直角三角形勾股定理与它的逆定理的证明

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,九年级数学（上册）第一章 证明(二),2.直角三角形（1）,勾股定理与它的逆定理的证明,驶向胜利的彼岸,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为,a、b，,斜边为,c，,那么,a,2,+b,2,=c,2,.,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,.,勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（,pythagoras,theorem）,.,开启 智慧,a,c,b,勾,弦,股,驶向胜利的彼岸,勾股定理的证明,我能行,1,方法一,:,拼图计算,方法二,：割补法,方法三,：赵爽的弦图,方法四,：总统证法,方法五,：青朱出入图,方法六,：折纸法,方法七,：拼图计算,这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法?,总统证法,回顾反思,1,驶向胜利的彼岸,这个证明方法出自一位总统,1881,年，伽菲尔德,(,J.A.Garfield),就任美国第二十任总统,在,1876,利用了梯形面积公式。,图中三个三角形面积的和是,2,ab/2c/2;,梯形面积为,(,a+b)(a+b)/2;,比较可得,:,c,2,=a,2,+b,2,。,伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。,勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！,a,b,a,b,c,c,驶向胜利的彼岸,勾股定理的逆定理,我能行,2,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形,.,已知,:,如图,(1),在,ABC,中,AC,2,+BC,2,=AB,2,.,求证,:,ABC,是直角三角形,.,a,c,b,A,B,C,(1),驶向胜利的彼岸,逆定理的证明,我能行,2,证明,:,作,Rt,ABC,使,C,=90,0,A,C,=AC,B,C,=BC(,如图,),则,已知,:,如图,(1),在,ABC,中,AC,2,+BC,2,=AB,2,.,求证,:,ABC,是直角三角形,.,a,c,b,A,B,C,(1),a,c,b,B,A,C,(2),A,C,2,+B,C,2,=A,B,2,(,勾股定理,).,AC,2,+BC,2,=AB,2,(已知),A,C,=AC,B,C,=BC,(作图),AB,2,=A,B,2,(等式性质).,AB=A,B,(等式性质).,ABC,ABC,(SSS).,A=A,90,0,(全等三角形的对应边).,ABC是直角三角形(直角三角形意义).,几何的,三种语言,回顾反思,1,驶向胜利的彼岸,勾股定理的逆定理,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形,.,这是判定直角三角形的根据之一,.,在,ABC,中,AC,2,+BC,2,=AB,2,(,已知,),ABC,是直角三角形,(,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形,).,a,c,b,A,B,C,(1),驶向胜利的彼岸,命题与逆命题,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,.,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形,观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系,?,与同伴交流,.,再,观察下面三组命题,:,如果两个角是对顶角,那么它们相等,如果两个角相等,那么它们是对顶角,;,如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,如果小明发烧,那么他一定患了肺炎,;,三角形中相等的边所对的角相等,三角形中相等的角所对的边相等,.,上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗,?,与同伴进行交流,.,开启 智慧,驶向胜利的彼岸,命题与逆命题,在两个命题中,如果一个命题的,条件,和,结论,分别是另一个命题的,结论,和,条件,那么这两个命题称为,互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的,逆命题,.,开启 智慧,你能写出命题“,如果两个有理数相等,那么它们的平方相等,”的逆命题吗,?,它们都是真命题吗,?,想一想,:,一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题,?,驶向胜利的彼岸,定理与逆定理,一个,命题,是真命题,它逆命题却,不一定,是真命题,.,开启 智慧,我们已经学习了一些互逆的定理,如,:,勾股定理及其逆定理,两直线平行,内错角相等,;,内错角相等,两直线平行,.,你还能举出一些例子吗,?,想一想,:,互逆命题与互逆定理有何关系,?,如果一个,定理,的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个,定理,这两个定理称为,互逆定理,其中一个定理称另一个定理的,逆定理,.,蓄势待发,隋堂练习,1,驶向胜利的彼岸,老师提示:,你是否能将有关命题的知识予以整理,.,说出下列合理的逆命题,并判断每对命题的真假,:,四边形是多边形,;,两直线平行,同旁内角互补,;,如果,ab,=0,那么,a=0,b=0.,请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假,.,学无止境,读一读,1,勾股定理是数学上有证明方法最多的定理有四百多种说明！,古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的,.,驶向胜利的彼岸,P18读一读：,勾股定理的证明.,学无止境,读一读,1,历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。,驶向胜利的彼岸,P18读一读：,勾股定理的证明.,学无止境,读一读,1,学习永远是件快乐而有趣的事！,勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！,驶向胜利的彼岸,P18读一读：,勾股定理的证明.,梦想成真,试一试P14,2,1.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处.,试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少?,A,B,30,12,12,回味无穷,勾股定理:,如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a,2,+b,2,=c,2,.,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）,.,勾股定理的逆定理:,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.,命题与逆命题,在两个命题中,如果一个命题的,条件,和,结论,分别是另一个命题的,结论,和,条件,那么这两个命题称为,互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的,逆命题,.,定理与逆定理,如果一个,定理,的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个,定理,这两个定理称为,互逆定理,其中一个定理称另一个定理的,逆定理,.,小结 拓展,知识的升华,独立,作业,P,9,习题1.4 1,2,3题.,祝你成功！,习题1.4,独立作业,1,驶向胜利的彼岸,1.,如图，在,ABC,中，已知,AB=13cm,BC=10cm,BC,边上的中线,AD=12cm.,求证,:,AB=A,C.,证明:BD=CD,BC=10cm(已知),BD=5cm(,等式性质,).,AD,2,+BD,2,=12,2,+5,2,144+25=169,AB,2,=13,2,=169,AD,2,+BD,2,=AB,2,.,D,B,C,A,在ABD中,ABC是直角三角形(,如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形,).,在RtADC中,AC,2,=DC,2,+AD,2,=12,2,+5,2,144+25=169,AC,2,=AB,2,.,AB=AC(等式性质).,习题1.4,独立作业,2,驶向胜利的彼岸,2.,房梁的一部分如图所示,其中,BCAC,A=30,0,AB=10m,CB,1,AB,B,1,C,1,AC,垂足为,B,1,C,1,那么,BC,的长是多少？,B,1,C,1,呢？,解:,BCAC,A=30,0,AB=10m(已知),BC=AB/2=1025,(,在直角三角形中,如果有一个锐角等于,30,0,那么它,所对的直角边等于斜边的一半,),又CB,1,AB,BCB,1,=90,0,-60,0,=30,0,(,直角三角形两锐角互余,),CB,1,=BC/2=522.5,(,在直角三角形中,如果有一个锐角等于,30,0,那么它,所对的直角边等于斜边的一半,).,老师提示:,对于含30,0,角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可.,B,C,A,30,0,B,1,C,1,AB,1,=AB-BB,1,=10-2.5=7.5,(,等式性质,).,B,1,C,1,=AB,1,/2=7.523.75,(,在直角三角形中,如果有一个锐角等于30,0,那么它所对的直角边等于斜边的一半,).,习题1.4,独立作业,3,驶向胜利的彼岸,3.,如图,正四棱柱的底面边长为,5,c,m,侧棱长为8,cm,一只,蚂蚁欲从,正四棱柱的底面上的点,A,沿棱柱,侧面到点,C,1,处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？,解:如下图,将,四棱柱的侧面展开,连结AC,1,AC=10cm,CC,1,=8cm(已知),老师提示:,对于空间图形需要动手操作,将其转化为平面图形来解决.,B,C,A,B,1,C,1,D,1,A,1,D,B,A,B,1,D,1,A,1,D,C,1,C,答:蚂蚁需要爬行的最短路径是 cm.,结束寄语,严格性之于数学家,犹如道德之于人,.,证明的,规范性,在于：条理清晰，因果相应,言必有据,.,这是初学证明者谨记和遵循的,原则,.,下课了!,再 见,