第六章 样本及抽样分布

单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,第六章 样本及抽样分布,数理统计的特点是应用面广，分支较多,.,社会的发展不断向统计提出新的问题,.,计算机的诞生与发展，为数据处理提供了强有力的技术支持，数理统计与计算机的结合是必然的发展趋势,.,11/16/2024,1,从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工作,.,但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的推断,.,到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科,.,11/16/2024,2,数理统计学是一门应用性很强的学科,.,它是研究怎样以,有效的方式,收集、整理和分析,带有随机性的数据,，以便对所考察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议,.,数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的,有限,的资料，对所研究的问题,尽可能地作出精确而可靠的结论,.,11/16/2024,3,1,随机样本,一、总体与样本,1.,总体,：,试验的全部可能的观察值。,组成总体的元素称为,个体。,从,本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。,总体中所包含的个体的个数称为总体的,容量，,容量为有限的称为有限总体，容量无限的称为无限总体。,例如：某工厂生产的灯泡的寿命是一个总体，每一个灯泡的寿命是一个个体；某学校男生的身高的全体是一个总体，每个男生的身高是一个个体。,11/16/2024,4,2.,样本：,来自总体的部分个体,X,1,，,，,X,n,如果满足：,（2,）,独立性：,X,1,，,X,n,相互独立；,则称为,容量为,n,的简单随机样本,，简称,样本,。,它们的,观察值,x,1,，,x,n,称为样本值，又称为,X,的,n,个独立的观察值。,（,1,）,同分布性：,X,i,，,i,=1,n,与总体同分布.,11/16/2024,5,来自总体,X,的随机样本,X,1,，,，,X,n,可记为,或,11/16/2024,6,3.,总体、样本、样本观察值的关系,总体,样本,样本观察值,理论分布,统计是从手中已有的资料,样本观察值，去推断总体的情况,总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体,11/16/2024,7,二、统计量,定义,：设,X,1,X,n,是来自总体,X,的一个样本，如果它们的函数,g,(,X,1,X,n,),不含 未知 参数，则称,g,(,X,1,X,n,),是总体,X,的一个,统计量。,几个常用的统计量：,11/16/2024,8,3.,样本,k,阶矩,统计量和随机变量一般大写，而它们的观察值一般小写。,11/16/2024,9,抽样分布,一、,2,分布,统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：,2,分布、,t,分布和,F,分布。,11/16/2024,10,2.,2,分布的,密度函数,f,(,y,),曲线,11/16/2024,11,3.,分位点,设,X,2,(,n,)，,若对于,：,0,1,，存在,满足,则称,为,分布的上,分位点。,11/16/2024,12,4.,性质：,a.,分布可加性,若,X,2,(,n,1,)，,Y,2,(,n,2,)，,X,，,Y,独立，则,X,+,Y,2,(,n,1,+,n,2,),b.,期望与方差,若,X,2,(,n,)，,则,E(,X,)=,n,，D(,X,)=2,n,11/16/2024,13,t,(,n,),的概率密度为,二、,t,分布,1.,构造,若,X,N,(0,1),Y,2,(,n,),X,与,Y,独立，则,t,(,n,),称为自由度为,n,的,t,分布。,11/16/2024,14,2.,基本性质,:,(1),f,(,t,),关于,t,=0(,纵轴,),对称。,(2),f,(,t,),的极限为,N,(0,1),的密度函数，即,3.,分位点,设,T,t,(,n,)，,若对,:0,0,，,满足,P,T,t,(,n,)=,，,则称,t,(,n,),为,t,(,n,),分布的上侧,分位点,11/16/2024,15,注:,11/16/2024,16,1.,构造,若,U,2,(,n,1,)，,V,2,(,n,2,)，,U,，,V,独立，则,称为,自由度为,(,n,1,n,2,),的,F,分布,其概率密度为,三、,F,分布,11/16/2024,17,2.,F,分布的分位点,对于,：,00,，,满足,P,F,F,(,n,1,n,2,)=,，,则称,F,(,n,1,n,2,),为,F,(,n,1,n,2,),的上侧,分位点；,11/16/2024,18,证明,:,设,F,F,(,n,1,n,2,),则,注：,得证,!,11/16/2024,19,3,正态总体的抽样分布定理,11/16/2024,20,证明,:,是,n,个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布,11/16/2024,21,(3),证明,:,且,U,与,V,独立,根据,t,分布的构造,得证,!,（,1）和（2）的证明见书,P172-174,11/16/2024,22,11/16/2024,23,11/16/2024,24,11/16/2024,25,11/16/2024,26,11/16/2024,27,11/16/2024,28,11/16/2024,29,