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第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,模型是表征系统本质信息的一种形式。,假设是对一种现象的描述，谓概念性模型或观念性模型。,假设是用实验为依据的描述，即所谓物理模型在机械运动中可称为力学模型。,假设是分析形式，即数学模型。,在工程中，需要定量地描述一个系统，需要了解系统的特性，必须要建立一个能描述该系统的数学模型建模。,在动力学的正、反问题中建模方法是完全不同的。,正：根据系统所服从的物理定律；,反：依靠实验数据-参数辩识。,第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,只需要一个坐标就可以完全确定其几何位置的系统称为,单自由度系统,。,工程中许多振动问题可以化简为单自由系统来研究。质量弹簧系统是最简单也是最典型的振动力学模型。,第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,单自由度系统的建模方法可以利用：,1,牛顿第二定律,F=ma,2,拉格朗日方程,n,为自由度数，,q,j,为第j个广义坐标，,U,为系统势能，,T,为系统动能，,Q,j,为与,q,j,对应的广义力。,3 等效法,第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,所有单自由度的粘性阻尼系统粘性阻尼：阻尼力与质点速度成正比且反向的阻尼模型都可简化为如下图的质量-弹簧-阻尼系统。,令,x,为广义坐标，线性刚度具有如下形式的力-位移关系：,线性阻尼力具有如下的力-速度关系：,第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,串、并联弹簧的刚性系数的等效：,m,k,1,k,2,m,k,1,k,2,m,k,1,k,2,k,3,第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,令,x,为广义坐标，系统的动能为：,m,eq,为等效质量。,第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,系统的势能为：,k,eq,为等效刚度。,粘性阻力在任意两点,x,1,和,x,2,间所作的功为：,c,eq,为等效粘性阻尼系数。,第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,例1 试求如下图杆的纵向刚度。,A,E,L,x,m,解,：当杆一端作用沿,x,方向的力,F,时，其长度变 化为：,第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,A,E,L,x,m,由上式，得：,第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,例2 试求如下图转动轴的扭转刚度。转轴的剪切模量为G,轴的内外径分别为r,R。,解：如果在轴的末端施加一个力矩M,那么由材料力学知识知，轴端的扭转角为：,L,第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,其中,J,为轴的截面极惯性矩：,第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,例3 计算如下图匀质杆系统的等效参数。广义坐标为q,从系统的平衡位置测起，q假定很小。,L,/3,2,L,/3,k,k,杆的质量,m,第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,解：广义坐标为q,那么系统任意瞬时的动能为：,第2章 简单振动系统,2.1 单自由度系统建模,因重力引起的势能与静变形引起的势能相抵消，那么系统任意瞬时的势能为：,第2章 简单振动系统,2.2 单自由度系统的振动分析,通过前面一节对于一线性单自由系统，总可以将其简化为质量弹簧-粘性阻尼系统，得到系统的等效惯性、刚性和粘性参数。并进一步用牛顿定律得到系统的动力学微分方程：,自由振动微分方程,。,强迫振动微分方程,。,第2章 简单振动系统,2.2 单自由度系统的振动分析,由自由振动方程，引入记号：,w,为无阻尼时系统的固有频率(,rad/s,)。工程中通常用,f,/Hz。,z,为无量刚阻尼率。,自由振动方程可改写为：,1 自由振动,第2章 简单振动系统,2.2 单自由度系统的振动分析,此方程为系统的,特征方程,。它的两个根为：,设方程的解为：,代入上述方程，有：,第2章 简单振动系统,2.2 单自由度系统的振动分析,z=1为临界阻尼情形。临界联想到物理中的相变，水的沸点。z1超阻尼:不振动。,下面重点讨论亚阻尼欠阻尼情形：0z1时，放大率十分接近于0。,当频率比g1时，放大率相对地放大。即振幅响应到达极大值，这种现象称为共振。,第2章 简单振动系统,2.2 单自由度系统的振动分析,2,强迫振动,当频率比,g,1,时的区域时系统发生剧烈振动，称为,共振区,。,在共振区内，阻尼率对于振幅的影响非常显著。,严格说来，共振并不出现在,g=,1处，共振频率为：,第2章 简单振动系统,2.2 单自由度系统的振动分析,2,强迫振动,上图称为,相频特性曲线。,第2章 简单振动系统,2.2 单自由度系统的振动分析,2,强迫振动,从图中可以看出来：不管阻尼率多大，当g=1时，都有y=p/2。利用这一现象可以用来测定系统的固有频率。,利用相位来判断共振的方法称为共振相位法。,
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