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第,5,讲函数的单调性与最值,课标要求,考情风向标,1.,通过已学过的函数特,别是二次函数，理解函,数的单调性、最大,(,小,),值及其几何意义,.,2.,学会运用函数图象理,解和研究函,数的性质,函数的单调性、奇偶性常与函数的其他,性质，如与周期性、对称性相结合求函,数值或参数的取值范围，是高考的热点,及重点,.,常与函数的图象及其他性质交,汇命题,.,题型多以选择题、填空题形式,出现，若与导数交汇，则多为解答题,1.,函数的单调性,(,续表,),前提,设函数,y,f,(,x,),的定义域为,I,，如果存在实数,M,满足,条件,对于任意,x,I,，都有,f,(,x,),M,；,存在,x,0,I,，使得,f,(,x,0,),M,对于任意,x,I,，都有,f,(,x,),M,；,存在,x,0,I,，使得,_,结论,M,为最大值,M,为最小值,2.,函数的最大,(,小,),值,f,(,x,0,),M,1.(2019,年北京,),下列函数中，在区间,(0,，,),上单调递增,的是,(,),A,2.(2018,年北京,),能说明“若,f,(,x,),f,(0),对任意的,x,(0,2,都成,立，则,f,(,x,),在,0,2,上是增函数”为假命题的一个函数是,_,_,_,_.,y,sin,x,0,4),2,(,答案不唯一,),考点,1,函数单调性的判断,考向,1,利用定义,(,或性质,),判断函数的单调性,例,1,：,(1),(2017,年新课标,),函数,f,(,x,),ln(,x,2,2,x,8),的单调,递增区间是,(,),A.(,，,2),C.(1,，,),B.(,，,1),D.(4,，,),解析：,x,2,2,x,80,，,x,4,，,f,(,x,),ln(,x,2,2,x,8),的,定义域为,(,，,2)(4,，,).,又,y,x,2,2,x,8,(,x,1),2,9,，,当,x,1,时单调递增，函数,f,(,x,),ln(,x,2,2,x,8),的单调递增区间是,(4,，,).,故选,D.,答案：,D,(2)(2019,年江苏无锡模拟,),函数,f,(,x,),|,x,2|,x,的单调递减区,间是,(,),A.1,2,C.0,2,B.,1,0,D.2,，,),函数的单调减区间是,1,2.,答案：,A,考向,2,利用导数判断函数的单调性,例,2,：,(1),函数,f,(,x,),(3,x,2,)e,x,的单调递增区间是,(,),A.(,，,0),C.(,3,1),B.(0,，,),D.(,，,3),和,(1,，,),解析：,f,(,x,),(3,2,x,x,2,)e,x,0,得,x,2,2,x,3,(,x,3)(,x,1)0，即3,x,0,恒成立，则下列不等式成立的是,(,),A.,f,(,3),f,(4),f,(,5),B.,f,(4),f,(,5),C.,f,(,5),f,(,3),f,(4),D.,f,(4),f,(,5)0,，即,f,(,x,)0,，,f,(,x,),在,(,，,0),上单调递减，又,f,(,x,),为偶函数，,f,(,x,),在,(0,，,),上单调递增,.,f,(3),f,(4),f,(5),，,f,(,3),f,(4),f,(,5),，故选,A.,答案：,A,(2)(2019,年新课标,),设,f,(,x,),是定义域为,R,的偶函数，且在,(0,，,),单调递减，则,(,),答案：,C,考向,2,解不等式,例,4,：,(1),(2017,年新课标,),函数,f,(,x,)在(，,)上单调,递减，且为奇函数.若,f,(1)1，则满足1,f,(,x,2),1 的,x,的取值范围是,(,),A.,2,2,B.,1,1,C.0,4,D.1,3,解析：,函数,f,(,x,)为奇函数，,f,(1)1，,f,(1)1，1,f,(,x,2),1,f,(1),f,(,x,2),f,(1)，函数,f,(,x,)在(，)单调,递减，有1,x,2,1，解得 1,x,3.故选 D.,答案：,D,(2)函数,y,f,(,x,)是,R,上的增函数，且,y,f,(,x,)的图象经过点,A,(2，3)和,B,(1,3)，则不等式|,f,(2,x,1)|3 的解集为_.,解析：,y,f,(,x,),的图象经过点,A,(2，3)和,B,(1,3)，,f,(2)3，,f,(1)3.,又|,f,(2,x,1)|3，3,f,(2,x,1)3，即,f,(2),f,(2,x,1),f,(1).,函数,y,f,(,x,)是,R,上的增函数，,考向,3,求参数的取值范围,例,5,：,(1),(2019,年北京,),设函数,f,(,x,),e,x,a,e,x,(,a,为常数,).,若,f,(,x,),为奇函数，则,a,_；若,f,(,x,)是,R,上的增函数，则,a,的取,值范围是_.,解析：,若函数,f,(,x,),e,x,a,e,x,为奇函数，则,f,(,x,),f,(,x,),，,e,x,a,e,x,(e,x,a,e,x,),，,(,a,1)(e,x,e,x,),0,对任意的,x,恒成立，,a,10，,a,1.,答案：,1,(,，,0,若函数,f,(,x,),e,x,a,e,x,是,R,上的增函数，,则,f,(,x,),e,x,a,e,x,0,恒成立，,a,e,2,x,，,a,0.,即实数,a,的取值范围是,(,，,0.,答案：,D,难点突破,函数的最值与值域,例题：,求下列函数的值域：,(4),方法一,(,绝对值不等式法,),，,由于|,x,1|,x,2|,|(,x,1)(,x,2)|3，,函数值域为3，).,画出此分段函数的图象如图,2-5-1,，可知值域为,3,，,).,图,2-5-1,【,规律方法,】,常用的求值域的方法有：,代入法：适用于定义域为有限集的函数；,分离系数法：若函数,y,f,(,x,),的解析式中含有,|,x,|,，,x,2,，,，,sin,x,，,cos,x,等元素，又能用,y,表示出来，则利用这些元素的有,界性解出,y,的范围；,配方法：适用于二次函数类的函数；,反函数法：适用于形如,y,类的函数；,判别式法：适用于形如,y,类的函数；,换元法：主要处理一些根式类的函数；,不等式法：借助于不等式的性质和均值不等式等工具求,最值；,最值法：通过求导数进而求出最值；,求三角函数的值域主要有三条途径：将,sin,x,或,cos,x,用,所求变量,y,来表示，如,sin,x,f,(,y,),，再由,|sin,x,|,1 得到一个关于,y,的不等式,|,f,(,y,)|,1,，从而求得,y,的取值范围,.,【,跟踪训练,】,求下列函数的值域：,1.,求函数的单调性或单调区间的方法,.,(1),利用已知函数的单调性,.,(2),定义法：先求定义域，再利用单调性定义,.,(3),图象法：如果,f,(,x,),是以图象形式给出的，或者,f,(,x,),的图象,易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间,.,(4),导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间,.,(5),复合函数,y,f,g,(,x,),根据“同增异减”判断,.,2.,利用定义判断或证明函数的单调性,.,函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变,化趋势，“任意”两个字是必不可少的,.,如果只用其中两点的函,数值,(,比如说端点值,),进行大小比较是不能确定函数的单调性的,.,注意定义的如下两种等价形式：,3.,求函数的单调区间,.,4.,复合函数的单调性,.,对于复合函数,y,f,g,(,x,),，若,t,g,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上是单调,函数，且,y,f,(,t,),在区间,(,g,(,a,),，,g,(,b,),或者,(,g,(,b,),，,g,(,a,),上是单调函,数，若,t,g,(,x,),与,y,f,(,t,),的单调性相同,(,同时为增或减,),，则,y,f,g,(,x,),为增函数；若,t,g,(,x,),与,y,f,(,t,),的单调性相反，则,y,f,g,(,x,),为减函数,.,简称：同增异减,.,5.,最值问题,.,并不是所有的函数都有最值，有的函数只有最大值而无最,小值，如,y,x,2,；有的函数只有最小值而无最大值，如,y,x,2,；,
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