弹性力学2-7圣维南原理2-8按位移求解平面问题

预习：2-9,2-10,3-1,3-2,作业：2.8,2-7 圣维南原理,问题的提出：,P,P,P,求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。,如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。,1.静力等效的概念,两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为,静力等效力系,。,2.,圣维南原理,(Saint-Venant Principle),原理：,若把物体的,一小部分边界上的面力,，变换为分布不同但,静力等效的面力,，则,近处,的应力分布将有显著改变，而,远处,所受的影响可忽略不计,。,P,P,P,P/,2,P/,2,要点：,小部分边界（次要边界）；,静力等效；,影响范围限于近处，远处不受影响；,3.,圣维南原理的应用,对,复杂的力边界,，用静力等效的分布面力代替。,本卷须知：,(1),必须满足,静力等效,条件；,(2),只能在,次要边界上,用圣维南原理，在,主要边界,上不能使用。,如：,A,B,主要边界,P,次要边界,如果物体的一小局部边界上的面力是一个平衡力系主矢量和主矩都等于零，那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。,例子：,书上的。,例,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,例,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,右侧面：,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y,方向力等效：,对,O,点的力矩等效：,x,方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,例,图示竖柱，试写出其边界条件。,例,图示竖柱，试写出其边界条件。,左侧面：,右侧面：,上侧面：,次要边界，可用圣维南原理列写边界条件：,y,方向力等效；,x,方向力等效；,力矩等效。,2-8 按位移求解平面问题,1.弹性力学平面问题的根本方程,（1）平衡方程：,（2-2）,（2）几何方程,：,（2-9）,（3）物理方程：,（2-15）,（4）边界条件：,（1）,（2）,2.,弹性力学问题的求解方法,1按位移求解位移法、刚度法,以u、v 为根本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。,2按应力求解力法，柔度法,以应力分量 为根本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量；再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。,3混合求解,以局部位移分量 和局部应力分量 为根本未知函数，并求出这些未知量，再求出其余未知量。,3.按位移求解平面问题的根本方程,1将平衡方程用位移表示,由应变表示的物理方程,将几何方程代入，有,2-16,a,将式(a)代入平衡方程，化简有,2-18,用位移表示的平衡微分方程,2将边界条件用位移表示,位移边界条件：,应力边界条件：,（a）,将式a代入，得,2-21,2-17,用位移表示的应力边界条件,3按位移求解平面问题的根本方程,1平衡方程：,2-20,2边界条件：,位移边界条件：,2-17,应力边界条件：,2-21,说明：,1对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。,2一般不用于解析求解，作为数值求解的根本方程。,三、例题,见教案,