立体图形与路径最短问题课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,立体图形与路径最短问题,商丘市第十三中学,赵来福,立体图形与路径最短问题商丘市第十三中学赵来福,1,B,A,问题情境一,在棱长为1的立方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从立方体的外表面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？它有几种爬行方法？（注：每一个面均能爬行）,BA问题情境一 在棱长为1的立方体的右下角A处有,2,知识准备,1、什么是线段公理？,两点之间，线段最短,2、勾股定理,在RtABC中，两直角边为a、b,斜边为c，则,a,2,+b,2,=c,2,.,知识准备1、什么是线段公理？两点之间，线段最短2、勾股定理在,3,思维点拨,1、在立体图形中，怎样利用线段公理解决路径最短问题？,2、怎样展开立方体的表面？展开哪几个面呢？,3、和A相连的面有哪几个？和B相连的面有哪几个？,4、最短路径要走几个面？怎么走？,思维点拨 1、在立体图形中，怎样利用线段公理解决,4,B,A,前面,右面,上面,后面,左面,下面,标注六个表面,BA前面右面上面后面左面下面标注六个表面,5,思维方法和过程,A点,前面,左面,下面,上面,右面,后面,B点,从A到B走最短路径要走几个面？,前面和右面；前面和上面；左面和上面；,左面和后面；下面和右面；下面和后面.,思维方法和过程A点前面左面下面上面右面后面B点从A到B走最短,6,A,B,1,前面,右面,B,方法一,1、展开,前面,和,右面,2、连接AB,1,则AB,1,为最短路径,由勾股定理得,AB,1,=,AB1前面右面B方法一1、展开前面和右面2、连接AB1则AB,7,A,B,2,B,前面,上面,方法二,2、连接AB,2,则AB,2,为最短路径,AB,2,=,1、展开,前面,和,上面,由勾股定理得,AB2B前面上面方法二2、连接AB2则AB2为最短路径AB2,8,左面,上面,A,1,B,3,方法三,2、连接A,1,B,3,则A,1,B,3,为最短路径,A,1,B,3,=,1、展开,前面,和,上面,由勾股定理得,左面上面A1B3方法三2、连接A1B3则A1B3为最短路径A,9,方法四,2、连接AB,4,则AB,4,为最短路径,AB,4,=,1、展开,左面,和,后面,由勾股定理得,A,B,4,方法四2、连接AB4则AB4为最短路径AB4=1、展开左面和,10,方法五,2、连接AB,5,则AB,5,为最短路径,AB,5,=,1、展开,下面,和,右面,由勾股定理得,A,B,5,方法五2、连接AB5则AB5为最短路径AB5=1、展开下面和,11,方法六,2、连接AB,6,则AB,6,为最短路径,AB,6,=,1、展开,下面,和,后面,由勾股定理得,A,B,6,方法六2、连接AB6则AB6为最短路径AB6=1、展开下面和,12,总结,从A到B共有六种最短路径,最短路径为,B,A,总结从A到B共有六种最短路径最短路径为BA,13,A,B,问题情境二,在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？,AB问题情境二 在底面半径为1、高为2的圆柱体的,14,A,B,问题解决,从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.,最短路径,：,A B 问题解决 从A点向上剪开，则侧面展开图,15,在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲从圆柱体的侧面如图迂回爬行去吃左上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？,A,B,问题情境三,在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一,16,A,B,问题解决,从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.,最短路径,：,A B 问题解决 从A点向上剪开，则侧面展开图,17,A,B,问题情境四,在底面半径为1、高为2的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？,AB问题情境四 在底面半径为1、高为2的圆柱体的,18,思维分析,1、问题四和问题二的区别在哪儿？,问题二指明在侧面爬行；问题四没有说明.,2、问题四没有指明侧面会发生什么变化？,可能出现2种情况：在侧面爬行沿A向上再沿上底面直径爬行到B,思维分析1、问题四和问题二的区别在哪儿？问题二指明在侧面爬行,19,A,B,情况一解决,从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.,最短路径,：,A B 情况一解决 从A点向上剪开，则侧面展开,20,情况二解决,A,B,B,如图，展开上底面，沿AB爬行是此种情况的最短路径.,最短路径为：4,情况二解决ABB 如图，展开上底面，沿AB爬行是此种,21,比较选择最短路径,两个最短路径 和4哪一个最小呢？,比较大小：,因此最短路径为侧面爬行的,是否所有的情况下都是侧面爬行路径最短吗？,高和底面半径换一些数据试一试.,比较选择最短路径两个最短路径 和,22,A,B,延伸问题五,在底面半径为r、高为h的圆柱体的左下角A处有一只蚂蚁，欲爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？,AB延伸问题五 在底面半径为r、高为h的圆柱体的,23,A,B,情况一,从A点向上剪开，则侧面展开图如图所示，连接AB，则AB为爬行的最短路径.,最短路径,：,A B 情况一 从A点向上剪开，则侧面展开图如,24,情况二解决,A,B,B,如图，展开上底面，沿AB爬行是此种情况的最短路径.,最短路径为：h+2r,情况二解决ABB 如图，展开上底面，沿AB爬行是此种,25,比较与总结,比较 和 h+2r的大小,=h+2r,比较与总结比较 和 h,26,5,4,3,A,B,在长为5、宽为3、高为4的长方体的右下角A处有一只蚂蚁，欲从长方体的外表面爬行去吃右上角B处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？,问题情境六,543AB 在长为5、宽为3、高为4的长方体的右,27,思维分析,1、长方体和立方体的情况一样吗？它们有什么相同和不同点呢？,和A相连的面是左面、前面和下面；,和B相连的面是上面、右面和后面.,共有六种不同的选择路径,这六种不同选择的路径大小相同吗？,思维分析1、长方体和立方体的情况一样吗？它们有什么相同和不同,28,思维方法和过程,A点,前面,左面,下面,上面,右面,后面,B点,5,4,3,A,B,思维方法和过程A点前面左面下面上面右面后面B点543AB,29,5,4,3,A,B,B,情况一,展开前面和右面，连接AB，此时路径最短.,543ABB情况一展开前面和右面，连接AB，此时路径最短.,30,5,4,3,A,B,B,情况二,展开前面和上面，连接AB，此时路径最短.,543ABB情况二 展开前面和上面，连接AB，,31,5,4,3,A,B,B,A,情况三,展开左面和上面，连接AB，此时路径最短.,543ABBA情况三 展开左面和上面，连接AB,32,比较和总结,比较三种情况的最短路径,且另三种情况与上述三种情况结果分别相同,因此爬行的最短路径为,比较和总结比较三种情况的最短路径且另三种情况与上述三种情况结,33,A,B,C,问题情境七,如图,圆锥的底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少?,ABC问题情境七 如图,圆锥的底面半径为1,母线长为,34,A,B,C,B,思维分析,圆锥的侧面展开图如图所示，连接BB，则BB为蚂蚁爬行的最短路径.,ABCB思维分析 圆锥的侧面展开图如图所示，连接,35,A,B,C,4,1,B,解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB,BAB=n,ABB是直角三角形,解得:n=90,圆锥底面半径为1,母线长为4,连接BB,即为蚂蚁爬行的最短路线,2,=,4n,180,问题解决,BB=,答:蚂蚁爬行的最短路线为 .,ABC41B解:设圆锥的侧面展开图为扇形ABB,BA,36,如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？,A,B,C,问题情境八,如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底,37,将圆锥沿,AB,展开成扇形,ABB,问题解决,将圆锥沿AB展开成扇形ABB问题解决,38,