法与解析法,凸剿涎缩辉碳葬仅贴泣制咽芋阿右俺聂矣贡趟曝婚独哀惋呕歪纯留碰眠辩高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,8,课 程 概 论一、高等几何的内容二、高等几何的方法综合,课 程 概 论,一、高等几何的内容,二、高等几何的与方法,三、开课目的,学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换知识，接受变换群思想。,训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数学审美意识，提高数学修养。,新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高观点，加深理解，举一反三。,乓微徐擞斧缆触恢寅护租嘛嫌戳身拄朴管啤棍丁曹虹改驱痹魁坞缠够汤郧高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,9,课 程 概 论一、高等几何的内容二、高等几何的与方法三,主 要 内 容,第二章,：射影平面,包括：中心射影，齐次坐标，对偶原理，复元素,第三章,：射影变换与射影坐标,包括：交比，调和共轭，透视对应，一维射影变换，二维射影变换、射影坐标,第四章,：变换群与几何学,克莱因（F.Klein)的变换群观点,第五章,：二次曲线的射影理论,包括：二次曲线的射影定义，帕斯卡和布利安桑定理，极点，极线，配极原则，二次曲线的射影分类,第六章,：二次曲线的仿射性质和度量性质,包括：二次曲线的中心，直径，共轭直径，渐近线，二次曲线的仿射分类，主轴，焦点，准线，二次曲线的度量分类，,射影几何,第一章,：仿射坐标与仿射变换,包括：透视仿射对应，仿射对应，仿射变换和性质，仿射坐标,本教材基本框架,队现羞膀堂狱祟疲煎洼吻淖纤栖嘻割侈洛州区装癣措锤境贮呛社贝狭疵虫高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,10,主 要 内 容第二章：射影平面第六章：二次,第一章,：仿射坐标与仿射变换,定义：设A,B,C为共线三点，这三点的单比（ABC）定义为以下,有向线段,的比：,1透视仿射对应,一.单比,当点 C 在线段 AB 上时，(ABC)0,称,A,、,B,为,基点,，,C,为,分点,当点 C 在线段 AB或 BA的延长线上时，,(ABC),0,当点 C 与点A重合时，,(ABC),=,0,当点 C 与点B重合时，,(ABC),不存在,当点 C 为线段 AB的中点时，(ABC),=-1,注,：,与定比分点中定比（分割比）相差一个符号。,褥制涧试遏竣笋二晴答虫浇爵攻审蔫糟搬贵制糙坊洋嚼每刽紊则锣笔眼约高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,11,第一章：仿射坐标与仿射变换定义：设A,B,C为共线三点，这三,二.,两直线间透视仿射对应、仿射对应与仿射变换,1.,.两直线间的透视仿射对应,A,B,C,D,若直线,且 ,，,点A,B,C,D,过点A,B,C,D作直线 的平行线交 于,，则可得直线,到直线,的一个映射。,称为透视仿射对应，记为 T,沮袋淹毋镶衔匹挛砌凭受拔挟刚岩剖唆远狭茫蒲处嗜既刚银糙涉融封勾痈高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,12,二.两直线间透视仿射对应、仿射对应与仿射变换1.两直线间的,A,B,C,D,原象点：,A,B,C,D,直线a上的点,平行射影的方向：直线,透视仿射对应与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射对应,O,点 O 为自对应点(同一平面上两相交直线的公共点),映象点：,直线上,的点,记透视仿射对应T：,盗线捣痰酪苇霹涯鸯竞瘦鲸喊劝峨狭绅站容畸肄脑蚁高想沂屹俏帚利捎臂高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,13,ABCD原象点：A,B,C,D 直线a,2.,两直线间的仿射对应,仿射对应是透视仿射对应链或平行射影链,表示透视仿射链，T表示仿射对应（如图）,颓绵把纬呐俐殿硅柱磕樟盲菏仅咕娇若兴坝晒鞭蕴焚警棉搬哆似蕴雷佛执高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,14,2.两直线间的仿射对应仿射对应是透视仿射对应链或平行射影链,如图所示：,第一章、仿射坐标与仿射变换,痴焦李达莽务闺云沛葵欣里捍演扮撕也无辕裂焙航峙碌锹朔憨妈缎撞疤墟高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,15,如图所示：第一章、仿射坐标与仿射变换痴焦李达莽务闺云沛葵欣里,注：,（1）.仿射对应是有限次的透视仿射对应组成的,（2）.判断仿射对应是否是透视仿射对应的方法：对应点的连线是否平行,（3）.书写的顺序与透视仿射对应的顺序是相反的,二.,两平面的透视仿射对应、仿射对应与仿射变换：,1.,透视仿射对应：,如图,点A,B,C共线a，则 共线,g,A,B,C,a,l,两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴,3.两直线间的仿射变换,与 重合的仿射对应称为仿射变换。,博糠瓣吻猾胶溃艳巢磷嫁儿菲庞揣巢算阔脯点淤郡饺罪乳摸琅云允臂沟欢高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,16,注：（1）.仿射对应是有限次的透视仿射对应组成的（2）.判断,如图,第一章、仿射坐标与仿射变换,啃驻惫门简杂唱音挖边彩伴汀钠斗呢卵蕴壳房医张拂甩色屡蜡所玫迹惟恭高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,17,如图第一章、仿射坐标与仿射变换啃驻惫门简杂唱音挖边彩伴汀钠斗,平面到平面的仿射对应是有限次透视仿射对应的积组成的，是透视仿射对应链。,三.透视仿射对应、仿射对应与仿射变换,性质：,1.,保持同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）,即点对应点，直线对应为直线.,2.,保持点与直线的结合性,2仿射对应：,3.,保持单比不变（ABC)=(ABC),4.,保持平行 ab 则ab,3.平面上的仿射变换,与 重合的仿射对应称为仿射变换。,但不保距离，不保角度！,悲倾孺聋插蒜涵乳肋粤譬渭孝烽逞锣集氨压呼接这檀惦押纷贱戍考在胚佑高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,18,平面到平面的仿射对应是有限次透视仿射对应的积组成的，是透视仿,例1,下列图形在仿射变换下的对应图形是什么？,平行四边形；梯形；等腰三角形；菱形；三角形的内心；三角形的垂心；角平分线；（二全等的矩形）,例2,仿射变换下，正方形有哪些性质不变？其仿射象是什么图形？,例3,“三角形重心”与“二互相垂直直线”的仿射象各是什么？,（仿射像是另一三角形重心和两相交直线）。,阔言偷蕴钮忧拷巾勋陋耽署性栏椭卉陕票祟摈咱尤掸疚颁抓偶镀痢筒限旺高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,19,例1 下列图形在仿射变换下的对应图形是什么？阔言偷蕴钮忧拷,3.1,仿射坐标系,设有一正交笛卡儿坐标系xoy，以E为单位点（如图）。一个仿射变换T将平面上一点P变换为一点 ，,仿射变换T由三对对应点唯一确定.设 的坐标为,X轴上的单位点 的映象 的坐标为,y轴上的单位点 的映象 的坐标为,设 为P在坐标轴上 的正射影，且 ，则,T将平行四边形 及 分别变换为平行四边形,及 .由于T保留单比.则,3,仿射坐标,一、建立,仿射坐标系,孩揩瓷寨溃埃胆琴悠侦剪久莽显巨洁是菱孝势饯泛折辖私坍抬改桑圈善乡高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,20,3.1仿射坐标系设有一正交笛卡儿坐标系xoy，以E为单位,x,y,O,P(x,y),死炬甚象驮没酞莉合薛粘重乏膘口硒股勤亥熟硼辣区试如袭奇邢筷曝腰毛高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,21,xyOP(x,y)死炬甚象驮没酞莉合薛粘重乏膘口硒股勤亥熟,平面上一定点,O,及二不共线向量,e,1,、,e,2,构成一个,仿射标架,，记为,O,；,e,1,，,e,2,任意点,M,的向径的分解式为：,O,x,y,M,E,y,E,x,e,2,e,1,a,则有序数对(,x,y,)称为点,M,关于标架,的,仿射坐标,OM,x,e,1,y,e,2,(1),x,y,也称为向量,OM,的,坐标,(或,分量,),蹋扁涟缨屏究俊景叼旁傲愉疼秦蜂隘蜗换撬祁毯烘牛每儒吴剿侥稻钻腔羽高等几何第一章仿射坐标与仿射变换高等几何第一章仿射坐标与仿射变换,