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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,11.2.2,三角形的外角,第十一章 三角形,11.2,与,三角形有关的角,八年级数学上(RJ),教学课件,11.2.2 三角形的外角第十一章 三角形11.2,导入新课,复习引入,1.,在,ABC,中,,A,=80,B,=52,则,C,=,.,3.,什么是三角形的内角?其内角和等于多少?,48,三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角,,它们的和是,180.,2.,如图,在,ABC,中,,A,=70,B,=60,则,ACB,=,,,ACD,=,.,A,B,C,D,50,130,导入新课复习引入1.在ABC中,A=80,B=52,B,D,C,A,O,40,70,?,问题:,发现懒羊羊独自在,O,处游玩后,灰太狼打算用迂回的方式,先从,A,前进到,C,处,然后再折回到,B,处截住,懒羊羊,返回羊村的去路,红太狼则直接在,A,处拦截,懒羊羊,,已知,BAC,=40,,,ABC,=70.,灰太狼从,C,处要转多少度角才能直达,B,处?,BDCAO40 70?问题:发现懒羊羊独自,利用,“,三角形的内角和为,180,”,来求,BCD,,你会吗?,思考:,像,BCD,这样的角有什么特征吗?猜想它的性质,.,这节课让我们一起来探讨吧,.,B,D,C,A,O,40,70,?,由三角形内角和易得,BCA,=180,A,CBA,=70,,,所以,BCD,=,180,BCA=,110,.,利用“三角形的内角和为180”来求BCD,你会吗?思考:,讲授新课,三角形的外角的概念,一,定义,如图,把,ABC,的一边,BC,延长,,,得到,ACD,,,像这样,,,三角形的一边与另一边的,延长线,组成的角,叫做,三角形的外角,.,ACD,是,ABC,的一个外角,C,B,A,D,讲授新课三角形的外角的概念一定义ACD是ABC的一个外角,问题,1,如图,延长,AC,到,E,BCE,是不是,ABC,的一个外角?,DCE,是不是,ABC,的一个外角?,E,在三角形每个顶点处都有两个外角,.,ACD,与,BCE,为对顶角,,,ACD,=,BCE,;,C,B,A,D,BCE,是,ABC,的一个外角,,DCE,不是,ABC,的一个外角,.,问题,2,如图,,ACD,与,BCE,有什么关系?在三角形的每个顶点处有多少个外角?,问题1 如图,延长AC到E,BCE是不是ABC的一个外,A,B,C,画一画,画出,ABC,的所有外角,共有几个呢,?,每一个三角形都有,6,个外角,每一个顶点相对应的外角都有,2,个,且这,2,个角,为对顶角,.,ABC画一画 画出ABC的所有外角,共有几个呢?,三角形的外角应具备的条件:,角的顶点是三角形的顶点;,角的一边是三角形的一边;,另一边是三角形中一边的延长线,.,ACD,是,ABC,的一个外角,C,B,A,D,每一个三角形都有,6,个外角,总结归纳,三角形的外角应具备的条件:角的顶点是三角形的顶点;ACD,F,A,B,C,D,E,如图,BEC,是哪个三角形的外角?,AEC,是哪个三角形的外角?,EFD,是哪个三角形的外角?,BEC,是,AEC,的外角,;,AEC,是,BEC,的外角,;,EFD,是,BEF,和,DCF,的外角,.,练一练,FABCDE如图,BEC是哪个三角形的外角?AEC是哪,三角形的外角,A,C,B,D,相邻的内角,不相邻的内角,三角形的外角的性质,二,问题,1,如图,,ABC,的外角,BCD,与其相邻的内角,ACB,有什么关系?,BCD,与,ACB,互补,.,三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角三角形的外角的性质,问题,2,如图,,ABC,的外角,BCD,与其不相邻的两内角,(,A,,,B,),有什么关系?,三角形的外角,A,C,B,D,相邻的内角,不相邻的内角,A,+,B,+,ACB,=180,,,BCD,+,ACB,=,180,,,A,+,B,=,BCD,.,你能用作平行线的方法证明此结论吗?,问题2 如图,ABC的外角BCD与其不相邻的两内角(,D,证明:过,C,作,CE,平行于,AB,,,A,B,C,1,2,1=,B,,,(两直线平行,同位角相等),2=,A,,,(两直线平行,内错角相等),ACD,=,1+,2=,A,+,B,.,E,已知:如图,,ABC,,求证:,ACD,=,A,+,B,.,验证结论,D证明:过C作CE平行于AB,ABC121=B,,三角形内角和定理的推论,A,B,C,D,(,(,(,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,.,应用格式:,ACD,是,ABC,的一个外角,ACD,=,A,+,B,.,知识要点,三角形内角和定理的推论ABCD(三角形的外角等于与它不相,练一练:,说出下列图形中,1,和,2,的度数:,A,B,C,D,(,(,(,80,60,(,2,1,(1),A,B,C,(,(,(,(,2,1,50,32,(2),1=40,2=140,1=18,2=130,练一练:说出下列图形中1和2的度数:ABCD(80,例,1,如图,A,=42,ABD,=28,ACE,=18,求,BFC,的度数,.,BEC,是,AEC,的一个外角,,BEC,=,A,+,ACE,,,A,=42,,,ACE,=18,,,BEC,=60,.,BFC,是,BEF,的一个外角,,BFC,=,ABD,+,BEF,,,ABD,=28,,,BEC,=60,,,BFC,=88,.,解:,F,A,C,D,E,B,典例精析,例1 如图,A=42,ABD=28,ACE=18,例,2,如图,,P,为,ABC,内一点,,BPC,150,,,ABP,20,,,ACP,30,,求,A,的度数,解析:延长,BP,交,AC,于,E,或连接,AP,并延长,构造三角形的外角,再利用外角的性质即可求出,A,的度数,E,例2 如图,P为ABC内一点,BPC150,解析:,解:延长,BP,交,AC,于点,E,,,则,BPC,,,PEC,分别为,PCE,,,ABE,的外角,,BPC,PEC,PCE,,,PEC,ABE,A,,,PEC,BPC,PCE,150,30,120.,A,PEC,ABE,120,20,100.,解:延长BP交AC于点E,,【变式题】,(,一题多解,),如图,,A,=51,,,B,=20,,,C,=30,,求,BDC,的度数,.,A,B,C,D,(,(,(,51,20,30,思路点拨:添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题,.,【变式题】(一题多解)如图,A=51,B=20,A,A,B,C,D,(,(,20,30,解法一:,连接,AD,并延长于点,E,.,在,ABD,中,,1+,ABD,=3,,,在,ACD,中,,2+,ACD,=4.,因为,BD,C,=3+4,,,BAC,=1+2,,,所以,BDC,=,BAC,+,ABD,+,ACD,=51,+20,+30,=101,.,E,),),1,2,),3,),4,你发现了什么结论?,ABCD(20 30 解法一:连接AD并延长于点E.E,A,B,C,D,(,(,(,51,20,30,E,),1,解法二:,延长,BD,交,AC,于点,E,.,在,ABE,中,,1=,ABE+,BAE,,,在,ECD,中,,BDC,=1+,ECD,.,所以,BDC,=,BAC,+,ABD,+,ACD,=51,+20,+30,=101,.,解法三,:,连接延长,CD,交,AB,于点,F,(解题过程同解法二),.,),2,F,解题的关键是正确的构造三角形,利用三角形外角的性质及转化的思想,把未知角与已知角联系起来求解,.,总结,ABCD(51 20 30 E)1解法二:延长B,如图 ,试比较,2,、,1,的大小;,如图 ,试比较,3,、,2,、,1,的大小,.,图,图,解:,2=1+,B,2,1.,解:,2=1+,B,3=2+,D,3,2,1.,拓展探究,三角形的外角大于与它不相邻的内角,.,如图 ,试比较2、1的大小;如图 ,试比较3,三角形的外角和,三,例,3,如图,,BAE,CBF,ACD,是,ABC,的三个外角,它们的和是多少?,解:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得,BAE,=,2+,3,,,CBF,=,1+,3,ACD,=,1+,2.,又知,1+,2+,3=180,,,所以,BAE,+,CBF,+,ACD,=2(,1+,2+,3)=360.,A,B,C,E,F,D,(,(,(,(,(,(,2,1,3,你还有其他解法吗?,三角形的外角和三例3 如图,BAE,CBF,A,解法二:如图,,BAE,+,1=180 ,,,CBF,+,2=180 ,,,ACD,+,3=180 ,,,又知,1+,2+,3=180,,,+,得,BAE,+,CBF,+,ACD,+(,1+,2+,3)=540,,,所以,BAE,+,CBF,+,ACD,=540-180=360.,A,B,C,E,F,D,(,(,(,(,(,(,2,1,3,解法二:如图,BAE+1=180 ,ABCEF,解法三:过,A,作,AM,平行于,BC,,,3,4,B,C,1,2,3,4,A,2,BAM,,,所以,1,2,3,1,4,BAM,=360,M,2,3,4,BAM,,,结论:三角形的外角和等于,360,.,思考,你能总结出三角形的外角和的数量关系吗?,D,E,F,解法三:过A作AM平行于BC,3 4BC1234A2,当堂练习,1.,判断下列命题的对错,.,(,1,),三角形的外角和是指三角形的所有外角的和,.,(),(,2,),三角形的外角和等于它的内角和的,2,倍,.,(),(,3,),三角形的一个外角等于两个内角的和,.,(),(,4,),三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,.,(),(,5,),三角形的一个外角大于任何一个内角,.,(),(,6,),三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角,.,(),当堂练习 1.判断下列命题的对错.,2.,如图,,AB,/,CD,,,A,37,C,63,,那么,F,等于 (),F,A,B,E,C,D,A.26,B.63,C.37,D.60,A,2.如图,AB/CD,A37,C63,那么,3.,(,1,)如图,,BDC,是,_,_,的外角,也是,的外角;,(2),若,B,=45,,,BAE,=36,BCE,=20,试求,AEC,的度数,.,A,B,C,D,E,ADE,ADC,解:根据三角形外角的性质有,ADC,=,B,+,BCE,AEC,=,ADC,+,BAE.,所以,AEC,=,B,+,BCE,+,BAE,=45+20+36=101.,3.(1)如图,BDC是_ABCDEADE,解:因为,ADC,是,ABD,的外角,.,4,.,如图,,D,是,ABC,的,BC,边上一点,B,=,BAD,ADC,=80,,BAC,=70,,求:,(,1),B,的度数;,(2),C,的度数,.,在,ABC,中,,B,+,BAC,+,C,=180,,,C,=180-40-70=70.,所以,ADC,=,B,+,BAD,=80.,又因为,B,=,BAD,,,A,B,C,D,解:因为ADC是ABD的外角.4.如图,D是ABC的,A,B,C,D,E,1,2,F,G,解:,1,是,FBE,的外角,1=,B,+,E,同理,2=,A,+,D,.,在,CFG,中,C,+1+2=180,A,+,B,+,C,+,D,+,E,=180.,5.,如图,求,A,+,B,+,C,+,D,+,E,的度数,.,能力提升:,ABCDE12FG解:1是FBE的外角,1=B+,1,2,3,B,A,C,P,N,M,D,E,F,6.,如图,试求出,A,B,C,D,E,F,=_.,360,123BACPNMDEF360,课堂小结,三角形的外角,定义,角一边必须是
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