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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,34-,#,Thursday,September 21,2023,高等数学,A(,下）,34-,1,一、格林公式,设,D,为平面区域,如果,D,内任一闭曲线所围成的部分都属于,D,则称,D,为平面,单,连通区域,否则称为,多,连通区域,.,多连通区域,单连通区域,D,D,1,、区域连通性的分类,单连通区域,(,无“洞”区域,),，,多连通区域,(,有“洞”区域,),34-1一、格林公式 设D为平面区域,如果D内,34-,2,边界曲线,L,的正向,:,当观察者沿边界行走时,区域,D,总在他的,左边,.,2,、边界曲线的正向,一、格林公式,34-2边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D,34-,3,定理,1,.,设区域,D,是由分段光滑曲线,L,围成,函数,则有,(,格林公式,),在,D,上具有,一阶连续偏导数,一、格林公式,其中,L,是,D,的取,正向,的边界曲线。,34-3定理1.设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,34-,4,证明,:,1),若,D,既是,X-,型区域,又是,Y-,型区域,且,则,即,34-4证明:1)若D 既是 X-型区域,又,34-,5,同理可证,、两式相加得,:,34-5同理可证、两式相加得:,34-,6,2),若,D,不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域,(,如图,),D,34-62)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其,34-,7,G,D,F,C,E,A,B,由,2),知,34-7GDFCEAB由2)知,34-,8,格林公式,34-8格林公式,34-,9,推论,:,正向闭曲线,L,所围,区域,D,的面积,例如,椭圆,所围面积,格林公式,34-9推论:正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积例如,34-,10,例,1,.,设,L,是一条分段光滑的闭曲线,证明,证,:,令,则,利用格林公式,得,34-10例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证,34-,11,解,x,y,O,C,A,B,D,34-11解xyOCABD,34-,12,例,3.,计算,其中,D,是以,O,(0,0),A,(1,1),B,(0,1),为顶点的三角形闭域,.,解,:,令,则,利用格林公式,有,也可以直接用二重积分来计算,34-12例3.计算其中D 是以 O(0,0),A,34-,13,例,4.,计算,其中,L,为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线,.,解,:,令,设,L,所围区域为,D,由格林公式知,x,y,o,L,34-13例4.计算其中L为一无重点且不过原点的分段光,34-,14,在,D,内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记,L,和,l,所围的区域为,林公式,得,y,x,o,例,4.,计算,其中,L,为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线,.,34-14在D 内作圆周取逆时针方向,对区域应用格记,34-,15,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理,2,.,设,D,是,单连通域,在,D,内,具有,一阶连续偏导数,(1),沿,D,中任意光滑闭曲线,L,有,(2),对,D,中任一分段光滑曲线,L,曲线积分,(3),(4),在,D,内每一点都有,与路径无关,只与起止点有关,.,函数,则以下四个条件,等价,:,在,D,内是某一函数,的全微分,即,34-15二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.,34-,16,(1),沿,D,中任意光滑闭曲线,L,有,(2),对,D,中任一分段光滑曲线,L,曲线积分,与路径无关,只与起止点有关,.,证明,(1),(2),设,为,D,内,任意,两条由,A,到,B,的有向分段光滑曲,线,则,(,根据条件,(1),34-16(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有(2,34-,17,证明,(1),(2),设,为,D,内,任意,两条由,A,到,B,的有向分段光滑曲,线,则,(,根据条件,(1),说明,:,积分与路径无关时,曲线积分可记为,34-17证明(1)(2)设为D 内任意两条由,34-,18,(2),对,D,中任一分段光滑曲线,L,曲线积分,(3),与路径无关,只与起止点有关,.,在,D,内是某一函数,的全微分,即,证明,(2),(3),在,D,内取,定点,因曲线积分,则,和,任一点,B,(,x,y,),与路径无关,有函数,34-18(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积,34-,19,同理可证,因此有,证明,(2),(3),在,D,内取,定点,因曲线积分,则,和,任一点,B,(,x,y,),与路径无关,有函数,34-19同理可证因此有证明(2)(3)在D内,34-,20,(4),在,D,内每一点都有,(3),在,D,内是某一函数,的全微分,即,证明,(3),(4),设存在函数,u,(,x,y,),使得,则,34-20(4)在 D 内每一点都有(3)在 D 内是,34-,21,P,Q,在,D,内具有连续的偏导数,从而在,D,内每一点都有,证明,(3),(4),设存在函数,u,(,x,y,),使得,则,34-21P,Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D,34-,22,证明,(4),(1),设,L,为,D,中任一分段光滑闭曲线,(,如图,),利用,格林公式,得,所围区域为,证毕,(1),沿,D,中任意光滑闭曲线,L,有,(4),在,D,内每一点都有,34-22证明(4)(1)设L为D中任一分段光,34-,23,说明,:,根据定理,2,若在某区域,D,内,则,2),求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3),可用积分法求,d,u,=,P,d,x,+,Q,d,y,在域,D,内的原函数,:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线,可,添加辅助线,;,取定点,1),计算曲线积分时,可选择方便的积分路径,;,34-23说明:根据定理2,若在某区域D内则2)求,34-,24,4),若已知,d,u,=,P,d,x,+,Q,d,y,则对,D,内任一分段光滑曲,线,AB,有,注,:,此式称为,曲线积分的基本公式,(P213,定理,4),.,它类似于微积分基本公式,:,34-244)若已知 d u=P dx+Q d,34-,25,解,例,4.,34-25解例4.,34-,26,例,5.,计算,其中,L,为上半,从,O,(0,0),到,A,(4,0).,解,:,为了使用格林公式,添加辅助线段,它与,L,所围,原式,圆周,区域为,D,则,34-26例5.计算其中L 为上半从 O(0,0),34-,27,例,6.,验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数,.,证,:,设,则,由定理,2,可知,存在函数,u,(,x,y,),使,34-27例6.验证是某个函数的全微分,并求出这个,34-,28,例,7.,验证,在右半平面,(,x,0),内存在原函,数,并求出它,.,证,:,令,则,由,定理,2,可知存在原函数,34-28例7.验证在右半平面(x 0)内,34-,29,或,34-29或,34-,30,例,8.,设质点在力场,作用下沿曲线,L,:,由,移动到,求力场所作的功,W,解,:,令,则有,可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关,.,34-30例8.设质点在力场作用下沿曲线 L:由移动,34-,31,思考,:,积分路径是否可以取,取圆弧,为什么？,注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径,无关,!,转内容小结,34-31思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,34-,32,内容小结,1.,格林公式,2.,等价条件,在,D,内与路径无关,.,在,D,内有,对,D,内任意闭曲线,L,有,在,D,内有,设,P,Q,在,D,内具有一阶连续偏导数,则有,为全微分方程,34-32内容小结1.格林公式2.等价条件在 D 内,34-,33,思考与练习,1.,设,且都取正向,问下列计算是否正确,?,提示,:,34-33思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否,
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