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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,微分方程,求解,总结,求解流程图,1,微分方程求解总结求解流程图1,1.,折线积分,2.,凑全微分,3.,定积分,转为,z,的一阶线性,关于,u,一阶,2,1.折线积分2.凑全微分3.定积分转为z的一阶线性关于u一阶,二阶变系数,二阶,一阶,二阶常系数,解的结构,3,二阶变系数二阶一阶二阶常系数解的结构3,P338,P348,4,P338P3484,一、一阶微分方程求解,1.,一阶,标准,类型方程求解,关键,:,辨别方程类型,掌握求解步骤,2.,一阶,非标准,类型方程求解,(1),变量代换法,代换,自变量,代换,因变量,代换,某组合式,(2),积分因子法,选积分因子,解全微分方程,四个标准类型,:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,一、一阶微分方程求解 1.一阶标准类型方程求解 关键:,例,1.,求下列方程的通解,提示,:,(1),故为分离变量方程,:,通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,例1.求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解,方程两边同除以,x,即为齐次方程,令,y=u x,化为分,离变量方程,.,调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解,.,化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,方法,1,这是一个齐次方程,.,方法,2,化为微分形式,故这是一个全微分方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,方法 1 这是一个齐次方程.方法 2 化为微分形式,例,2.,求下列方程的通解,:,提示,:,(1),令,u=x y,得,(2),将方程改写为,(,贝努里方程,),(,分离变量方程,),原方程化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,例2.求下列方程的通解:提示:(1)令 u=x y,令,y=u t,(,齐次方程,),令,t=x,1,则,可分离变量方程求解,化方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,令 y=u t(齐次方程)令 t=x 1,则,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:机动 目录,例,3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),其中函数,f,(,x,),g,(,x,),在,(,+),内满足以下条件,:,(1),求,F,(,x,),所满足的一阶微分方程,;,(03,考研,),(2),求出,F,(,x,),的表达式,.,解,:(1),所以,F,(,x,),满足的一阶线性非齐次微分方程,:,12,例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),由一阶线性微分方程解的公式得,于是,13,机动 目录 上页 下页 返回 结束(2,练习题,:,(,题,3,只考虑方法及步骤,),P353,题,2,求以,为通解的微分方程,.,提示,:,消去,C,得,P353,题,3,求下列微分方程的通解,:,提示,:,令,u=x y,化成可分离变量方程,:,提示,:,这是一阶线性方程,其中,P353,题,1,，,2,，,3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10),机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,练习题:(题3只考虑方法及步骤)P353 题2 求以为通解,提示,:,可化为,关于,x,的一阶线性方程,提示,:,为贝努里方程,令,提示,:,为全微分方程,通解,提示,:,可化为贝努里方程,令,微分倒推公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,提示:可化为关于 x 的一阶线性方程提示:为贝努里方程,原方程化为,即,则,故原方程通解,提示,:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,原方程化为,即则故原方程通解提示:令机动 目录,二、两类二阶微分方程的解法,1.,可降阶微分方程的解法,降阶法,令,令,逐次积分求解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,二、两类二阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法,2.,二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,2.二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法,二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤,:,(1),写出相应的特征方程,(2),求出特征方程的两个根,(3),根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解,求解二阶常系数线性方程,19,二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:(1)写出相应,非齐,通解,齐次通解,非齐特解,难点：,如何求特解？,方法：,待定系数法,.,20,非齐通解齐次通解非齐特解难点：如何求特解？方法：待定系数法.,(3).,上述结论也可推广到高阶方程的情形,.,21,(3).上述结论也可推广到高阶方程的情形.21,解答提示,P353,题,2,求以,为通解的微分方程,.,提示,:,由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,P353,题,3,求下列微分方程的通解,提示,:,(6),令,则方程变为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,解答提示P353 题2 求以为通解的微分方程.提示:由,特征根,:,齐次方程通解,:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若,(7),中非齐次项改为,提示,:,原方程通解为,特解设法有何变化,?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得思 考若,P354,题,4(2),求解,提示,:,令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时,正负号如何确定,?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24,P354 题4(2)求解提示:令则方程变为积分得利用再,P354,题,8,设函数,在,r,0,内,满足拉普拉斯方程,二阶可导,且,试将方程化为以,r,为自变,量的常微分方程,并求,f,(,r,).,提示,:,利用对称性,即,(,欧拉方程,),原方程可化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25,P354 题8 设函数在 r 0内满足拉普拉斯方程二,解初值问题,:,则原方程化为,通解,:,利用初始条件得特解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26,解初值问题:则原方程化为 通解:利用初始条件得特解:机动,特征根,:,例,1,.,求微分方程,提示,:,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解,.,设特解,:,代入方程定,A,B,得,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,特征根:例1.求微分方程提示:故通解为满足条件解满足处连,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解,:,定解问题的解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28,处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:机动,例,2.,且满足方程,提示,:,则,问题化为解初值问题,:,最后求得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,例2.且满足方程提示:则问题化为解初值问题:最后求得机动,思考,:,设,提示,:,对积分换元,则有,解初值问题,:,答案,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,30,思考:设提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:机动,的解,.,例,3.,设函数,内具有连续二阶导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1),试将,x,x,(,y,),所满足的微分方程,变换为,y,y,(,x,),所满足的微分方程,;,(,2),求变换后的微分方程满足初始条件,数,且,解,:,上式两端对,x,求导,得,:,(1),由反函数的导数公式知,(03,考研,),31,的解.例3.设函数内具有连续二阶导机动 目录 上页,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入原微分方程得,(2),方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得,A,0,从而得的通解,:,32,机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入,题 目录 上页 下页 返回 结束,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,33,题 目录 上页 下页 返回 结束 由初,例,4.,解,:,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球,引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度,.,设人造地球卫星质量为,m,地球质量为,M,卫星,的质心到地心的距离为,h,由牛顿第二定律得,:,(,G,为引力系数,),则有初值问题,:,又设卫星的初速度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,34,例4.解:欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球 引力,代入原方程,得,两边积分得,利用初始条件,得,因此,注意到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,35,代入原方程,得两边积分得利用初始条件,得因此注意到,为使,因为当,h,=,R,(,在地面上,),时,引力,=,重力,即,代入,即得,这说明第二宇宙速度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,36,为使因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,求质点的运动规,例,5.,上的力,F,所作的功与经过的时间,t,成正比,(,比例系数,提示,:,两边对,s,求导得,:,牛顿第二定律,为,k,),开方如何定,+?,已知一质量为,m,的质点作直线运动,作用在质点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,37,求质点的运动规例5.上的力 F 所作的功与经过的时间 t,例,6.,一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子,8 m,另一端离钉子,12 m,如不计钉子对链条所产生的摩擦,力,求链条滑下来所需的时间,.,解,:,建立坐标系如图,.,设在时刻,t,链条较长一段,下垂,x,m,又设链条线密度为常数,此时链条受力,由牛顿第二定律,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,38,例6.一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子 8 m,由初始条件得,故定解问题的解为,解得,当,x,=20 m,时,(s),微分方程通解,:,思考,:,若摩擦力为链条,1 m,长的重量,定解问题的,数学模型是什么,?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,39,由初始条件得故定解问题的解为解得当 x=20 m 时,(,摩擦力为链条,1 m,长的重量 时的数学模型为,不考虑摩擦力时的数学模型为,此时链条滑下来,所需时间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,40,摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为不考虑摩擦力时,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测,要求,需确定仪器的下沉深度,y,与下沉速度,v,之间的函,数关系,.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为,m,体积为,B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正,比,比例系数为,k,(,k,0),试建立,y,与,v,所满足的微分,方程,并求出函数关系式,y=y,(,v,).,(95,考研,),提示,:,建立坐标系如图,.,质量,m,体积,B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,注意,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,41,练习题从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,质量,m,体积,B,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,42,初始条件为用分离变量法解上述初值问题得质量 m得机动 目,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解,.,解,:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1.,设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,43,有特而对应齐次方程有解微分方程的通解.解:故所给二阶非,故,再积分得通解,复习,:,一阶线性微分方程通解公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,44,故再积分得通解复习:一阶线性微分方程通解公式 机动 目,2.,(1),验证函数,满足微分方程,(2),利用,(1),的结果求幂级数,的和,.,解,:,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束
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