电磁学讲课电势

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,a,b,一、电场力做功的特点：,q,总功为,若场源为点电荷系，则,7.4,静电场的环路定理,(Circulation Theorem),电势,(Electric Potential),若场源为点电荷，考察元功,r,a,r,b,q,0,dr,电场力做功,仅与试验电荷,q,0,场源电荷,q,i,始末位置,r,ai,r,bi,有关，而,与路径无关,。所以，,静电力是保守力，静电场是保守场。,在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。,为“静电场是保守场”的另一种表达形式。高斯定理对静电场、动电场都成立，环路定理仅对静电场成立。,二、静电场的环路定理：,L,L,1,L,2,a,b,L,1,L,2,L,2,L,1,场强的线积分,(,电场力做功,),与路径无关，所以最后两个积分相等。,三、静电势能,(Electrostatic Potential Energy),：,注意：电势能是属于试验电荷,q,0,和场源电荷,q,整体的，不专属于其中某一个电荷。,一般取某点,(,或无穷远处,),为电势能为零的地方,(,势能零点,),，则场中任意点的电势能为,静电力是保守力，可引入,静电势能,的概念。,保守力的功等于静电势能增量的负值,A,保,=,U,电荷,q,0,在电场中某点的电势能等于把电荷从该点沿任意路径移动到电势能零点，静电力所做的功。,电势能与试验电荷有关，不是好的描绘电场的,物理量。定义,电势,电势零点的一般选择方法,1.,有限带电体，选择无穷远,2.,无限带电体，选择接地、仪器外壳或有限远,四、电势、电势差：,电势零点的选择原则：任意，视问题方便而定。,电势零点选择不同，同一场点的电势值不同。,为把单位正电荷从,a,点沿任意路径移动到电势零点过程中，静电力所做的功。是空间坐标的函数。,a,b,两点的,电势差,（电压）,a,b,两点的电势差定义为把单位正电荷从,a,点沿任意,路径移动到,b,点过程中，静电力所做的功。,静电力的功与电势、电势差的关系：,五、电势的计算方法：,(1),先算场强；,(2),选择合适的路径,(,容易积分,),；,(3),积分,1.,路径积分法,：,例如：点电荷,q,所产生电场的电势,(,沿径向积分,),q,为正，,V,为正，,r,越小，,V,越大；,q,为负，,V,为负，,r,越小，,V,越小。,q,a,例,1,求半径为,R,带电量为,Q,的均匀带电球壳的电场的电势分布。,(,书中例,7-9),Q,r,R,O,V=C,V,1/,r,解：已知电场分布,当,r,R,时，,当,r,R,时，用分步积分得,(,等势体,),V,r,O,R,a,b,r,O,例,2,如果取,B,点的电势为零，求,A,点和,C,点的电势。,q,=10,-8,C,10cm 10cm 10cm,解：由待求点积分至零电势点,A,B,C,r,O,例,3,求无限长均匀带电直线的电场的电势分布。,P,0,解：已知电场分布,得电势分布,所以不能选择无限远处为无限大带电体的电势零点。,此题表明，静电场中只有电势差有绝对意义，而电势只有相对意义。,选,P,0,点为电势零点，求得电势分布,P,点电荷系,连续带电体,注意，总电势也可以由部分带电体分别形成的电势叠加得到，但它们,必须有相同的电势零点,。,2.,叠加法,：,电势叠加原理,：点电荷系统电场中某点的电势等于各场源电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和。,(,标量叠加,),x,O,例,4,求电偶极子的电场的电势分布。,r,r,r,+,+,q,+,q,y,解：利用电势叠加原理，空间任意,点,P,的电势为,对于离电偶极子比较远的点，,r,l,，有,则,P,例,5,利用书中例,7-11,结果计算均匀带电圆盘,(,R,),轴线上任一点电势。,R,r,dr,O,x,解：用电势叠加原理计算。,当,R,x,时,与点电荷相同,面元在,P,点产生电势,P,x,例,6,两个同心的均匀带电球面，半径分别为,R,1,R,2,，,电量分别为,q,1,q,2,，求其电势分布。,(,例,7-12),O,r,R,1,R,2,解：单个球壳的电势分布已经求出,两球壳具有相同的零电势点，可以,方便地用电势叠加原理求电势分布。,对小球内部区域,对两球中间区域,对大球外部区域,练习：用积分法解,q,1,q,2,例,7,试证明对于静电场，若电力线平行，必然是等间,距的，即一定是均匀场。,a,b,c,d,结果违反静电场环路定理 ，因而假设不成,立。所以，均匀电场具有平行而等间距的电力线。,设存在平行而不等间距的电,力线，按电力线的定义，电场强,度的大小与电场强度的疏密成正,比，所以,E,a,=,E,b,E,c,=,E,d,。,证明：用反证法。,六、电势与场强的关系：,1.,等势面：空间中电势相同的点连起来的平面或曲面,（对比地图上等高线、等温线、等压线等）,(1),等势面,电场线,证明：取很近的两点,a,和,b,，,(2),等势面越密的地方，电场线越密，场强越大。,若在同一等势面,V,a,=,V,b,，则,cos,=0,即,=,/2,，得证。,a,b,特点,证明：作等势面时，按规定,任意两,个相邻等势面间的电势差相等,，即,，因此场强与等势面间,距成反比，即等势面密的区域场强大。,a,b,c,低电势,高,电,势,电偶极子,+,+,正点电荷,常见电场的等势面和电场线图,平行板电容器,+,+,+,+,+,+,+,+,+,人体心脏周,围的等势面,表现出电偶,极子的特征,dr,dl,V,V+dV,a,b,c,2.,电势梯度：,等势面,V,和,V,+,dV,，,ab,，,由,等势面得,是电势的最大空间变化率，称为,电势梯度,。,它是一个矢量，方向沿等势面法向，指向电势升,高的方向。,为电势沿不同方向的空间变化率，,负号表示场强方向与电势梯度,方向相反，即,场强指向电势降,低最快的方向,。,如果电势为三维坐标函数,V=V,(,x,y,z,),，则,直角坐标系中，,利用电势梯度求电场强度是第,3,种求解电场分,布的方法。,例,8,将半径为,R,2,的圆盘，在盘心处挖去半径为,R,1,的,小孔，并使盘均匀带电。计算这个中空圆盘轴线上任,一点,P,处的场强。,O,x,R,1,R,2,解：已知圆盘轴线上任意点,P,的电势,P,x,空心圆盘,P,点的电势用叠加原理可得,x,O,例,9,求电偶极子的场强分布。,(,书中例,7-14),r,+,q,+,q,y,P(,x,y,),解：已知离电偶极子较远的,P,点的,电势为,变换为直角坐标,得,所以,静电力 电场强度 电势 电势能,万有引力 引力强度 引力势 引力势能,（加速度）,静电场与万有引力场的比较,关于电势差的两种积分形式,和,a,b,+q,二力合力为零，但二力不在一条直线上，对电偶极子产生力矩。,电偶极子受力,即,O,+,q,q,二力对电偶极子中点的合力矩,7.5,静电场中的电偶极子,一、外电场对电偶极子施加力矩：,力矩 的作用总是使电偶极子转向电场 的方向，,当转到 平行于 时，,=0,，处于稳定平衡位置，,当 与 反平行时，,=0,，处于非稳定平衡位置。,电偶极子在电场作用下由,0,转到,时电力矩做功,（,d,的方向与 的方向相反）,电势能增量等于电功负值,二、电偶极子在外电场中的电势能：,选择,0,=,/2,为势能零点，则电势能,电势能越低，系统越稳定。,=0,时电势能最低，电偶极子处于稳定平衡。,0,