有限元方法-03

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2.3,坐标变换,P=20kN,L,2,=2m,L,1,=1m,L,2,/2,1,2,3,4,1,2,3,2,3,2,1,2,1,3,4,3,y,x,x,y,y,x,(a)平面刚架,(b)单元、节点编号与整体、局部坐标,（有限元直接法例题1坐标变换）,UY,UX,2.2.4,等效节点载荷,所有施加在几何实体边界上的载荷或约束必须最终传递到有限元模型上（节点或单元上）进行求解。,静力等效原则。只需给出载荷作用下两端固定梁的固端反力公式，将固端反力前加一负号即为等效节点载荷。,2.2.4,等效节点载荷,2.2.4,等效节点载荷,2.2.4,等效节点载荷,2.2.5,建立节点平衡方程,总刚度矩阵建立的原则,各单元变形后，在节点处协调联接。即与i节点有n个单元相连，要求这n个单元在i节点处具有相同的节点位移值。,结构的有限元各节点必须满足平衡条件。即与i节点相连的所有各单元作用在i节点上的节点力，应与作用在i节点上的节点载荷保持平衡。,2.2.6,引入边界条件,消除结构的刚体位移，求得唯一解。总刚度矩阵是奇异的，不存在逆矩阵。,边界约束条件的处理方法：,划行划列降阶法,划零置1法,乘大数法（对角线元素扩大法）,2.2.6,引入边界条件,划行划列降阶法,当结构的边界条件是零位移时，把边界条件带入到总刚度方程中，在节点位移列向量中相应项为零值，在总刚度矩阵中，与位移为零的项所对应的行与列的元素，在求其它节点的位移时将不起作用，因而可从刚度矩阵中划去相应的行与列。降低总刚度矩阵的阶数。,2.2.6,引入边界条件,2.2.6,引入边界条件,划零置1法,当边界条件不一定是零位移，而是已知值时，在总刚度矩阵中，把与给定节点位移对应的主对角线上的元素置1，而该行该列上的其余元素置零。,在节点载荷列向量中，把相应的项用给定位移值代替，而其余元素，则应从中减去给定节点位移与总刚度矩阵中相应的列项的乘积。,2.2.6,引入边界条件,2.2.6,引入边界条件,乘大数法（对角线元素扩大法）,当边界条件不一定是零位移，而是已知值时，在总刚度矩阵中，把与给定节点位移对应的主对角线上的元素程乘以相当大的一个数，如1x10,15,，而该行该列上的其余元素不变。,在节点载荷列向量中，把相应的项用给定位移与相应的主对角线上的元素、同一相当大的数如1x10,15,这三项的乘积代替，而其余元素不变。,2.2.6,引入边界条件,2.2.7,解方程组求节点位移,高斯消元法,三角分解法,2.2.8,求单元内力,求解得到的节点位移带到单元方程中返求由节点位移引起的节点力。,计算每个单元的内力、弯矩图和变形。,2.2.9,平面刚架例题,P=20kN,L,2,=2m,L,1,=1m,L,2,/2,1,2,3,4,1,2,3,2,3,2,1,2,1,3,4,3,y,x,x,y,y,x,(a)平面刚架,(b)单元、节点编号与整体、局部坐标,（有限元直接法例题1）,UY,UX,2,3,2,1,2,1,3,4,3,UY,UX,节点力和节点位移在整体坐标下的编号,F,9,F,7,F,8,F,6,F,4,F,5,F,9,F,7,F,8,F,6,F,4,F,5,F,3,F,1,F,2,F,12,F,10,F,11,2.2.9平面刚架例题,有限元的理论基础-预备知识,1.变分法的基本概念,2.,待定边界泛函的变分问题,3.弹性力学的基本方程,4.虚功原理,5.最小势能原理,1.变分法的基本概念,泛函概念的引出,1.变分法的基本概念,泛函概念的引出（续）,泛函是函数的函数，y(x)叫做宗量,1.变分法的基本概念,变分概念的引出,求泛函极大值和极小值的问题，都可以叫做变分问题,1.变分法的基本概念,求泛函极大值和极小值的方法叫做变分法,变分取极值的条件与函数取极值的条件相似。即一阶导数为零，二阶导数大于或小于零，泛函取极大或极小值,变分和微分、积分能够互调,泛函的和、差、积、商的变分形式与函数的和、差、积、商的导数形式一致,1.变分法的基本概念,变分法的几何意义,1.变分法的基本概念,变分法的基本预备定理,如果函数F(x)在线段x0,x1上连续且对于只满足某些一般条件的任意的函数，有上面的关系，则在线段x0 xx1上，函数F(x)恒等于零,2.待定边界泛函的变分问题,变分与定解的微分方程,求泛函极值的方法，即从试探解中挑选正确解的数学方法,泛函极值（单一自变量）,欧拉方程及边界条件,N个宗变量的泛函极值，欧拉方程推导,含有二阶以上导数的泛函极值，欧拉方程推导,是下次课的基础,2.待定边界泛函的变分问题,变分法的优点,1.求泛函的极值问题与求解微分方程的边值问题是等价的，也可以称为变分定理,2.大多数实际问题，泛函都具有明显的物理意义,3.与控制微分方程相比，泛函中出现的场变量的导数阶数较低，因而放松对场变量的要求，因此扩大了求解空间,4.变分法允许把一些复杂的边界条件处理成自然边界条件。几何边界条件满足则自然边界条件自动满足,