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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,7,章 线性空间与线性变换,本章介绍线性空间的根本概念与根本运算，介绍线性变换的根本概念以及线性变换的矩阵。通过本章的学习，应该掌握以下内容：,线性空间的概念、基、维数与坐标,基变换与坐标变换公式,线性变换的概念、简单性质与运算,线性变换的矩阵表示和线性变换在不同基下的矩阵之间的关系,线性变换运算所对应的矩阵,线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件,维线性空间的概念,7.1,维线性空间,7.1.1,定义,1,设,是一个非空集合,，,是一个数域,在,中定义了两种代数运算：,1,加法 对于,中任意两个元素,按某一法那么,在,中都有惟一的一个元素,与它们对应,称为,的和,记作,2,数量乘法 对于,任意元素,和数域,中的任意数,按某一法那么,在,中都有惟一的一个元素,对应,称为,与它们,与,的数量乘积，记作,一般称集合,对于加法和数量乘法这两种运算封闭,如果加法和数量乘法满足以下八条运算规律，那么称,是数域,上的一个线性空间其中：,3在,中有一个元素,对于,中任一元素,都有,.,称元素,为,的零元素,4对于,中每一个元素,都有,中的元素,使得,.,称元素,为,的负元素,记作,即,(5),对数域,中的数,1,和,中的任一元素,都有,是任意实数,),注,:,凡满足八条运算规律的加法及数量乘法，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为线性空间,线性空间具有以下性质：,性质,1,线性空间的零元素是惟一,的；,性质,2,线性空间 中每个向量的负向量是惟一,的；,性质,3,性质,4,如果,那么,或,基、维数与坐标,定义,2,在线性空间,中,如果存在,个元素,满足,:,中任一元素,总可以由,线性表示,那么,称为线性空间,的一组基,称为线性空间,的维数,线性无关,;,定义,3,设,是,维线性空间 的一组基,是,中任一元素，如果,这组有序数组就称为元素,在,这组基下的坐标，并记作：,建立了坐标后，就把抽象的向量元素与具体的,数组向量 联系起来了并且,还可把抽,象的线性运算与数组向量的元素联系起来,设,为一组基,于是,基变换与坐标变换公式,设,与,是线性空间,中的两个基,利用分块矩阵的乘法形式，可将上式记为,或,其中,称为由基,到,过渡矩阵,.,中的每一列元素分别是基,在基,下的坐标；,称为基变换公式,定理,1,设,中的元素,在基,下的坐标为,在基,下的坐标为,假设两个基满足,那么有坐标变换公式,或,例,8,设,是线性空间,的一组基,为一个二阶可逆矩阵，令,显然，,也线性无关，因此,的一组基,并且满足,也是,是由基,到,的过渡矩阵,.,例,9,设由所有二阶矩阵组成的线性空间,的两个基为：,1求由基,到基,2分别求,的过渡矩阵；,在上述两个基下的坐标；,3求一个非零矩阵,使,在两个基下的坐标相同,解 1因为,写成矩阵形式，就有,于是矩阵,到基,的过渡矩阵；,即是由基,2由,于是,在基,下的坐标为,在基,下的坐标为,(3),设,在上述两个基下坐标相同,由,(2),知,应有,故,为在给定的两组基下坐标相同的非零的二阶矩阵,7.2,线性变换,线性变换的定义,定义,4,设有两个非空集合,如果对于,中的任一元素,按照一定的规那么,总有,中一个确定的元素,对应,那么,这个对应规那么就称为从集合,和它,到集合,的变换,(,或映射,).,我们常用字母来表示一个变换，譬如把上述变换记作,并记,或,定义,5,设,分别是实数域上的,维和,空间,维线性,是一个从,到,的变换,如果变换满足,:,1任给,有,2任给,有,那么,就称为从,到,的线性变换,如果,那么,称,为,中的线性变换,.,线性变换的简单性质,线性变换有以下性质,:,性质,1,性质2 假设,那么,性质3 假设,那么,线性相关,.,线性相关,性质,4,线性变换,的像集,称为线性变换的像空间；,是一个线性空间,性质,5,使,的,的全体,也是一个线性空间,称为线性变换,的核,.,例,17,设有 阶矩阵,其中,中的变换,为线性变换,的像空间为,的核,就是齐次线性方程组,的解空间,线性变换的运算,1.,线性变换的加法,定义,6,设,是线性空间,定义它们的和,的两个线性变换,为,容易证明,线性变换的和还是线性变换,.,线性变换的加法满足结合律与交换律,.,即,2,线性变换的数量乘法,定义,7,设,是线性空间,的线性变换,定义它们的数量乘法,为实数，,为,显然,仍然是线性变换,.,线性变换的数量乘法满足以下运算规律：,称为,的负变换,3.,线性变换的乘法,定义,8,设,是线性空间,定义它们的乘积,的两个线性变换,为,容易证明,线性变换的乘积还是线性变换,.,线性变换的乘法满足结合律,.,即,但不满足交换律,即一般地,对于乘法,单位变换,有特殊的地位,对任意变换,还可以证明线性变换的加法与乘法满足乘法对加法的左右分配律：,满足,4,线性变换的逆变换,定义,9,设,是线性空间,的线性变换,如果有,的线性变换,存在,使,那么称线性变换,可逆，并称,是,的逆变换,.,可以证明可逆变换的逆变换是惟一的,可逆变换,的逆变换记做,即,可以证明,线性变换,的逆变换,也是线性变换,7.3,线性变换的矩阵表示,线性变换在一个基下的矩阵,定义,10,设,是,维线性空间,的线性变换，,在,中取定一组基，,如果这组基在线性变换,下的像用这个基线性表示为,记,上式可以表示为,其中,那么,就称为线性变换,在基,下的矩阵,显然，矩阵,由基的像,惟一确定,特别地,在,中取定一组基以后,线性变换,矩阵,例,18,求,中的线性变换,在如下基下的矩阵：,解 1因为,所以,在基,下线性变换,的矩阵为,2因为,所以，在基,下线性变换,的矩阵,例,20,设,的线性变换为,求在基,下的矩阵,.,解,因为,所以,线性变换,在基,下的矩阵为,定理,2,设,是,维线性空间,的一组基，,的线性变换,在这组基下的矩阵为,向量,在基,下的坐标为,其中,那么,即,线性变换在不同基下的矩阵之间的关系,定理,3,设,与,是线性空间,的两组不同的基,由基,到,的过渡矩阵为,中的线性变换,矩阵分别为,在这两组基下的,和,那么,证明,按定理的假设，有,可逆，从而,及,于是,因为,线性无关,所以,于是,例,21,设,中的线性变换,在基,下的矩阵为,求,在基,下的矩阵,.,解,即由,到,的过渡矩阵,求得,在基,下的矩阵,.,可逆,那么矩阵,线性变换运算所对应的矩阵,定理,4,设,是,维线性空间,的一组基,在这组基下,线性变换,的矩阵分别为,那么在基,下,1线性变换,的和,的矩阵为,2线性变换,的数量乘法,的矩阵为矩阵,3线性变换,的乘积,的矩阵为,4假设线性变换,可逆，反之亦然,有 个相异的特征值,那么,1线性变换所对应的矩阵 可以对角化的充要条件是矩阵 有 个线性无关的特征向量；,是 维线性空间 的一个线性变换，如果在 内存在一组基 使 在这组基下与对角阵对应，我们称 所对应的矩阵可以对角化,.,定理,5,线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么，它们可以看作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵,线性变换,的矩阵为对角矩阵的充要条件,设,2如果,可以对角化,.,可以对角化的充要条件是,(3),的每一个,重特征值都有,个线性无关的特征向量,
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