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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/4/8,#,专题七选考内容,第1讲选修4-4坐标系与参数方程,专题七选考内容,1,总纲目录,考点一极坐标方程及其应用,考点二参数方程及其应用,考点三极坐标方程与参数方程的综合应用,总纲目录考点一极坐标方程及其应用考点二参数方程及其应用考,考点一极坐标方程及其应用,1.(2019课标全国,22,10分)在极坐标系中,O,为极点,点,M,(,0,0,)(,0,0)在曲,线,C,:,=4sin,上,直线,l,过点,A,(4,0)且与,OM,垂直,垂足为,P,.,(1)当,0,=,时,求,0,及,l,的极坐标方程;,(2)当,M,在,C,上运动且,P,在线段,OM,上时,求,P,点轨迹的极坐标方程.,考点一极坐标方程及其应用1.(2019课标全国,22,1,3,解析,(1)因为,M,(,0,0,)在,C,上,当,0,=,时,0,=4sin,=2,.,由已知得|,OP,|=|,OA,|cos,=2.,设,Q,(,)为,l,上除,P,的任意一点.,在Rt,OPQ,中,cos,=|,OP,|=2.,经检验,点,P,在曲线,cos,=2上.所以,l,的极坐标方程为,cos,=2.,解析(1)因为M(0,0)在C上,4,(2)设,P,(,),在Rt,OAP,中,|,OP,|=|,OA,|cos,=4cos,即,=4cos,.,因为,P,在线段,OM,上,且,AP,OM,故,的取值范围是,.,所以,P,点轨迹的极坐标方程为,=4cos,.,(2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|c,5,2.(2019课标全国,22,10分)如图,在极坐标系,Ox,中,A,(2,0),B,C,D,(2,),弧,所在圆的圆心分别是(1,0),(1,),曲线,M,1,是,弧,曲线,M,2,是弧,曲线,M,3,是弧,.,(1)分别写出,M,1,M,2,M,3,的极坐标方程;,(2)曲线,M,由,M,1,M,2,M,3,构成,若点,P,在,M,上,且|,OP,|=,求,P,的极坐标.,2.(2019课标全国,22,10分)如图,在极坐标系Ox,6,解析,(1)由题设可得,弧,所在圆的极坐标方程分别为,=2cos,=,2sin,=-2cos,.,所以,M,1,的极坐标方程为,=2cos,M,2,的极坐标方程为,=2sin,M,3,的极坐标方程为,=-2cos,.,(2)设,P,(,),由题设及(1)知,若0,则2cos,=,解得,=,;,解析(1)由题设可得,弧,所在圆的极坐标方程分别为,7,若,则2sin,=,解得,=,或,=,;,若,则-2cos,=,解得,=,.,综上,P,的极坐标为,或,或,或,.,总结提升,1.直角坐标方程与极坐标方程的互化,(1)直角坐标方程化为极坐标方程时,直接将,x,=,cos,y,=,sin,代入即可.,(2)极坐标方程化为直角坐标方程时,一般需要构造,2,sin,cos,常用的技,巧有式子两边同乘,两角和与差的正弦、余弦展开等.,若,则2sin=,解得=或=;总结提,8,2.求解与极坐标有关的问题的主要方法,(1)直接利用极坐标求解,可与数形结合思想结合使用.,(2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角,坐标化为极坐标.,2.求解与极坐标有关的问题的主要方法,9,1.(2019贵州凯里模拟)在直角坐标系,xOy,中,圆,C,的参数方程为,(,为,参数),以,O,为极点,x,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.,(1)求圆,C,的极坐标方程;,(2)射线,OM,:,=,与圆,C,的交点为,O,、,P,与曲线,C,1,:,y,=,(,x,0)的交点为,Q,求线,段,PQ,的长.,1.(2019贵州凯里模拟)在直角坐标系xOy中,圆C的参数,10,解析,(1)圆,C,的直角坐标方程为,x,2,+(,y,-1),2,=1,又,x,=,cos,y,=,sin,圆,C,的极坐标方程为,=2sin,.,(2)设,P,(,1,1,),将,P,点坐标代入,解得,C,1,:,y,=,(,x,0)化为极坐标方程为,sin,=,解析(1)圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,11,设,Q,(,2,2,),将,Q,点坐标代入,解得,|,PQ,|=|,1,-,2,|=,.,设Q(2,2),将Q点坐标代入,12,2.(2019东三省四市模拟)在平面直角坐标系,xOy,中,以坐标原点为极点,x,轴的,正半轴为极轴建立极坐标系,曲线,C,1,:,cos,=3,曲线,C,2,:,=4cos,.,(1)求,C,1,与,C,2,交点的极坐标;,(2)设点,Q,在,C,2,上,=,求动点,P,的极坐标方程.,2.(2019东三省四市模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐,13,解析,(1)联立方程得,解得 cos,=,0,cos,=,=,=2,所求交点的极坐标为,.,(2)设,P,(,),Q,(,0,0,),且,0,=4cos,0,0,解析(1)联立方程得解得 cos=,14,由 得,=4cos,故动点,P,的极坐标方程为,=10cos,.,由 得,15,考点二参数方程及其应用,1.(2018课标全国,22,10分)在直角坐标系,xOy,中,曲线,C,的参数方程为,(,为参数),直线,l,的参数方程为,(,t,为参数).,(1)求,C,和,l,的直角坐标方程;,(2)若曲线,C,截直线,l,所得线段的中点坐标为(1,2),求,l,的斜率.,考点二参数方程及其应用1.(2018课标全国,22,10,解析,(1)曲线,C,的直角坐标方程为,+,=1.,当cos,0时,l,的直角坐标方程为,y,=tan,x,+2-tan,当cos,=0时,l,的直角坐标方程为,x,=1.,(2)将,l,的参数方程代入,C,的直角坐标方程,整理得关于,t,的方程,(1+3cos,2,),t,2,+4(2cos,+sin,),t,-8=0.,因为曲线,C,截直线,l,所得线段的中点(1,2)在,C,内,所以有两个解,设为,t,1,t,2,则,t,1,+,t,2,=0.,解析(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.,又由得,t,1,+,t,2,=-,所以2cos,+sin,=0,于是直线,l,的斜率,k,=tan,=-2.,又由得t1+t2=-,2.(2018课标全国,22,10分)在平面直角坐标系,xOy,中,O,的参数方程为,(,为参数),过点(0,-,)且倾斜角为,的直线,l,与,O,交于,A,B,两点.,(1)求,的取值范围;,(2)求,AB,中点,P,的轨迹的参数方程.,2.(2018课标全国,22,10分)在平面直角坐标系xO,解析,(1),O,的直角坐标方程为,x,2,+,y,2,=1.,当,=,时,l,与,O,交于两点.,当,时,记tan,=,k,则,l,的方程为,y,=,kx,-,.,l,与,O,交于两点当且仅当,1时成立,解得,k,1,即,或,.,综上,的取值范围是,.,(2),l,的参数方程为,t,为参数,.,解析(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.,设,A,B,P,对应的参数分别为,t,A,t,B,t,P,则,t,P,=,且,t,A,t,B,满足,t,2,-2,t,sin,+1=0.,于是,t,A,+,t,B,=2,sin,t,P,=,sin,.,又点,P,的坐标(,x,y,)满足,所以点,P,的轨迹的参数方程是,为参数,0),直线,l,的参数方程为,(,t,为参数).,(1)若,a,=2,求曲线,C,与直线,l,的普通方程;,(2)若,C,上存在点,P,使得,P,到,l,的距离为,求,a,的取值范围.,2.(2019广西崇左模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C,解析,(1),a,=2时,曲线,C,的普通方程为,+,y,2,=1.,消去参数得直线,l,的普通方程为,x,+,y,-2=0.,(2)设点,P,(,a,cos,sin,),则,P,到,l,的距离,d,=,=,(其中tan,=,a,),当,2,即,a,时,0,d,;,当,2,即0,a,=,所以当,a,时,始终满足条件.,当,a,=,考点三极坐标方程与参数方程的综合应用,1.(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系,xOy,中,直线,l,1,的参数方程为,(,t,为参数),直线,l,2,的参数方程为,(,m,为参数).设,l,1,与,l,2,的交点为,P,当,k,变化时,P,的轨迹为曲线,C,.,(1)写出,C,的普通方程;,(2)以坐标原点为极点,x,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,l,3,:,(cos,+sin,)-,=0,M,为,l,3,与,C,的交点,求,M,的极径.,考点三极坐标方程与参数方程的综合应用1.(2017课标全国,解析,(1)消去参数,t,得,l,1,的普通方程,l,1,:,y,=,k,(,x,-2);消去参数,m,得,l,2,的普通方程,l,2,:,y,=,(,x,+2).,设,P,(,x,y,),由题设得,消去,k,得,x,2,-,y,2,=4(,y,0).,所以,C,的普通方程为,x,2,-,y,2,=4(,y,0).,(2),C,的极坐标方程为,2,(cos,2,-sin,2,),=4(0,2,).,解析(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2),联立得,得cos,-sin,=2(cos,+sin,).,故tan,=-,从而cos,2,=,sin,2,=,代入,2,(cos,2,-sin,2,)=4得,2,=5,所以交点,M,的极径为,.,联立得,2.(2019课标全国,22,10分)在直角坐标系,xOy,中,曲线,C,的参数方程为,(,t,为参数).以坐标原点,O,为极点,x,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线,l,的极坐标方程为2,cos,+,sin,+11=0.,(1)求,C,和,l,的直角坐标方程;,(2)求,C,上的点到,l,距离的最小值.,2.(2019课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,解析,(1)因为-1,1,且,x,2,+,=,+,=1,所以,C,的直角坐标方程为,x,2,+,=1(,x,-1).,l,的直角坐标方程为2,x,+,y,+11=0.,(2)由(1)可设,C,的参数方程为,(,为参数,-,).,C,上的点到,l,的距离为,=,.,解析(1)因为-11,且x2+=+=1,当,=-,时,4cos,+11取得最小值7,故,C,上的点到,l,距离的最小值为,.,总结提升,极径的几何意义及其应用,(1)几何意义:极径,表示极坐标平面内点,M,到极点,O,的距离.,(2)应用:一般应用于过极点的直线与曲线相交所得的弦长问题,需要用极径,表示出弦长,结合根与系数的关系解题.,当=-时,4cos+11取得最小值7,故C上的点到l距,1.(2019陕西汉中二检)已知直线,l,1,的参数方程为,(,t,为参数,a,0),以平,面直角坐标系的原点为极点,x,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆,C,的极坐标,方程为,=4cos,.,(1)若直线,l,1,被圆截得的弦长为2,求,a,的值;,(2)直线,l,2,的参数方程为,(,t,为参数),在(1)的基础上,若,l,1,l,2,垂足为,P,求,P,点的极坐标.,1.(2019陕西汉中二检)已知直线l1的参数方程为(t为,解析,(1)由,l,1,的参数方程得,x,-,y,-3-,a,=0.,2,=,x,2,+,y,2,cos,=,x,由,C,的极坐标方程得其直角坐标方程为,x,2,+,y,2,-4,x,=0,即(,x,-2),2,+,y,2,=4,圆心为,C,(2,0),半径,r,=2,圆心,C,到直线,l,1,的距离,d,=,=,又弦长为2,2,=2,解得,a,=-3.,解析(1)由l1的参数方程得x-y-3-a=0.,(2)由,l,2,的参数方程得其普通方程为,y,=tan,(,x,-2),又,l,1,l,2,tan,=-1,则,l,2,:,y,=-,x,+2,由
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