生物学正方形的性质和判定

,单击此处编辑母版标题样式,#,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,正 方 形,正方形,矩形,邻边相等的矩形,想一想：正方形是怎样的矩形？,菱形,正方形,一个角是直角的菱形,想一想：正方形是怎样的菱形？,有一组邻边相等的平行四边形（,菱形,）,并且有一个角是直角的平行四边形（,矩形,）,两层含义,正方形,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形,有一组邻边相等的矩形叫做正方形。,1.,正方形定义,:,1,、,_,的矩形叫做正方形。,快速反应,有一组邻边相等的,2,、,的菱形是正方形。,有一个角是直角的,3,、,的平行四边形是正方形。,有一个角是直角且有一组邻边相等的,2,、正方形的性质,边,对角线,对边平行,四边相等,对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角,四个角相等且都是直角,角,正方形性质,正方形具有平行四边形、矩形、菱 形的一切性质。,正方形的性质定理,1,：正方形的四个,角,都是直角，四条,边,都,相等且对,边,平行。,正方形的性质定理,2,：正方形的两条,对角线,相等，并且互相,垂直 平分，每条,对角线,平分一组对角。,二、,正方形的性质,几何语言：,四边形,ABCD,是正方形,DAB,ABC,BCD,CDA,90,AB,BC,CD,DA,ADBC,，,ABCD,AC,BD,，,ACBD,，,AO,CO,BO,DO,AC,平分,BAD,和,BCD,BD,平分,ABD,和,ADC,A,D,B,C,O,对称轴,思考：,1,、平行四边形、矩形、菱形、,正方形,分别有哪些性质？这些性质可以从哪几个角度概括？,平行四边形,矩形,菱形,对,边,平行且相等,四条,边,都相等,对,角,相等,四个,角,都是直角,对角线,互相平分,对角线,互相垂直,对角线,相等,每条,对角线,平分一组对角,性质,图形,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,正方形,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,有,请用这四种图形填空,A,表示：,B,表示：,C,表示：,D,表示：,平行四边形,矩形（菱形）,菱形（矩形）,正方形,例题,1:,四边形,ABCD,是正方形,两条对角线相交于点,O,(1),求,AOB,OAB,的度数。,8,解：四边形,ABCD,是正方形,ACBD,AOB=90,0,BAC=DAC,OAB=45,0,A,B,C,D,O,E,F,(2),若,AC=4,，则正方形边长,;,正方形的面积是,4,(3),正方形的面积,64cm,2,，则对角线交点到正方形一边的距离,22,2,、周长为,20cm,的正方形,边长是,对角线长是 面积是 。,1,）一组邻边相等,一个角是直角的四边形是正方形。,2,）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。,自我检测,1,、下列说法对吗？,5,25cm,2,A,B,C,D,O,3,、如图，有 个等腰直角三角形,8,52 cm,解：四边形,ABCD,是正方形,AB,BC,2cm,，,ABC,90,正方形的四个角都是直角，四条边都相等,例,2,、,已知：正方形的一条边长为,2cm,，求这个正方形,的周长、对角线长和正方形的面积。,A,D,B,C,边长,AB,2cm,周长,C,4AB,8cm,练习,4,、,已知：正方形的一条对角线长为,4cm,，求它的边长和面积？,解：四边形,ABCD,是正方形,AB,BC,，,ABC,90,正方形的四个角都是直角，四条边都相等,A,D,B,C,1,、正方形的面积等于边长的平方。,2,、正方形的面积等于等于对角线的平方的一半。,3,、正方形的周长等于边长的,4,倍。,在,RtABC,中，,例,3,、,已知：在正方形,ABCD,中，,E,、,F,分别在,BC,、,DC,上，且,BE,DF,，,AC,与,BC,相交于,O,点，,EF,与,AC,相交于,P,点,求证：,EF AC,，,EF BD,证明：四边形,ABCD,是正方形,BC,CD,正方形的四条边都相等,BE,DF,EC,FC,AC,平分,BCD,正方形的每条对角线平分一组对角,EF AC,AC BD,（正方形的对角线互相垂直）,EF BD,A,B,C,D,O,P,F,E,矩形、正方形（,2,）,1,、在下列性质中，平行四边形具有的是,_,，矩形具有的是,_,，菱形具有的是,_,，正方形具有的是,_,。,（,1,）四边都相等；（,2,）对角线互相平分；,（,3,）对角线相等；（,4,）对角线互相垂直；,（,5,）四个角都是直角；,（,6,）每条对角线平分一组对角；,（,7,）对边相等且平行；,（,8,）有两条对称轴。,自主学习,矩形、正方形（,2,）,2,、正方形两条对角线的和为,8cm,，它的面积为,_.,自主学习,矩形、正方形（,2,）,3,、如图，点,E,、,F,在正方形,ABCD,的边,BC,、,CD,上，,BE=CF.,（,1,）,AE,与,BF,相等吗？为什么？,（,2,）,AE,与,BF,是否垂直？说明你的理由。,自主学习,如何设计花坛？,在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）,请你当设计师,矩形、正方形（,2,）,4,、判断。,（,1,）正方形一定是矩形。（）,（,2,）正方形一定是菱形。（）,（,3,）菱形一定是正方形。（）,（,4,）矩形一定是正方形。（）,（,5,）正方形、矩形、菱形都是平行四边形。（）,快速反应,尝试练习：,（,1,）已知：如图，,ABCD,和,AKLM,都是正方形，求证：,MD=KB,。,尝试练习：,（,2,）如图，正方形,ABCD,中，,AC,交,BD,于,O,，点,M,、,N,分别在,AC,、,BD,上，且,OM=ON,，,求证：,BM=CN,。,正方形,矩形,有一组邻边相等,菱形,有一个角是直角,平行四边形,有一组邻边相等,有一个角是直角,正方形常见的判定法,5,种识,别方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或,对角线相等,一组邻边相等,或,对角线垂直,一组邻边相等,或,对角线垂直,一个角是直角,或,对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,例,2,已知：如图，在矩形,ABCD,中，,AF,，,BH,，,CH,，,DF,分别是各内角平分线，,AF,和,BH,交于,E,，,CH,和,DF,交于,G,。求证：四边形,EFGH,是正方形,A D,H,B C,F,E,G,证明：,ADBC,，,AF,、,BH,是角平分线,AFBH,同理,BHCH,CHDF DFAF,HEF=EFG=,FGH=GHE=90,四边形,EFGH,是矩形,A,B,C,D,E,F,G,H,AF,平分,BAD BAF=DAF=45,同理,ABH=CBH=45,BCH=DCH=45,CDF=ADF=45,DAF=CBH,AD=BC,ADF=BCH,AFDBHC,（,ASA,）,AF=BH,BAF=ABH,AE=BE,EH=EF,四边形,EFGH,是正方形,课堂练习：,1,、已知：正方形,ABCD,中，分别过,A,、,C,两点作,ab,作,BMa,于,M,，,DNa,于,N,，直线,MB,、,ND,分别交,b,于,Q,、,P,。求证：四边形,PNMQ,是正方形。,2,、已知：如图，正方形,ABCD,和正方形,CEFG,，延长,CD,到,H,，且,DH=CE=BK,。求证：四边形,AKFH,是一个正方形,A,B,C,D,K,F,H,E,G,正方形,矩形,有一组邻边相等,菱形,有一个角是直角,平行四边形,有一组邻边相等,有一个角是直角,正方形常见的判定法,练习：,在,ABC,中,AB=AC,D,是,BC,的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是,E,F.,1),试说明,:DE=DF,2),只添加一个条件,使四边形,EDFA,是正方形,.,请你至少写出两种不同的添加方法,.(,不另外,添加辅助线,无需证明,),例：如图，已知,RtABC,中，,C=90,0,，,A,、,B,的角平分线相交于点,D,，,DEBC,于点,E,，,DFAC,于点,F,，求证：四边形,AEDF,是正方形。,D,A,B,C,E,F,M,例：如图，,E,、,F,分别在正方形,ABCD,的边,BC,、,CD,上，且,EAF=45,0,，,试说明：,EF=BE+DF,A,B,C,D,E,F,G,练习,如图,(5),，在,AB,上取一点,C,，以,AC,、,BC,为正方形的一边在同一侧作正方形,AEDC,和,BCFG,连结,AF,、,BD,延长,BD,交,AF,于,H,。求证：,(1)ACFDCB,(2)BHAF,证明：,