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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,5.1.2 弧度制,5.1.2 弧度制,1、在平面几何中研究角的度量时，1的,角是如何定义的？,周角的 叫做1度角,记为1,复习回顾,2、角度制下弧长公式与扇形面积公式是,什么？,1、在平面几何中研究角的度量时，1的 周角的,问题,：由 ，得到 ，请同学们分析式子 的意义。,对于整个圆周无论半径如何，周长多长，我们总能把它分成,360,等份，每一份的弧所对的圆心角就是,1,度的角。,结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论周长如何都只能分成 份。,问题：由 ，得到 ，请同学们分析式子,定义,：,长度等于半径长的圆弧,所对的圆心角叫做,1,弧度,(radian),的角,，用符号,rad,表示，读作弧度,.,这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做,弧度制,。,定义：,1,弧度,r,l,=,r,O,A,B,设弧,AB,的长为,l,，,若,l,=,r,，则,AOB=,l,r,=,1,弧度,若,l,=2,r,，则,AOB=,l,r,=,2,弧度,2,弧度,O,A,B,l,=2,r,若,l,=3,r,，则,AOB=,l,r,=,3,弧度,B,3,弧度,O,A,l,=3,r,1弧度rl=rOAB设弧AB的长为l，若l=r，则AOB=,l,=3,r,O,A,B,r,-,3,弧度,若圆心角,AOB,表示一个负角，且它所对的弧的长为,3,r,，则,AOB,的弧度数的绝对值是,l,r,=,3,，,即,AOB=,l,r,=,3,弧度,思考,:,如果一个半径为 的圆的圆心角 所对的弧长是,那么 的弧度数是多少,?,l=3rOABr-3弧度若圆心角AOB表示一个负角，且它所,一般地，我们规定：,正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为,0,，如果半径为,r,的圆的圆心角,所对弧的长为,l,，,那么,角,的弧度数的,绝对值是,=,l,r,这里，,的正负由角,的终边的旋转方向决定,.,一般地，我们规定：=lr这里，的正负由角的终边的旋,正角,零角,负角,正实数,零,负实数,角的集合与实数集之间的一一对应关系：,正角正实数角的集合与实数集之间的一一对应关系：,追问,（,1,）我们把半径为,1,的圆叫做单位圆既然角的大小与半径无关，那么在单位圆中如何确定,1 rad,的角呢？,（,2,）在半径为,r,的圆中，弧长为,l,的弧所对的圆心角,的弧度数是多少？,（,3,）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？,在半径为,r,的圆中,；,类比角度制，,的正负由角,的终边的旋转方向决定,新知探究,得出单位圆中长度为,1,的弧所对的圆心角就是,1 rad,（如图）；,追问（1）我们把半径为1的圆叫做单位圆既然角的大小与半,追问,请你说说弧度制与角度制有哪些不同？,第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；,第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；,第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值，等等,第三，,1,弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而,1,的角是周,角的,；,新知探究,追问请你说说弧度制与角度制有哪些不同？第一，弧度制以线段,新知探究,问题,既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们之间如何换算？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？,新知探究问题既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们,（,1,）精确值；,（,2,）精确到,0.001,的近似值,（,2,）利用计算器有,67301.178 rad,所以,6730,rad,rad,新知探究,例,1,：,按照下列要求，把,6730,化成弧度：,解：,（,1,）由于,6730,，,（1）精确值；（2）精确到0.001的近似值（2,解：,利用计算器有,3.14 rad,179.909,新知探究,例,2,：,将,3.14 rad,换算成角度（用度数表示，精确到,0.001,）,解：利用计算器有3.14 rad179.909新知探,角度,弧度,写出一些特殊角的弧度数,注意：,今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad,写出一些特殊角的弧度数 注意：今后在具,锐角：,直角：,钝角：,平角：,周角：,例,3,：,请用弧度制表示下列角度的集合,锐角：例3：请用弧度制表示下列角度的集合,例,4:,用弧度制表示,（,1,）终边落在,45,角的终边上的所有角的集合,（,2,）第,象限角的集合,例4:用弧度制表示（2）第象限角的集合,（,1,）；（,2,）；（,3,）,1,把下列各角化成的形式：,练习,2.,下列角的终边相同的是（）,A,与,与,与,与,B,C,D,（1）；（2）；（3）1把下列各角化成,3.,若,是第四角限角，则,-,是,(),A.,第一象限角,B.,第二象限角,C.,第三象限角,D.,第四象限角,5.5,弧度的角所在的象限为,(),A.,第一象限,B.,第二象限,C.,第三象限,D.,第四象限,4.,将分针拨快,15,分钟，则分针转过的弧度数是,(),A.-B.,C.-D.,C,D,7.,已知,+,，,-,-,-,，求,2-,的范围,.,3.若是第四角限角，则-是()5.5弧度的角,（,1,）,；,（,2,）,；,（,3,）,其中,R,是圆的半径，,(0,),为圆心角，,l,是扇形的弧长，,S,是扇形的面积,证明：,（,1,）由公式,可得,下面证明（,2,）（,3,）,新知探究,例,5,：,利用弧度制证明下列关于扇形的公式：,（1）；（2）,其中,R,是圆的半径，,(0,),为圆心角，,l,是扇形的弧长，,S,是扇形的面积,证明：,圆心角为,n,的扇形的弧长公式和面积公式分别是 ，,将,n,转换为弧度，,得,，,于是,将,l,R,代入上式，即得,新知探究,（,1,）,；,（,2,）,；,（,3,）,例,5,：,利用弧度制证明下列关于扇形的公式：,其中R是圆的半径，(0)为圆心角，l是扇形的弧,弧长公式与扇形面积公式,【1】,若用,R,表示圆的半径，,(0,2),为圆心角，是扇形弧长，,S,是扇形面积,.,则有：,显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了,.,在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利,.,弧长公式与扇形面积公式【1】若用R表示圆的半径，(0,例,6,：已知扇形的周长为,10cm,面积为,4cm,2,求,扇形的中心角,.,根据题意,:,分析,:,要求中心角,根据公式,需求弧长,l,及半径,R.,解 设扇形的中心角的弧度数为,弧长为,l,半径为,R,由,得,代入,得,例6：已知扇形的周长为10cm,面积为4cm2,求根据题意,舍去,当,R=1,时,l,=8cm,时,当,R=4,时,l,=2cm,时,所求扇形的中心角的弧度数为,舍去当R=1时,l=8cm时,当R=4时,l=2cm时,所,变式,1:,在半径为,R,的圆中，,240,的中心角所对的弧长为,，面积为,2,R,2,的扇形的中心角等于,弧度。,变式,2:,已知一半径为,R,的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？,变式1:在半径为R的圆中，240的中心角所对的弧长为,例,7:,已知扇形的周长为,30cm,，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大,?,最大面积是多少,?,例7:已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值,（,2,）已知扇形的周长为，面积为，求扇形的中心角的弧度数,练习,（,1,）若三角形的三个内角之比是,2,：,3,：,4,，求其三个内角的弧度数,（,3,）已知扇形,OAB,的圆心角,为,120,，半径长为,6.,求 的弧长；求弓形,OAB,的面积,.,（,4,）蒸汽机飞轮的直径为,1.2m,，以,300,周,/,分的速度作逆时针旋转，求：,(1),飞轮每,1,秒转过的弧度数；,(2),轮周上一点每,1,秒所转过的弧长,.,（2）已知扇形的周长为，面积为，求扇形的中心角的弧度,【知识探究学习】,如图，已知一长为,dm,，宽,1dm,的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成,30,的角,.,问点,A,走过的路程的长及走过的弧度所在扇形的总面积,.,解：,所对的圆半径是,2,圆心角为 ，所对圆半径是,1,，圆心角是 ，,所对的圆半径是 ，圆心角是 ，所以走过的路程是,3,段圆弧之和，,即,2 +1 +=(dm);3,段弧所对的扇形的,总面积是,2+=(dm2),【知识探究学习】解：所对的圆半径是2,圆心角为 ，,你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？,归纳小结,问题,通过本节课的学习，你学会用弧度制度量角了吗？,背景,引入弧度制的必要性,定义的合理性,弧度制,定义,表示,关系,应用,你能画一个知识结构图来反映本节课的研究内容与路径吗？归纳小,
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