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单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,二、齐次线性方程组,定理,：齐次线性方程组有非零解,齐次线性方程组只有零解,推论,1,：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数个数（,m,n,），则它必有非零解。,推论,2,：,n,个方程,n,个未知数的齐次线性方程组有非零解的充要条件是,|,A,|=0,；而它只有零解的充要条件是,|,A,|,0.,2,向量与向量组的线性组合,一、向量及其线性运算,1.,定义,：,n,个有次序的数,a,1,a,2,a,n,所组成的数组称为,n,维向量,，,这,n,个数称为该向量的,n,个分量,，,第,i,个数,a,i,称为第,i,个分量,。,如：,行向量（行矩阵）,列向量,（列矩阵）,2.,一些特殊向量：,（,1,）零向量：,所有分量都为零的向量；,（,2,）单位向量组：,（,3,）,的每一列,都是,m,维列向量；,而其每一行,都是,n,维行向量。,1,n,2,（,3,）,故,A,可记为：,3.,向量的线性运算：,向量的加法和数乘运算。,矩阵的加法和数乘运算。,线性方程组,4.,线性方程组的向量表示：,可表示为,1,n,2,二、向量的线性组合,1.,定义,：,给定向量组：,1,2,s,和向量,，,如果存在一组数,k,1,k,2,k,s,使得：,=k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,则称,可由,向量组,1,2,s,线性表示,(,线性表出,),；,又称,是,向量组,1,2,s,的,线性组合,。,例：,若,任一,n,维向量：,则,可由,向量组,1,2,3,线性表示为,：,=2,1,2,3,例,零向量可由任一向量组线性表示：,例,向量组,1,2,s,中的任一向量,j,都可由该向量组线性表示：,例,判断向量 能否表示为向量组：,的线性组合，若可以，写出表示式。,解：,设,，即：,所以,x,1,=2,x,2,=1,，,即：,=2,1,+,2,.,判断,向量,能否用,向量组,1,2,s,线性表示，等同于判断,x,1,1,+,x,2,2,+,x,s,s,=,是否有解。,线性方程组,2.,定理：,向量,能用,向量组,1,2,s,线性表示的充要条件是：,注：,(1),r,(,1,2,s,)=,r,(,1,2,s,)=,s,时，表示式唯一；,(2),r,(,1,2,s,)=,r,(,1,2,s,),s,时，表示式不唯一。,r,(,1,2,s,)=,r,(,1,2,s,),2.,定理：,若向量组,A,可由向量组,B,线性表示，向量组,B,可由向量组,C,线性表示，则向量组,A,可由向量组,C,线性表示。,三、向量组间的线性表示,1.,定义,：,设有两向量组,A,:,1,2,s,；,B:,1,2,t,若向量组,B,中的每一个向量都能由向量组,A,线性表示，则称向量组,B,能由向量组,A,线性表示。,若向量组,A,与向量组,B,能相互线性表示，则称这两个向量组等价。,(,传递性）,3,向量组的线性相关性,一、线性相关性的概念,引例,齐次线性方程组,Ax,=,O,的向量形式为,显然，其必有零解。,(,零向量可由任一向量组线性表示,),其是否有非零解等同于是否存在一组不全为零的数,k,1,k,2,k,n,使得：,我们关心其是否有非零解？,1.,定义：,对于向量组,:,1,2,s,，如果存在一组不全为零的数,k,1,k,2,k,s,使得：,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,=O,则称,向量组,1,2,s,线性相关,；,如果当且仅当,k,1,=,k,2,=,=,k,s,=,0,时上式才成立，则称,向量组,1,2,s,线性无关,。,例,1,=(1,1),T,2,=(2,2),T,线性相关。,2,1,2,=,O,例,n,维单位,向量组,线性无关。,若,则：,例,一个,零向量线性相关，一个非零向量线性无关,；,例,证明：若,1,2,线性无关，则,1,+,2,1,2,也线性无关。,n,维向量组,:,1,2,s,线性相关等同于齐次线性方程组,二、向量组线性相关性的一些判定定理,x,1,1,+,x,2,2,+,x,s,s,=O,1.,定理,1,：,n,维向量组,:,1,2,s,线性相关,r,(,1,2,s,),s,注：,向量组,:,1,2,s,线性无关,r,(,1,2,s,),=,s,有非零解。,推论,1,：如果齐次线性方程组的方程个数小于未知数个数，则它必有非零解。,2.,推论,1,：,向量个数大于维向量维数时，向量组线性相关。,推论,2,：,n,个方程,n,个未知数的齐次线性方程组有非零解的充要条件是,|,A,|=0,；而它只有零解的充要条件是,|,A,|,0.,对齐次线性方程组，我们有以下结论：,所以对向量，我们相应有：,3.,推论,2,：,n,个,n,维向量组,:,1,2,n,线性相关,|,1,2,n,|,=,0,线性无关,|,1,2,n,|,0.,向量维数,向量个数,例,讨论 的线性相关性。,解：,所以,r,(,1,2,3,),=,2,3,，,从而,1,2,3,线性相关。,注,：也可通过计算 得出结论。,4.,定理,2,：,如果向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。,分析,：,k,1,1,+,k,2,2,+,k,r,r,=O,若存在一组不全为零的数,k,1,k,2,k,r,，使得：,r,s,则：,k,1,1,+,k,2,2,+,k,r,r,+,0,r,+1,+,0,s,=O,5.,推论,3,：,线性无关向量组中任何一部分组皆线性无关。,（部分相关，则整体相关）,（整体无关，则部分无关）,例,含有零向量的向量组线性相关。,或：零向量线性相关,0,1,+,0,2,+,0,s,+1,O=O,（部分相关，则整体相关）,练习：,判断以下向量组是否线性相关。,1.,1,=(1,2,3),T,2,=(0,4,5),T,3,=(0,0,6),T,2.,1,=(1,1,1),T,2,=(3,2,3),T,3,=(4,3,4),T,3.,1,=(1,2,3),T,2,=(2,3,4),T,3,=(3,4,5),T,3,=(4,5,6),T,4.,1,=(1,0,0,2,5),T,2,=(0,1,1,3,4),T,3,=(0,0,0,0,0),T,练习：,1.,=(1,1,1),T,=(1,3,0),T,=(2,4,1),T,试将,表示为,的线性组合。,=,2.,讨论,1,=(1,2,1),T,2,=(4,1,5),T,3,=(2,1,1),T,的线性相关性。,线性相关,3.,若,1,2,3,线性无关，讨论,1,2,2,3,3,1,的线性相关性。,线性相关,4.,课本,96,页第,7,题。,
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