向量组的线性相关性 (2)

上页,下页,铃,结束,返回,首页,上页,下页,铃,结束,返回,首页,第三章 向量空间初步,3.1,向量组的线性相关性,3.2,向量组的秩和最大无关组,3.3,向量空间,3.4,*,欧氏空间,一、,n,维向量及其线性运算,二、向量组的线性组合,三、向量组的线性相关性,3.1,向量组的线性相关性,一、,n,维向量及其线性运算,n,维向量空间,R,n,R,n,中任一元素称为一个,n,维向量,.,称,a,i,为向量,a,=,(,a,1,a,n,),的第,i,个坐标,分量,.,以,a,i,(,i,=,1,n,),为第,i,个坐标的向量可写成列形式,坐标全为零的向量称为,零向量,记为,0.,坐标完全一样的两向量,a,b,称为,相等向量,记为,a,=,b,.,向量的加法运算,设向量,a,=,(,a,1,a,n,),b,=,(,b,1,b,n,),定义,称,a,+,b,为,a,与,b,的和,.,向量的数乘运算,规定,称,ka,为数,k,与向量,a,的乘积,.,称,(,-,1),a,为向量,a,的,负向量,记为,-,a,.,设向量,a,=,(,a,1,a,n,),k,为实数,定义,向量的加法与数乘两种运算统称为向量的,线性运算,.,例,2,设,x,1,x,n,-,r,为方程组,Ax,=,0,的一个,基础解系,二、向量组的线性组合,对,Ax,=,0,的任一解向量,x,若干同维向量的集合,称,向量组,.,向量组的一部分称,部分组,.,例,1,设,称,为,n,维,单位坐标向量组,.,任一向量,可唯一地表示为,则,存在一组数,k,1,k,n,-,r,使,线性组合,给定向量组,a,1,a,m,对任一数组,k,1,k,m,称向量,为向量组,a,1,a,m,的一个线性组合,称,k,1,k,m,为这个,线性组合的,表示,系数,.,并称,b,可由,a,1,a,m,线性表示,.,例,3,设矩阵,A,=,(,a,1,a,m,),线性方程组,Ax,=,b,有一组,解,x,i,=,k,i,(,i,=,1,m,),也即,线性,方程,组,Ax,=,b,有解的充分必要条件是,:,向量,b,可由矩阵,A,的列向量组线性表示,.,约定,:,非特别交待时,向量都采用,列形式,.,例,4,判断向量,与,是否为,向量组,的线性组合,.,若是,写出表示式,.,解,同时解方程组,和,的解为,因此,无解,因此,b,2,不可由,a,1,a,2,线性表示,.,三、向量组的线性相关性,线性,方程,组,Ax,=,b,有解的充分必要条件是,:,向量,b,可由矩阵,A,的,列向量组,线性表示,.,若线性方程组,Ax,=,b,有无穷多解,则向量,b,可用矩阵,A,的列向量组的无穷多个线性组合来线性表示,.,设向量,b,有两个线性表示式,和,则有,b,的两个表示式不同,也即存在一组,不全为零,的数,使成立,线性相关性,设有向量组,如果存在一组,不全为零,的数,使,那么称,线性相关,.,否则,称,线性无关,.,基本性质,(1),若向量,b,可由向量组,a,1,a,m,线性表示,当,a,1,a,m,线性相关时,表示式不唯一,;,当,a,1,a,m,线性无关时,表示式唯一,.,(2),若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关,.,(3),若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关,.,则向量组,b,a,1,a,m,线性相关,.,a,1,a,m,线性无关,也即向量方程,只有零解,.,线性相关性,设有向量组,使,定理,1,（判别定理）,设矩阵,的充分必要条件是,R,(,A,),=,m,.,提示,:,m,元齐次线性方程组,Ax,=,0,只有零解的充分必,要条件是,R,(,A,),=,m,.,如果存在一组,不全为零,的数,那么称,线性相关,.,否则,称,线性无关,.,则向量组,线性无关,方阵,A,的列向量组线性相关的充要条件为,|,A,|,=,0,.,a,1,a,m,线性无关,也即向量方程,只有零解,.,线性相关性,设有向量组,使,定理,1,（判别定理）,设矩阵,的充分必要条件是,R,(,A,),=,m,.,齐次线性方程组的基础解系线性无关,.,如果存在一组,不全为零,的数,那么称,线性相关,.,否则,称,线性无关,.,则向量组,线性无关,解,1,例,5,讨论向量组,的线性相关性,.,设方阵,化,A,为行阶梯形,:,当,a,-,1,4,时,R,(,A,),=,3,线性无关,;,当,a,=-,1,或,a,=,4,时,R,(,A,),=,2,线性相关,.,解,2,设方阵,当,a,-,1,4,时,|A,|,0,线性无关,;,当,a,=-,1,或,a,=,4,时,|A,|,=,0,线性相关,.,则,例,5,讨论向量组,的线性相关性,.,证,1,将,b,1,b,2,b,3,的表示式代入,并整理得,因,a,1,a,2,a,3,线性无关,故有,由于系数行列式,因此,(2)(,从而,(1),),只有零解,线性无关,.,所以,(2),(1),设存在一组数,x,1,x,2,x,3,使,例,6,设向量组,a,1,a,2,a,3,线性无关,试证向量组,b,1,b,2,b,3,也线性无关,.,证,2,线性无关,.,即,把已知条件合写成,记作,B,=,AK,因,|,K,|,=-,1,知,K,可逆,于是,R,(,B,),=,R,(,A,).,因,A,的列向量组线性无关,知,R,(,A,),=,3.,所以,R,(,B,),=,3.,于是,B,的,3,个列向量线性无关,设向量组,a,1,a,2,a,3,线性无关,例,6,试证向量组,b,1,b,2,b,3,也线性无关,.,则向量,b,可由,a,1,a,r,线性表示,.,设向量组,a,1,a,r,线性无关,定理,2,证明,故存在一组不全为,0,的数,使,假设,k,=,0,则,k,1,k,r,不全为,0,且有,这与,a,1,a,r,线性无关矛盾,.,因此,k,0,于是,若,a,1,a,r,b,线性相关,因,a,1,a,r,b,线性相关,例,7,*,设向量组,a,1,a,2,a,3,线性相关,向量组,a,2,a,3,a,4,线性无关,证明,(1),a,1,能由,a,2,a,3,线性表示,;,(2),a,4,不能由,a,1,a,2,a,3,线性表示,.,证明,*,(1),因,a,2,a,3,a,4,线性无关,于是,a,2,a,3,线性无关,而,a,1,a,2,a,3,线性相关,因此,a,1,能由,a,2,a,3,线性表示,.,(2),用反证法,.,假设,a,4,能由,a,1,a,2,a,3,线性表示,a,1,能由,a,2,a,3,线性表示,从而,a,4,能由,a,2,a,3,线性表示,所以,a,2,a,3,a,4,线性相关,这与,a,2,a,3,a,4,线性无关矛盾,.,由,(1),知,定理,2,则向量,b,可由,a,1,a,r,线性表示,.,设向量组,a,1,a,r,线性无关,若,a,1,a,r,b,线性相关,定理,2,定理,2*,设向量组,a,1,a,r,线性无关,若向量,b,不可由向量,则向量,b,可由,a,1,a,r,线性表示,.,设向量组,a,1,a,r,线性无关,若,a,1,a,r,b,线性相关,组,a,1,a,r,线性表示,则,a,1,a,r,b,线性无关,.,作 业,习题,3.1,(p.69),:,1,.,思考题,习题,3.1,(p.69),:,5.,课堂练习,习题,3.1,(p.69),:,2、3.,齐次通解结构定理,设,x,1,x,n,-,r,(,r,=,R,(,A,),),为,n,元方程组,Ax,=,0,的解,且满足条件,R,(,x,1,x,n,-,r,),=,n,-,r,则,Ax,=,0,的通解为,(,k,1,k,n,-,r,为任意数,),称,x,1,x,n,-,r,为方程组,Ax,=,0,的一个,基础解系,.,