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,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第十一章 勒让德多项式 球函数,第四节 连带勒让德多项式、球函数,二、球函数,第十一章 勒让德多项式 球函数,1,第十一章 勒让德多项式 球函数,第四节 连带勒让德多项式、球函数,二、球函数,1、,球函数的定义,对不具备轴对称的情况，球函数方程的解,是,其中,m,=0,1,2,n,n,=0,1,2,3.。,称为球函数，,n,叫做它的阶。独立的球函数共,第十一章 勒让德多项式 球函数,2,有 2,n,+1个，因为对,m,=0 有一个球函数,P,n,(cos,)，对于,m,=1,2,3，,n,各有两个,球函数 。,根据欧拉公式：,独立的,n,阶球函数还是 2,n,+1 个。,2、,球函数的正交归一性,球函数中的任意两个在球面上正交，即,如采用三角形式：,有 2n+1个，因为对 m=0 有一个球函数,3,如采用指数形式：,如采用指数形式：,4,3、展开定理,任一函数,f,(,，)可在球面上(0,，0 2)按球函数展开：,3、展开定理,5,有了球函数，拉普拉斯方程,例2、在半径为,a,的球的(1)内部，(2)外部，求解,有了球函数，拉普拉斯方程,6,研究一个特例,解：,(1),球,的内部：当,r,0时，,u,(,r,)有限，,D,n,=0,研究一个特例,7,8,当,n,2,m,2时,当,n,=2,m,=2时,(2)在,球,的外部：当,r,时，,u,(,r,)有限,C,n,=0，故,数学物理方法课程十六课件,9,10,当,n,2,m,2时,当,n,=2,m,=2时,11,主要内容,(1)、三维拉普拉斯方程、波动方程、热传导方程在柱坐标下的分离变量法,(2)、奇点邻域的幂级数解法,(3)、贝塞尔微分方程及贝塞尔函数的定义、性质,(4)、贝塞尔函数的母函数及其递推公式,主要内容,12,(5)、贝塞尔函数的零点、本征值、正交归一性、按贝塞尔函数展开,(6)、虚宗量贝塞尔函数的定义及性质,(7)、柱函数在物理学中的应用,(8)、球贝塞尔方程的导出,(9)、球贝塞尔函数及其应用,采用极坐标：,(5)、贝塞尔函数的零点、本征值、正交归一性、按贝塞尔函数展,13,重点和难点,重点：,柱坐标下的分离变量法；贝塞尔函数的定义和基本性质；虚宗量贝塞尔函数的定义及性质；柱函数的应用；球贝塞尔函数及其应用,难点：,柱坐标下的分离变量法；贝塞尔函数的定义；虚宗量贝塞尔函数的定义；球贝塞尔函数的定义；柱函数的应用；球贝塞尔函数的应用,重点和难点,14,第十二章 贝塞耳函数柱函数,第一节 贝塞尔微分方程及贝塞尔函数,一、贝塞尔微分方程的导出,1、在柱坐标下求解拉普拉斯方程,考察三维拉普拉斯方程,采用极坐标：,第十二章 贝塞耳函数柱函数采用极坐标：,15,如果讨论的问题具有对称性，研究对象与,z,轴无关,则三维拉氏方程变为二维拉氏方程：,现在讨论三维拉普拉斯方程的解：以分离变数形式的解,16,微分方程(1)与自然周期条件：,构成特征值问题，其特征值和特征函数为：,将代入（2）得：,17,1)当,=0时，,2)当,0时，（至于,0，,=0还是,0，要根据具体的边界条件考虑）,18,令,贝塞尔方程，其解称为贝塞尔函数,。,3)当,0时，记,对于这种情况，如果要求,Z,(,z,)在,z,=0，,z,=,h,满足齐次边界条件：,Z,(0)=0,Z,(,h,)=0，那么这,数学物理方法课程十六课件,19,时应排除 的情况。再看常微分方程(6)，,令,x,=,hr,，则方程变为,(5),方程（5）称为虚宗量贝塞尔方程。虚宗量的贝塞尔方程的解叫做虚宗量贝塞尔函数。它没有实的零点。因此，如果要求,R,(,r,)在端点,r,=,a,满足齐次边界条件，即：,R,(,a,)=0 ，就应排除,0 的可能。,时应排除 的情况。再看常微分方程,20,2、波动方程,偏微分方程（7）叫做亥姆霍兹方程。,3、输运方程,2、波动方程,21,偏微分方程（9）是亥姆霍兹方程。,22,4、在柱坐标下求解亥姆霍兹方程,在柱坐标系，亥姆霍兹方程的表达式是,方程（10）与自然周期条件,构成特征值问题特征值和特征函数是：,4、在柱坐标下求解亥姆霍兹方程,23,方程（12）的解已给出：如果问题的边界条件全是齐次的，就应该排除,0，把,记作,h,2,，则,作自变数的代换：,这是,n,阶贝塞尔方程，其解为贝塞尔函数。,24,
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