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,总纲目录,教材研读,考点突破,栏目索引,第五节直线、平面垂直的判定与性质,总纲目录,教材研读,1.,直线与平面垂直,考点突破,2.,直线与平面所成的角,3.,二面角的有关概念,考点二面面垂直的判定与性质,考点一直线与平面垂直的判定与性质,4.,平面与平面垂直的判定定理与性质定理,考点三平行与垂直的综合问题,1.直线与平面垂直,(1)直线与平面垂直的定义,直线,l,与平面,内的,任意一条,直线都垂直,就说直线,l,与平面,互相,垂直.,教材研读,文字语言,图形语言,符号语言,判定,定理,一条直线与一个平面内的,两条相交直线,都垂直,则该直线与此平面垂直,l,性质,定理,垂直于同一个平面的两条直线,平行,a,b,(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理,与“直线与平面垂直”有关的结论,(1)直线与平面垂直的定义常常逆用,即,a,b,a,b,.,(2)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平,面.,(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.,(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.,(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.,2.直线与平面所成的角,(1)定义:,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的,锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,就说它们所,成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,就说它们所成的角是0,的角.如图所示,PAO,就是斜线,AP,与平面,所成的角.,(2)线面角,的范围:,.,3.二面角的有关概念,(1)二面角:,从一条直线出发的,两个半平面,所组成的图形叫做二,面角.,(2)二面角的平面角:,以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分,别作,垂直于棱,的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的,平面角.,4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理,1.给出下列四个命题:,垂直于同一直线的两个平面互相平行;,垂直于同一平面的两个平面互相平行;,若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相,互平行;,若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线垂直于,这个平面.,其中真命题的个数是,(),A.1B.2 C.3D.4,答案,B正确.,B,2.(2015北京延庆期末)已知直线,m,n,是异面直线,则过直线,n,且与直线,m,垂直的平面,(),A.有且只有一个B.至多有一个,C.有一个或无数个D.不存在,答案,B若,m,n,则过直线,n,存在一个平面与,m,垂直;若,m,不垂直于,n,则,不存在这样的平面,故选B.,B,3.(2016北京朝阳期末)已知,m,n,表示两条不同的直线,表示两个不同,的平面,且,m,n,则下列说法正确的是,(),A.若,则,m,n,B.若,m,则,C.若,m,则,D.若,则,m,n,答案,B对于A,两个平行平面内的直线可能平行,可能异面;B正确;对,于C,当,m,平行于平面,、,的交线时,也有,m,但平面,与平面,相交;对,于D,m,与,n,也可能平行、斜交或异面.,B,4.(2015北京丰台期末)设,a,b,c,是三条不同的直线,是两个不同的平面,则,a,b,的一个充分条件为,(),A.,a,c,b,c,B.,a,b,C.,a,b,D.,a,b,答案,C对于选项A,若,a,c,b,c,则直线,a,与,b,可能异面,可能平行,也,可能相交;对于选项B,若,a,b,则直线,a,与,b,可能异面,可能平,行,也可能相交;对于选项C,若,a,b,则,a,b,;对于选项D,若,a,b,则根据线面垂直的性质定理可知,a,b,.故选C.,C,考点一直线与平面垂直的判定与性质,考点突破,典例1,如图,在四棱锥,P,-,ABCD,中,PA,底面,ABCD,AB,AD,AC,CD,ABC,=60,PA,=,AB,=,BC,E,是,PC,的中点.,(1)证明:,CD,AE,;,(2)证明:,PD,平面,ABE,.,证明,(1)在四棱锥,P,-,ABCD,中,PA,底面,ABCD,CD,平面,ABCD,PA,CD,.,AC,CD,PA,AC,=,A,CD,平面,PAC,.,而,AE,平面,PAC,CD,AE,.,(2)由,PA,=,AB,=,BC,ABC,=60,可得,AC,=,PA,.,E,是,PC,的中点,AE,PC,.,由(1)知,AE,CD,又,PC,CD,=,C,AE,平面,PCD,.,而,PD,平面,PCD,AE,PD,.,PA,底面,ABCD,PD,在底面,ABCD,内的射影是,AD,又,AB,AD,AB,PD,.,又,AB,AE,=,A,PD,平面,ABE,.,方法技巧,(1)证明直线和平面垂直的常用方法:利用判定定理;利用面面垂直,的性质.,(2)证明线面垂直的核心是证明线线垂直,而证明线线垂直又可借助于,线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂,直的基本思想.,1-1,(2016北京丰台一模)已知在,ABC,中,B,=90,D,E,分别为边,BC,AC,的中点,将,CDE,沿,DE,翻折后,使之成为四棱锥,C,-,ABDE,(如图).,(1)求证:,DE,平面,BC,D,;,(2)设平面,C,DE,平面,ABC,=,l,求证:,AB,l,;,(3)若,C,D,BD,AB,=2,BD,=3,F,为棱,BC,上一点,设,=,当,为何值时,三,棱锥,C,-,ADF,的体积是1?,解析,(1)证明:,B,=90,D,E,分别为,BC,AC,的中点,DE,AB,.,C,D,DE,BD,DE,又,C,D,BD,=,D,DE,平面,BC,D,.,(2)证明:,DE,AB,DE,平面,C,DE,AB,平面,C,DE,AB,平面,C,DE,又,AB,平面,ABC,平面,ABC,平面,C,DE,=,l,AB,l,.,(3),C,D,BD,C,D,DE,ED,BD,=,D,C,D,平面,BDE,.,=,=,S,C,DF,=,S,BC,D,.,又,BD,=3,AB,=2,V,C,-,ADF,=1,V,C,-,ADF,=,V,A,-,C,DF,=,V,A,-,C,DB,=,V,C,-,ADB,=,C,D,S,ADB,=,=1.,解得,=2.,典例2,如图,四棱锥,P,-,ABCD,中,AB,AC,AB,PA,AB,CD,AB,=2,CD,E,F,G,M,N,分别为,PB,AB,BC,PD,PC,的中点.,(1)求证:,CE,平面,PAD,;,(2)求证:平面,EFG,平面,EMN,.,考点二面面垂直的判定与性质,证明,(1)取,PA,的中点,H,连接,EH,DH,.,因为,E,为,PB,的中点,所以,EH,AB,EH,=,AB,.,又,AB,CD,CD,=,AB,所以,EH,CD,EH,=,CD,.,因此四边形,DCEH,是平行四边形.,所以,CE,DH,.,又,DH,平面,PAD,CE,平面,PAD,因此,CE,平面,PAD,.,又,EF,FG,=,F,EF,平面,EFG,FG,平面,EFG,因此,AB,平面,EFG,.,又,M,N,分别为,PD,PC,的中点,所以,MN,CD,.,又,AB,CD,所以,MN,AB,.,因此,MN,平面,EFG,.,又,MN,平面,EMN,所以平面,EFG,平面,EMN,.,(2)因为,E,F,分别为,PB,AB,的中点,所以,EF,PA,.,又,AB,PA,所以,AB,EF,.,同理可证,AB,FG,.,方法指导,证明面面垂直的思路,(1)利用面面垂直的定义(不常用);,(2)可以考虑证线面垂直,即设法先找到其中一个平面的一条垂线,再证,这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行.一般方,法:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通,过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅,助线来解决(常用方法).,2-1,如图,四边形,ABCD,为菱形,G,为,AC,与,BD,的交点,BE,平面,ABCD,.,(1)证明:平面,AEC,平面,BED,;,(2)若,ABC,=120,AE,EC,三棱锥,E,-,ACD,的体积为,求该三棱锥的侧,面积.,解析,(1)证明:因为四边形,ABCD,为菱形,所以,AC,BD,.,因为,BE,平面,ABCD,所以,AC,BE,.,又,BD,BE,=,B,故,AC,平面,BED,.,又,AC,平面,AEC,所以平面,AEC,平面,BED,.,(2)设,AB,=,x,在菱形,ABCD,中,由,ABC,=120,可得,AG,=,GC,=,x,GB,=,GD,=,.,因为,AE,EC,所以在Rt,AEC,中,可得,EG,=,x,.,由,BE,平面,ABCD,知,EBG,为直角三角形,可得,BE,=,x,.,由已知得,三棱锥,E,-,ACD,的体积,V,E,-,ACD,=,AC,GD,BE,=,x,3,=,解得,x,=,2.,从而可得,AE,=,EC,=,ED,=,.,所以,EAC,的面积为3,EAD,的面积与,ECD,的面积均为,.,故三棱锥,E,-,ACD,的侧面积为3+2,.,典例3,(2017北京海淀一模)已知四棱锥,P,-,ABCD,中,底面,ABCD,为正方,形,PA,平面,ABCD,PA,=,AB,=2,E,F,分别是,PB,PD,的中点.,(1)求证:,PB,平面,FAC,;,(2)求三棱锥,P,-,EAD,的体积;,(3)求证:平面,EAD,平面,FAC,.,考点三平行与垂直的综合问题,命题角度一平行与垂直关系的证明,解析,(1)证明:连接,BD,与,AC,交于点,O,连接,OF,在,PBD,中,O,F,分别是,BD,PD,的中点,所以,OF,PB,又因为,OF,平面,FAC,PB,平面,FAC,所以,PB,平面,FAC,.,(2)因为,PA,平面,ABCD,AB,、,AD,平面,ABCD,所以,PA,AB,PA,AD,又因为,AB,AD,PA,AB,=,A,所以,AD,平面,PAB,在直角,PAB,中,PA,=,AB,=2,E,为,PB,的中点,所以,S,PAE,=1,所以,V,P,-,EAD,=,V,D,-,PAE,=,S,PAE,AD,=,.,(3)证明:因为,AD,平面,PAB,PB,平面,PAB,所以,AD,PB,在等腰直角,PAB,中,AE,PB,又,AE,AD,=,A,AE,、,AD,平面,EAD,所以,PB,平面,EAD,又,OF,PB,所以,OF,平面,EAD,又,OF,平面,FAC,所以平面,EAD,平面,FAC,.,命题角度二平行与垂直关系中的探索性问题,典例4,(2018北京东城期末)如图,在四棱锥,P,-,ABCD,中,PAD,是等边三,角形,E,为,AD,中点,四边形,ABCD,为直角梯形,AB,CD,AB,AD,AB,AP,CD,=,AD,=2,AB,=2.,(1)求证:平面,PAB,平面,PAD,;,(2)求四棱锥,P,-,ABCD,的体积;,(3)在棱,PB,上是否存在点,M,使得,EM,平面,PCD,?说明理由.,解析,(1)证明:因为,AB,AD,AB,AP,AD,AP,=,A,所以,AB,平面,PAD,.因为,AB,平面,PAB,所以平面,PAB,平面,PAD,.,(2)连接,PE,.,因为,PAD,为等边三角形,E,为,AD,中点,所以,PE,AD,.,因为,AB,平面,PAD,所以,AB,PE,.,因为,AB,AD,=,A,所以,PE,平面,ABCD,.,在等边,PAD,中,PE,=,PA,sin 60,=,S,梯形,ABCD,=,=3,所以,V,P,-,ABCD,=,S,梯形,ABCD,PE,=,3,=,.,(3)棱,PB,上存在点,M,使得,EM,平面,PCD,此时点,M,为,PB,中点.,取,BC,中点,F,连接,MF,ME,EF,.,因为,E,为,AD,中点,所以,EF,CD,.,因为,EF,平面,PCD,所以,EF,平面,PCD,.,因为,M,为,PB,中点,所以,MF,PC,.,因为,MF,平面,PCD,所以,MF,平面,PCD,
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