材料力学第六章静不定课件

材料力学,.,*,一、静定静不定概念,1、静定问题,仅用静力平衡方程就能求出全部未知,力，这类问题称为静定问题.,实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。,2、静不定问题,仅用静力平衡方程不能求出全部未,知力。又称超静定问题。,实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。,第六章 简单超静定问题,6.1,6.2 概述及拉压静不定问题,材料力学,1,.,一、静定静不定概念第六章 简单超静定问题6.16.2,3、静不定次数：,未知力数目与平衡方程数目之差。,也是需要补充的方程数目。,未知力：4个,平衡方程：2个,静不定次数=4,2=2,需要补充2个方程,此结构可称为2次静不定结构,材料力学,2,.,3、静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差。未知力：4个材,5、多余约束力：,多余约束提供的约束力。,静不定次数=多余约束力数目,4、多余约束：,结构保持静定所需约束之外的约束。若没有这,些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定),材料力学,3,.,5、多余约束力：多余约束提供的约束力。4、多余约束：结构保持,二、拉压静不定问题的解法,1、判断静不定次数；,2、列静力平衡方程；,3、列几何方程：,反映各杆变形之间的几何关系，具体问题需,具体分析。一般通过“变形几何图”列方程。,特别注意：力与变形相对应！,（即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应）,4、列物理方程：变形与力的关系；,5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得,变形协调方程,。,材料力学,4,.,二、拉压静不定问题的解法材料力学4.,拉压静不定问题的解法,（1）静力平衡方程力学原有基础,（2）,变形协调方程几何,灵活思考,（3）材料本构方程物理,构筑桥梁,（4）方程联立求,解代数综合把握,材料力学,5,.,拉压静不定问题的解法（1）静力平衡方程力学原有基础（,解：,1、判断,：一次静不定。,图示结构，求各杆轴力。,F,E,2,A,2,l,2,E,3,A,3,l,3,=,E,2,A,2,l,2,E,1,A,1,l,1,A,B,C,D,F,F,N1,F,N3,F,N2,x,y,2、列平衡方程,3、列几何(变形协调)方程,D,l,3,D,l,1,4、列物理方程,5、列补充方程,将物理方程代入几何方程得补充方程,材料力学,6,.,解：1、判断：一次静不定。图示结构，求各杆轴力。FE2A2,解得,材料力学,7,.,解得材料力学7.,OAB,为刚性梁，,写几何方程。,l,l,F,45,0,O,A,B,l,l,l,F,a,O,A,B,l,b,C,OAB,为刚性梁，、两杆材料相同，,抗弯刚度相等，求两杆轴力之比。,D,l,1,D,l,2,D,l,1,材料力学,8,.,OAB为刚性梁，写几何方程。llF450OABlllFa,a,a,F,45,0,O,A,B,OAB,为刚性梁，、两杆材料相同，,EA,2,=2,EA,1,。求杆与杆的应力之比。,D,l,1,D,l,2,解：变形协调关系,即,由物理关系建立补充方程，考虑对,O,取矩得平衡方程，联立求出两杆轴力，再求应力后得结果。,小技巧,材料力学,9,.,aaF450OABOAB为刚性梁，、两杆材料相同，E,D,l,3,D,l,2,F,A,B,C,D,30,0,30,0,l,图示支架承受力,F,作用，杆的抗拉刚度为,EA,，,杆的,抗拉刚度为1.5,EA,，,杆的抗拉刚度为2,EA,。求各杆的轴力。,解：平衡方程为,A,F,F,N1,F,N2,F,N3,变形协调方程,A,D,l,1,30,0,30,0,30,0,30,0,30,0,化简得,材料力学,10,.,Dl3Dl2FABCD300300l图示支架承受力F,物理关系为,代入变形协调方程得补充方程,联立平衡方程求得,求拉压静不定结构注意事项,内力假设与变形假设应一致。,内力假设受拉，变形只能假设伸长。,内力假设受压，变形只能假设缩短。,材料力学,11,.,物理关系为代入变形协调方程得补充方程联立平衡方程求得求拉压静,2,D,l,2,=,D,l,1,+,D,l,3,2(,D,l,2,+,D,l,1,)=,D,l,3,+,D,l,1,2(,D,l,2,+,D,l,3,)=,D,l,1,+,D,l,3,几何方程,图示静不定结构，,可列如右变形图。,F,刚 体,a,a,1,2,3,（a）,l,1,l,2,l,3,（b）,l,1,l,2,l,3,（c）,l,1,l,2,l,3,材料力学,12,.,2Dl2=Dl1+Dl3 2(Dl2+Dl1)=D,还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。,对应受力图,F,F,N1,F,N2,F,N3,（b）,F,F,N1,F,N2,F,N3,（c）,F,F,N1,F,N2,F,N3,（a）,（a）,l,1,l,2,l,3,（b）,l,1,l,2,l,3,（c）,l,1,l,2,l,3,材料力学,13,.,还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。对应受力图,内力按刚度比分配。,思考：静定结构是否也是这样？,刚度较大,内力较大,静不定结构的特点（,1,）,F,A,B,C,D,F,A,B,C,刚度增加,内力不变,材料力学,14,.,内力按刚度比分配。刚度较大静不定结构的特点（1）FABCDF,静不定结构的特点（,2,）装配应力,A,B,C,A,B,C,D,静定结构,无装配应力,静不定结构,？产生装配应力,材料力学,15,.,静不定结构的特点（2）,解：因制造误差，装配时,各杆必须变形，,因此产生装配内力。,一次静不定问题。,几何方程：,D,l,1,D,l,2,/cos,q,=,d,平衡方程：,F,N2,=,F,N3,F,N1,2,F,N2,cos,q,=0,已知三根杆,EA,相同，1杆有制造误差,d,，,求装配后各杆的应力。,d,q,1,2,3,l,A,B,C,D,q,D,l,1,D,l,2,F,N1,A,F,N3,F,N2,q,q,物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得,物理方程,：,注意1杆变形计算时用,l,材料力学,16,.,解：因制造误差，装配时各杆必须变形，一次静不定问题。几何方程,装配应力是不容忽视的，如：,d,/,l,=0.001，,E,=200GPa，,q,=30,s,1,=113MPa ，,s,2,=,s,3,=,65.2MPa,正确,注意：1杆伸长，只能是拉力，2、3杆缩短,应为压力。,F,N1,A,F,N3,F,N2,q,q,F,N1,A,F,N3,F,N2,q,q,不正确,材料力学,17,.,装配应力是不容忽视的，如：d/l=0.001，E=200,图示悬吊结构,AB,梁刚性，各杆,EA,相同，杆3短,，,求各杆装配应力。,l,刚 体,1,2,3,a,a,d,A,B,解：1、平衡方程,F,N1,F,N2,+,F,N3,=0,F,N1,=,F,N3,2、几何方程,D,l,1,D,l,2,D,l,3,即,3、物理方程,刚 体,a,A,B,F,N3,a,F,N1,F,N2,3杆用理论长度计算变形,材料力学,18,.,图示悬吊结构AB梁刚性，各杆EA相同，杆3短，求各杆装配应,4、补充方程,补充方程与平衡方程联立解得:,变形协调关系,平衡方程,两杆均为拉力，计算,杆伸长必须用理论长度，不用实际长度。,AB,为刚性梁，,写出所需方程。,a,2,a,45,0,A,d,B,C,D,l,1,D,l,2,材料力学,19,.,4、补充方程补充方程与平衡方程联立解得:变形协调关系平衡方程,静不定结构的特点（,3,）温度应力,A,B,C,升温,T,o,C,结构不因温度变化产生内力,A,B,C,D,升温,T,o,C,结构会因温度变化产生内力,材料力学,20,.,静不定结构的特点（3）,温度变化引起杆的长度变化，多余约束限制了这个变化，引起温度内力。,几何方程：,D,l,=,D,l,t,-,D,l,F,=0,物理方程：,D,l,t,=,a,l,t,，,D,l,F,=,F,N,l,/,EA,a,为材料的线膨胀系数,对于无约束的杆件，当温度变化为 时，杆件的变形为：,式中：,a,材料的线膨胀系数。,图示构件因温度变化引起的内力,l,A,B,F,N,材料力学,21,.,温度变化引起杆的长度变化，多余约束限制了这个变化，,解：受力图如图示（设二杆均受压）,图示结构，,EA,及线膨胀系数,a,相同的两杆和与刚体相连，当杆,温度升高,D,t,度时，两杆的内力和应力分别为多少？,l,2,l,l,l,A,A,F,N1,F,N2,F,Ax,F,Ay,列平衡方程,S,M,A,=0,杆在温度影响下伸长，在轴力作用,下缩短，,杆在轴力作用下缩短。刚,体绕,A,转动，,变形几何关系图如图示。,q,q,D,l,1,D,l,2,由图可列出变形几何关系方程,2,D,l,1,=,D,l,2,得,结合平衡方程，求得,材料力学,22,.,解：受力图如图示（设二杆均受压）图示结构，EA及线膨胀系数a,刚性梁,AB,悬挂于三根平行杆上。,l,=2m，,a,=1.5m，,b,=1m，,c,=0.25m，,d,=0.2m。1杆由黄铜制成，,E,1,=100GPa，,A,1,=2cm,2,，,a,1,=16.5,10,-6,/,0,C。,2和3杆由碳钢制成，,E,2,=,E,3,=200GPa，,A,2,=1cm,2,，,A,3,=3cm,2,，,a,2,=,a,3,=12.5,10,-6,/,0,C，,F,=40kN。设温度升高20,0,C，求各杆的应力。,l,刚 体,1,2,3,a,b,d,A,B,c,F,F,N2,a,b,d,A,B,c,F,F,N1,F,N3,解：平衡方程为,F,N1,+,F,N2,+,F,N3,F,=0,F,N1,a,+,Fc,F,N3,b,=0,变形协调方程为,D,l,1,D,l,2,D,l,3,材料力学,23,.,刚性梁AB悬挂于三根平行杆上。l=2m，a=1.5m，b=1,物理方程为,物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得：,F,N1,=7.92kN，,F,N2,=10.2kN，,F,N3,=21.9kN,由此求得应力为,s,1,=39.6MPa，,s,2,=102MPa，,s,3,=73MPa,F,N2,a,b,d,A,B,c,F,F,N1,F,N3,D,l,1,D,l,2,D,l,3,材料力学,24,.,物理方程为物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程,解:受力分析,建立平衡方程,未知力偶矩2个，平衡方程1个，一次超静定,变形分析,列变形协调方程,联立求解方程(a)与(b),建立补充方程,代入上式,试求图示轴两端的约束力偶矩。,6.3,扭转,超静定问题,材料力学,25,.,解:受力分析,建立平衡方程未知力偶矩2个，平衡方程1,A,B,设有,A,、,B,两个凸缘的圆轴，在力偶,M,的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除,M,。设轴和圆筒的抗扭刚度分别是,G,1,I,p1,和,G,2,I,p2,，试求轴内和筒内的扭矩。,M,M,解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加力偶,M,解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩,T,1,和,T,2,。设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作用，平衡方程为,T,1,T,2,T,1,-,T,2,=0,材料力学,26,.,AB设有A、B两个凸缘的圆轴，在力偶M的作用下发生了变形。这,焊接前轴在,M,作用下的扭转角为,M,M,j,j,2,j,1,变形协调条件,T,1,T,2,=0,材料力学,27,.,焊接前轴在M作用下的扭转角为MMjj2j1变形协调条件T1,一、相当系统的建立,1、相当系统的特点：,静定结构；,含有多余约束力；,主动力与原结构相同。,2、建立相当系统的步骤：,判断静不定次数；,解除多余约束，代之以多余约束力；,其余照原问题画。,6.4 弯曲简单超静定问题,材料力学,28,.,一、相当系统的建立6.4 弯曲简单超静定问题材料力学28,解：,建立相当系统,=,处理方法：变形协调方程、