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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节,一、隐函数导数,二、由参数方程拟定函数导数,三、相关改变率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,隐函数和参数方程求导,相关改变率,第二章,第1页,第1页,函数为,隐函数,.,一、隐函数导数,若由方程,可拟定,y,是,x,函数,由,表示函数,称为,显函数,.,比如,可拟定显函数,可拟定,y,是,x,函数,但此隐函数不能显化.,则称此,隐函数,求导办法,:,两边对,x,求导,(含导数 方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页,第2页,例1.,求由方程,在,x,=0,处导数,解:,方程两边对,x,求导,得,因,x,=0 时,y,=0,故,拟定隐函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,第3页,例2.,求椭圆,在点,处切线方程.,解:,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,第4页,例3.,求,导数.,解:,两边取对数,化为隐式,两边对,x,求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,第5页,1)对幂指函数,可用对数求导法求导:,阐明:,按指数函数求导公式,按幂函数求导公式,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,第6页,2)有些显函数用对数求导法求导很以便.,比如,两边取对数,两边对,x,求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,第7页,又如,对,x,求导,两边取对数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,第8页,二、由参数方程拟定函数导数,若参数方程,可拟定一个,y,与,x,之间函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时当作,x,是,y,函数),关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,第9页,若上述参数方程中,二阶可导,且,则由它拟定函数,可求二阶导数.,利用新参数方程,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第10页,第10页,?,例4.,设,且,求,已知,解:,练习:,P111 题8(1),解:,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,第11页,例5.,抛射体运动轨迹参数方程为,求抛射体在时刻,t,运动速度大小和方向.,解:,先求速度大小:,速度水平分量为,垂直分量为,故抛射体,速度大小,再求,速度方向,(即轨迹切线方向):,设,为切线倾角,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,第12页,抛射体轨迹参数方程,速度水平分量,垂直分量,在刚射出(即,t,=0)时,倾角为,达到最高点时刻,高度,落地时刻,抛射,最远距离,速度方向,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,第13页,例6.,设由方程,拟定函数,求,解:,方程组两边对,t,求导,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,第14页,三、相关改变率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为,相关改变率,相关改变率问题,解法,:,找出相关变量关系式,对,t,求导,得相关改变率之间关系式,求出未知相关改变率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,第15页,例7.,一气球从离开观测员,500,m,处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为,500,m,时,观测员,视线仰角增长率是多少?,解:,设气球上升,t,分后其高度为,h,仰角为,则,两边对,t,求导,已知,h,=500m 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,第16页,思考题:,当气球升至,500 m,时停住,有一观测者以,100 mmin,速率向气球出发点走来,当距离为,500 m,时,仰角增长率是多少?,提醒:,对,t,求导,已知,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,第17页,试求当容器内水,例8.,有一底半径为,R,cm,高为,h,cm,圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,位等于锥高二分之一时水面上升速度.,解:,设时刻,t,容器内水面高度为,x,水,两边对,t,求导,而,故,体积为,V,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,第18页,内容小结,1.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,2.对数求导法:,适合用于幂指函数及一些用连乘,连除表示函数,3.参数方程求导法,极坐标方程求导,4.相关改变率问题,列出依赖于,t,相关变量关系式,对,t,求导,相关改变率之间关系式,转化,求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,第19页,思考与练习,1.,求螺线,在相应于,点处切线方程.,解:,化为参数方程,当,时相应点,斜率,切线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,第20页,2.,设,求,提醒:,分别用对数求导法求,答案:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,第21页,3.,设,由方程,拟定,解:,方程两边对,x,求导,得,再求导,得,当,时,故由,得,再代入,得,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,第22页,作业,P110 1,(1),(4),;2;3,(3),(4);,4,(2),(4),;5,(2),;6;7,(2),;,8,(2),(4),;9,(2),;10;12,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,第23页,求其反函数导数.,解:,办法1,办法2,等式两边同时对 求导,备用题,1.,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,第24页,求,解：,2.,设,方程组两边同时对,t,求导,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第25页,第25页,
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