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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,设,求,f,沿,e=,(,cos,sin,),在点(0,0)的方向导数.,当,cos,0,时,当,cos,=,0,时,因为,f,(,cos,sin,),=,0,用定义计算方向导数,解,例,1,用定理计算方向导数,解,例,3.,设,z=,3,x,4,+,xy,+y,3,求,z,在,M,(1,2),点处 沿方向角为,=,135,的,方向的方向导数。,解,例,4.,求函数,在点,P,(1,1,1),沿向量,3),的方向导数,.,解,:,向量,l,的方向余弦为,由点,到坐标原点的距离定,义的函数,在坐标原点处,向导数值都等于,1:,的两个偏导数均不存在,但它在该点,沿任何方向的方向导数均存在,且方,此例说明,:1.,方向导数存在时,偏导数不一定存在,.,2.,可微是方向导数存在的充分条件,而不是,必要条件,P80-2,7.,例,从而,解,解,由梯度计算公式得,故,备用题,1.,函数,在点,处的,梯度,解,:,则,注意,x,y,z,具有轮换对称性,指向,B,(3,2,2),方向的方向导数是,.,在点,A,(1,0,1),处沿点,A,2.,函数,提示,:,则,例,解,故,例,3.,设,是曲面,在点,P,(1,1,1),处,指向外侧的法向量,解,:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数,.,在点,P,处沿,求函数,例,5,.,设,u=x y+e,z,M,0,(1,-1,0),P,(3,-3,1),求,(1)在,M,0,沿,M,0,P,的方向导数;,(2),在,M,0,沿曲线,x=t,y=t,2,-,2,z=t t,3,的切线方向的方向导数(本节不讲,);,(3),在,M,0,的最大方向导数与梯度。,解：,(1),(3),在,M,0,的最大方向导数与梯度:,设点电荷,q,位于坐标原点,在点,处的电位为,其中,为介电系数,求电位,v,的梯度,.,其中,负号说明离点电荷越远,电位越低,即电位梯度的方向与电场,E,的方向相反,.,自己计算一下这一步,.,例,解,
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