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单击此处编辑母版标题样式,第2章 确知信号,2.1 确知信号的类型,2.2 确知信号的频域性质,2.3 确知信号的时域性质,第2章 确知信号,按照是否具有周期重复性，确知信号可以分为周期信号和非周期信号。周期信号按照某固定周期重复出现，可表示为x(t)=x(t+nT)(2-1)式中：T为周期；n=0，1，2，。只要知道任一周期内信号的变化规律，就可以确定它在其他时间内的规律。例如一无限长的正弦波信号x(t)=4 sin(2t+1)，t(,)，就属于周期信号，其周期为。如果信号不满足式(2-1)，那么为非周期信号，例如矩形脉冲信号。,2.1 确知信号的类型,按照能量是否有限，可以把信号分为能量信号和功率信号。假设信号x(t)(电流或电压)作用在1 电阻上，那么其瞬时功率为|x(t)|2，在有限的时间间隔(T/2,T/2)内消耗的能量(归一化能量)及平均功率可以分别表示为(2-2)(2-3),2.2.1 功率信号的频谱,对于一满足狄利克雷条件的周期性功率信号,x,(,t,)，可以将其展成傅里叶级数的形式，即(2-4),2.2 确知信号的频域性质,式中:,T,为功率信号,x,(,t,)的周期;,a,0,2是,x,(,t,)的直流分量。,由欧拉公式可以把傅里叶级数写成复数形式，即式(2-4)可以写为(2-5)式中:,对于周期性功率信号,x,(,t,)，将其频谱函数定义为(2-6)式中:,n,为整数。由上式可以看出，在一般情况下，频谱函数,C,n,是一个复数，可以表示为 (2-7),例2-1,试求图2-1所示周期性方波的频谱。,解,：图中的周期性方波可以表示为,图2-1 信号,x,(,t,)的波形图,由式(2-6)可以求出其频谱：频谱图如图2-2所示，是一些幅值不等的离散线条。,图2-2 周期性方波的频谱,2.2.2 能量信号的频谱密度,将一能量信号,x,(,t,)的傅里叶变换,X,(,)定义为信号的频谱密度，即(2-8)原信号,x,(,t,)为,X,(,)的逆傅里叶变换，即(2-9),例2-2 试求单位冲激函数的频谱密度。解：单位冲激函数(t)的表达式为根据式(2-8)可以写出其频谱密度()为 上式说明，单位冲激函数的频谱密度等于1，它的各频率分量连续分布在整个频率轴上，如图2-3所示。,图2-3 单位冲激函数的波形和频谱密度,信号的傅里叶变换具有一些重要特性，假设灵活运用，那么可以较容易地求出很多复杂信号的频谱或由频谱求出原信号。较为重要且常用的几个特性见表2-1。为方便起见，表2-2列出了常用的傅里叶变换对。,表2-1 傅里叶变换的性质,表2-2 常用傅里叶变换对,2.2.3 能量信号的能量谱密度设一能量信号x(t)的傅氏变换为X()，那么此信号的归一化能量E可表示为(2-10),定义,F,(,)=|,X,(,)|,2,(2-11)为信号,x,(,t,)的能量谱密度。此时信号能量可由下式表示：(2-12)对于实信号,x,(,t,)，,F,(,)是,的偶函数，因此有,(2-13),2.2.4 功率信号的功率谱密度因为功率信号的能量不存在，所以不能计算功率信号的能量谱密度，但可以求其功率谱密度。假设将一时间无限信号,x,(,t,)截短为长度为,T,(有限值)的一个截短信号,x,T,(,t,)，,T,/2,t,T,/2，即 (2-14)此时，,x,T,(,t,)具有有限的能量，可表示为(2-15),式中:,X,T,(,)为截短信号,x,T,(,t,)的傅氏变换。根据平均功率的定义得(2-16)将定义为信号的功率谱密度，用,P,(,)表示，即(2-17),信号功率为(2-18)周期为T的信号x(t)的瞬时功率等于|x(t)|2，那么周期T内的平均功率为(2-19),因为|,x,(,t,)|,2,=,x,(,t,),x,*(,t,)，其中,x,*(,t,)是,x,(,t,)的复数共轭值，再用傅氏级数代替,x,(,t,)，式(2-19)可以改写为(2-20),式中:Cn表示周期信号的傅里叶级数的系数。上式说明,周期信号的归一化平均功率等于信号所有谐波分量幅值的平方和，即总功率等于各频率分量单独奉献的功率之和。另外，|Cn|2可以由函数表示，得(2-21)式中:0是信号的基波角频率。那么信号的功率谱密度可以写成(2-22),2.3.1 能量信号的自相关函数,定义能量信号,x,(,t,)的自相关函数为(2-23),2.3 确知信号的时域性质,自相关函数,R,(,)只和时间差,有关，和时间,t,没有关系。自相关函数反映了一个信号与延迟,后的同一信号间的相关程度。当,=0时，信号波形重叠，相关性最好，此时自相关函数值最大，即(2-24)由式(2-24)可以看出，,=0时，能量信号的自相关函数,R,(0)等于信号的能量,E,。又因为(2-25),能量信号的自相关函数和能量谱密度之间也有比较简单的关系，即能量信号的能量谱密度F()和能量信号的自相关函数R()构成一个傅里叶变换对。推导过程如下：(2-26),反之，下式也成立(2-27),2.3.2 功率信号的自相关函数,定义功率信号,x,(,t,)的自相关函数为(2-28)(2-29)由式(2-29)可以看出，,=0时，功率信号的自相关函数,R,(0)等于信号的平均功率,P,。,功率信号的自相关函数,R,(,)也是,的偶函数。对于周期性功率信号,x,(,t,)(周期为,T,0,)，其自相关函数,R,(,)可以定义为(2-30)另外，周期性功率信号,x,(,t,)(周期为,T,0,)的自相关函数,R,(,)及其功率谱密度,P,(,)之间也是一个傅里叶变换对。推导过程如下：,(2-31),反之，也有下式成立(2-32),例2-3,试求信号,x,(,t,)=,A,sin(,0,t,)的自相关函数。,解,：显然,所求信号,x,(,t,)是一周期信号，且其周期为,T,0,=2/,0,。根据公式(2-30)可求出该信号的自相关函数为,2.3.3 能量信号的互相关函数定义两个能量信号x1(t)和x2(t)的互相关函数为(2-33)互相关函数R12()只和时间差有关，和时间t没有关系。互相关函数反映了一个信号与延迟后的另一信号间的相关程度。假设交换两个信号相乘的前后顺序，互相关函数会有变化，即R12()=R21()(2-34),证明：令s=t+，那么有,假设定义X12()=X*1()X2()为互能量谱密度，那么互相关函数和互能量谱密度也是一个傅里叶变换对。推导过程如下,反之，下式也成立：(2-35),2.3.4 功率信号的互相关函数定义两个功率信号x1(t)和x2(t)的互相关函数为(2-36)同样，互相关函数R12()也只和时间差有关，和时间t没有关系。假设交换两个信号相乘的前后顺序，互相关函数会有变化，即R12()=R21()(2-37),证明,：由互相关函数的定义有,对于两个有相同周期的周期性功率信号来讲，其互相关函数可以改写成(2-38)假设定义C12=(Cn)*1(Cn)2为信号x1(t)和x2(t)的互功率谱，那么互相关函数和互功率谱也是一个傅里叶变换对，即(2-39),推导过程如下,反之，下式也成立：,
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