二项式定理性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,九章算术,杨辉,详解九章算法,中记载的表,本积,平方,立方,三乘,四乘,五乘,商实,二项式系数的性质,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式,右边的多项式叫做,(a+b),n,的,，,其中 （,r=0,1,2,n,）叫做,，,叫做二项展开式的,通项,，用,T,r+1,表示，该项是指展开式的第,项，展开式共有,_,个项,.,展开式,二项式系数,r+1,n+1,二项式定理,前课复习,1,6,15,20,15,6,1,(a+b),1,(a+b),3,(a+b),4,(a+b),5,(a+b),2,(a+b),6,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,(a+b),n,C,n,0,C,n,1,C,n,2,C,n,r,C,n,n,表中的每一个数等于它肩上的两数的和,这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角”,二项式系数的性质,（,1,）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式,得到,图象的对称轴：,2,、若（,a+b,）,n,的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的,二项式系数相等，,课堂练习,1、在(ab),展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是,(),A,第项,B,第项,C,第项,D,第项,则,n=_,B,6,先增后减,n,是偶数时，,中间的一项（第,项）的二项式系数,取得最大值 ；,当,n,是奇数时，,中间的两项（第,项）的二项式,系数 和 相等，且同时取,得最大值。,（,2,）增减性与最大值,二项式系数的性质,1,6,15,20,15,6,1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,例,1,、,已知 的展开式中只有第,10,项的二,项式系数最,大，求第五项。,依题意，为偶数，且,解：,1.,在,(1+x),10,的展开式中，二项式系数最大为,；,在,(1-x),11,的展开式中，二项式系数最大为,.,2.,（,x-2),9,的展开式中，第,6,项的二项式系数 是（）,A.4032 B.-4032 C.126 D.-126,C,3.,在二项式,(x-1),11,的展开式中,求系数最小的项的系数。,最大的系数呢？,课堂练习,462,C,6,11,=,（,3,）各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于,：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,二项式系数的性质,赋值法,例,2,.,的展开式的各项系数和为_,解：,设,展开式各项系数和为,1,注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为,1,上式是恒等式，所以当且仅当,x=1,时，,(2-1),n,=,=,（,2-1,）,n,=1,例题讲解,例,3,、,证明：在(ab),n,展开式中,奇数项的二项式系,数的和等于偶数项的二项式系数的和,.,即证：,n-1,证明,（,a+b,）,n,C,n,0,a,n,+C,n,1,a,n-1,b+C,n,2,a,n-2,b,2,+,+C,n,r,a,n-r,b,r,+,+C,n,n,b,n,令,a=1,b=-1,得,特例法,赋值法,课堂练习,-2,-1094,1093,课堂练习,例,4,.设 二项式展开式的各项系数,的和为P；二项式系数的和为S，且P+S=272，,则展开式的常数项为_,108,n=4,例题讲解,解,:,设 项是系数最大的项,则,例题讲解,（,1,）,二项式系数的三个性质,:,（,2,）,数学思想：,函数思想。,二项式系数之和,:,最 值,:,（,3,）,数学方法：,赋值法、递推法,当 时，二项式系数是逐渐增大的，,由对称性知,它的后半部是逐渐减小的。,当,n,是,偶数,时，,中间的一项,取得,最大,时 ；,当,n,是,奇数,时，,中间的两项,，相等，,且,同时,取得,最大,值。,增减性,:,n,2,(,由赋值法求得,),课堂小结,