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单击此处编辑母版标题样式,*,*,返回,上页,下页,目录,高等数学多媒体课件,牛顿（,Newton,）,莱布尼兹（,Leibniz,）,11/16/2024,1,第三章 微分中值定理与导数的应用,第三节,洛必达法则,第二节,泰勒,(Taylor),公式,第四节,函数的单调性与曲线的凹凸性,第五节,函数的极值与最大值、最小值,第一节 微分中值定理,第六节,函数图形的描绘,第七节,曲率,11/16/2024,2,第一节,微分中值定理,第三章,二、微分中值定理,一、函数的极值,三、小结与思考题,（,The Mean Value Theorem,）,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,11/16/2024,3,一、函数的极值,（,Extremums,of Function,）,11/16/2024,4,注意：,函数的极大值、极小值与最大值、最小值的区别函数的极值是对一点的邻域来说的，是,局部性概念,；而最值（最大值、最小值的简称）是,整体性概念,11/16/2024,5,费马引理,（,Fermat Lemma,）,且,存在,证,:,设,则,证毕,11/16/2024,6,二、微分中值定理,1.,罗尔（,Rolle,）定理,满足,:,(1),在区间,a,b,上连续,(2),在区间,(,a,b,),内可导,(3),f,(,a,)=,f,(,b,),使,证,:,故在,a,b,上取得最大值,M,和最小值,m.,在,(,a,b,),内至少存在一点,11/16/2024,7,若,M,=,m,则,因此,若,M,m,则,M,和,m,中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,则由,费马引理得,注意,:,定理条件条件不全具备,结论不一定成立,.,例如,11/16/2024,8,提示：,11/16/2024,9,有且仅有一个小于,1,的,正实根,.,证,:1),存在性,.,则,在,0,1,连续,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于,1,的正根,2),唯一性,.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真,!,设,例,2,证明方程,（补充题）,11/16/2024,10,2.,拉格朗日（,Lagrange,）中值定理,(1),在区间,a,b,上连续,满足,:,(2),在区间,(,a,b,),内可导,至少存在一点,使,思路,:,利用,逆向思维,找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,证,:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即,定理结论成立,.,证毕,11/16/2024,11,推论,:,若函数,在区间,I,上满足,则,在,I,上必为常数,.,证,:,在,I,上任取两点,日中值公式,得,由 的任意性知,在,I,上为常数,.,令,则,拉格朗日中值定理的,有限增量形式,:,11/16/2024,12,证,:,设,由推论可知,(,常数,),令,x,=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立,.,自证,:,经验,:,欲证,时,只需证在,I,上,例,3,证明等式,11/16/2024,13,证,:,设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,例,4,证明不等式,11/16/2024,14,3,、柯西,(Cauchy),中值定理,分析,:,及,(1),在闭区间,a,b,上连续,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,(3),在开区间,(,a,b,),内,至少存在一点,使,满足,:,要证,11/16/2024,15,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考,:,柯西定理的下述证法对吗,?,两个,不,一定相同,错,!,上面两式相比即得结论,.,证,:,作辅助函数,11/16/2024,16,解题思路：,11/16/2024,17,内容小结,1.,微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.,微分中值定理的应用,(1),证明恒等式,(2),证明不等式,(3),证明有关中值问题的结论,关键,:,利用逆向思维,设辅助函数,费马引理,11/16/2024,18,课后练习,习题,3-1 3,；,5,；,7,；,8,；,12,；,14,思考与练习,1.,填空题,1),函数,在区间,1,2,上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2),设,有,个根,它们分别在区间,上,.,方程,11/16/2024,19,且在,内,可导,证明至少存,在一点,使,提示,:,由,结论可知,只需证,即,验证,在,上,满足罗尔定理条件,.,设,2.,设,11/16/2024,20,可导,试证在其两个零点间一定有,的,零点,.,提示,:,设,欲,证,:,使,只要证,亦即,作,辅助函数,验证,在,上,满足,罗尔定理条件,.,3.,若,11/16/2024,21,使,证,:,法,1,用柯西中值定理,.,则,f,(,x,),F,(,x,),在,1,e,上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析,:,4.,试证至少存在一点,11/16/2024,22,使,法,2,令,则,f,(,x,),在,1,e,上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,4.,试证至少存在一点,11/16/2024,23,使,法,3,令,则,f,(,x,),在,1,e,上满足零点定理条件,由于,4.,试证至少存在一点,故由零点定理即证！,11/16/2024,24,考研真题,提示：,11/16/2024,25,法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好,.,他,兴趣广泛,博,览群书并,善于思考,在,数学上有许多,重大贡献,.,他,特别爱好数论,他,提出,的,费马大定理,:,至今尚未得到普遍的证明,.,他,还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的,.,费马,(1601 1665),11/16/2024,26,法国数学家,.,他在,方程论,解析函数论,及,数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于,他的,工作,他是对,分析数学,产生全面影响的数学家之一,.,拉格朗日,(1736 1813),11/16/2024,27,法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集,共有,27,卷,.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的,分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用,等,有思想有创建,响广泛而深远,.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展,.,复变函数和微分方程方面,.,一生发表论文,800,余篇,著书,7,本,柯西,(1789 1857),11/16/2024,28,
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