线性二次型指标的最优控制课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,2024年11月15日,第,8,章 线性二次型指标的最优控制,8.3,线性定常系统的状态,调节器问题,8.4,输出调节器问题,李芳燕 罗婧 李一飞 李东芳 安海潮,12023年8月7日 第8章 线性二次型指标的最优控制8,1,8.3,线性定常系统的状态调节器问题,问题引入,1,举例说明,3,定理内容及说明,2,8.3 线性定常系统的状态调节器问题问题引入1举例说明,2,Beihang University,问题引入,对于上一节所讨论的状态调节器，即使系统的状态方程和性能指标是定常的，即矩阵,A,B,Q,R,均为常数矩阵时，其系统总是时变和系统最优反馈增益是时变的，这是由于黎卡提方程的解,K,(,t,),是时变的缘故。,Beihang University问题引入 对于上一,3,Beihang University,问题引入,由例,8-1,的结果，从结果图中受到启发，当终端时间,t,f,趋于无穷时，,K,(,t,),将趋于某常数，即,K,(,t,),可视为恒值。,t,f,=10,时黎卡提矩阵微分方程的解,K(t,),Beihang University问题引入 由例8-,4,Beihang University,问题引入,K,(,t,),将趋于某常数，即,K,(,t,),可视为恒值，从而得到所谓,无限时间,(,t,f,=),状态调节器,或,稳态状态调节器,。,t,f,=1000,时黎卡提矩阵微分方程的解,K(t,),Beihang University问题引入 K(t),5,Beihang University,问题引入,对于无限时间状态调节器，通常在性能指标中不考虑终端指标，取权阵,P,=0,，其原因有：一是希望,t,f,，,x,(,t,f,),=,0,即要求稳态误差为零，因而在性能指标中不必加入体现终端指标的终值项；二是工程上仅参考系统在有限时间内的响应，因而,t,f,时的终端指标将失去工程意义。,Beihang University问题引入 对于无限,6,Beihang University,问题引入,性能指标为：,式中，,Q,，,R,均为常数对称正定阵，,u,无约束。由于,P,=0,，所以,K,(,t,f,)=,K,()=,P,=0,。从,t,=,开始逆时间积分黎卡提矩阵微分方程，当,K,(,t,),的解存在且唯一时，经过一段时间，,K,(,t,),将达到稳态值，因此可认为在,t,=0,开始很长一段时间内，,K,(,t,),是黎卡提微分方程的稳态解，即有 在稳态时，从而可将黎卡提矩阵微分方程化为黎卡提代数方程，解出的,K,阵为常值矩阵。,Beihang University问题引入性能指标为：式中,7,和二次型性能指标为,Beihang University,定理内容及说明,可控的或至少是可稳的线性定常系统的状态方程为,式中，,u,不受限制，,Q,和,R,为常数对称正定阵，则使,J,为极小的最优控制存在，且唯一，并可表示为,式中，,K,为正定常数矩阵，满足下列的黎卡提矩阵代数方程,在最优控制下，最优轨线是下面线性定常齐次微分方程的解，即,所对应的性能指标的最小值为,和二次型性能指标为Beihang University定理内,8,Beihang University,定理内容及说明,对于以上结论，作如下几点说明：,1.,适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳；而在有限时间状态调节器中则不强调这一点。因为在无限时间调节器中，控制区间扩大为无穷，为了保证积分值有限，,x,(,t,),和,u,(,t,),要收敛到零，也就是受控系统的状态变量必须是渐进稳定的。,如果系统可控，则通过状态反馈可任意配置闭环系统极点，使系统渐进稳定。,可控的条件可减弱为可稳，即只要不稳定的极点所对应的模态可控，通过反馈将它变为稳定即可。,对有限时间调节器来讲，因为积分上限,t,f,为有限值，即使系统不可控，状态变量不稳定，积分指标仍可为有限值，故仍旧有最优解。,Beihang University定理内容及说明对于以上结,9,Beihang University,定理内容及说明,对于以上结论，作如下几点说明：,2.,闭环系统是渐进稳定的，即系统矩阵 的特征值均具有负实部，而不论原系统,A,的特征值如何。,证明：设李雅普诺夫函数为,因,K,正定，故,V,(,x,),是正定的。,与黎卡提代数方程,比较得,由于,Q,，,R,均为正定矩阵，故 负定，结论得证。,Beihang University定理内容及说明对于以上结,10,Beihang University,定理内容及说明,对于以上结论，作如下几点说明：,1.,适用于线性定常系统，且要求系统可控或至少可稳；而在有限时间,Beihang University定理内容及说明对于以上结,11,故当,t,f,时，性能指标的最优值,将趋于无穷大，即,这与性能指标的最优值,为有限值相矛盾，所以上述系统是渐进稳定的。,闭环最优调节系统,是渐进稳定的。,证明：利用反证法来证明。,假设系统上述不是渐进稳定的，则 必具有非负实部的特征根。于是，当,t,f,时，状态变量,X,(,t,),不会趋于零，即 。,Beihang University,定理内容及说明,故当tf时，性能指标的最优值,12,Beihang University,定理内容及说明,对于以上结论，作如下几点说明：,3.,Q,为正定这个条件是保证最优反馈系统稳定而提出的。性能指标,J,取有限值，还不能保证系统稳定。例如，只要不稳定的状态变量在性能指标中不出现，那么,Q,为半正定时就可能出现这种情况，所以,Q,必须正定。,Q,为,n,n,半正定常数矩阵，且 为能观测矩阵。,Beihang University定理内容及说明对于以上结,13,Beihang University,定理内容及说明,综上，状态调节器的设计步骤如下：,1.,根据系统要求和工程实际经验，选定加权矩阵,Q,和,R,；,2.,由,A,B,Q,R,按 求解黎卡提矩阵代数方程，求得矩阵,K,；,3.,由式 求最优控制,u,(,t,);,4.,解式 求相应的最优轨迹,x,(,t,);,5.,按式 计算性能指标最优值。,Beihang University定理内容及说明综上，状态,14,Beihang University,举例说明,例,1,设系统的状态方程为,性能指标为,试确定最优控制，使,J,最小。设,ab,2,0,，保证,Q,为正定。,Beihang University举例说明例1 设系统的,15,Beihang University,举例说明,例,1,解 各矩阵分别为,验证系统稳定性：,系统状态完全能控，且,Q,及,R,为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一。,Beihang University举例说明例1解 各矩,16,Beihang University,举例说明,例,1,设 。,由式 得最优控制为,矩阵,K,满足黎卡提代数方程,Beihang University举例说明例1设,17,Beihang University,举例说明,例,1,即,展开整理，可得,3,个代数方程为,Beihang University举例说明例1即展开整理，,18,Beihang University,举例说明,例,1,解之,在保证,Q,和,K,为正定矩阵条件下，则有,最优控制为,Beihang University举例说明例1解之在保证Q,19,Beihang University,举例说明,例,1,最优状态调节器闭环系统结构图如图所示,Beihang University举例说明例1最优状态调节,20,Beihang University,举例说明,例,1,闭环系统的传递函数为,闭环极点为,故闭环系统是稳定的。,a,2,时系统响应为衰减振荡；,a,2,时系统不发生振荡，呈过程阻尼响应。,Beihang University举例说明例1闭环系统的传,21,Beihang University,举例说明,例,2,调节火箭的滚动姿态时，用液态副翼使滚动姿态角,尽可能小，同时使副翼偏转角,及偏转率 保持在物理限度内。系统状态方程为,其中，是滚动时间常数；是滚动角速度；是副翼执行机构的指令信号；,C,是副翼效率。使性能指标,取极小，其中,均为它们的最大要求值。求最优反馈控制,u,(,t,),。,Beihang University举例说明例2 调节火箭,22,满足黎卡提方程，且,K,0,。由于对称性，独立的,6,个代数方程组经过消元并选取 ，有解,Beihang University,举例说明,例,2,解 由题知,其中,满足黎卡提方程，且K0。由于对称性，独立的6个代数方程组经,23,Beihang University,举例说明,例,2,其中，满足四次方程,Beihang University举例说明例2其中，满,24,Beihang University,举例说明,例,2,若设,则四次方程为,其两正实根是 及 ，且后者破坏,K,0,，故取 。从而反馈控制,Beihang University举例说明例2若设则四次方,25,Beihang University,举例说明,例,2,Beihang University举例说明例2,26,Beihang University,举例说明,例,2,Beihang University举例说明例2,27,28,8.3,线性定常系统的状态调节器问题,参考书目：,巨永锋，李登峰，,最优控制,，重庆大学出版社，,2005.,李国勇等，,最优控制理论与应用,，国防工业出版社，,2008.,李国勇等，,最优控制理论及参数优化,，国防工业出,版社，,2006.,王朝珠，秦化淑，,最优控制理论,，科学出版社，,2003.,程兆林，马树萍，,线性系统理论,，科学出版社，,2006.,史忠科，,线性系统理论,，科学出版社，,2008.,28 8.3 线性定常系统的状态调节器问题参考书目：巨,28,29,8.3,线性定常系统的状态调节器问题,谢谢！,29 8.3 线性定常系统的状态调节器问题谢谢！,29,30,8.3,线性定常系统的状态调节器问题,王朝珠，秦化淑，,最优控制理论,，科学出版社，,2003.,30 8.3 线性定常系统的状态调节器问题王朝珠，秦化,30,31,8.4,输出调节器问题,线性时变系统输出调节器问题,1,举例,3,线性时不变系统输出调节器问题,2,31 8.4 输出调节器问题线性时变系统输出调节器问题1,31,Beihang University,线性时变系统输出调节器问题,设完全可观测的线性时变系统的状态方程和输出方程如下,以及性能指标,要求确其中，,P,和,Q(t),是半正定矩阵，,R(t),是正定矩阵，,t,f,是有限的终端时刻，控制函数,u(t),不受约束。确定最优调节作用,u,*,(,t,),使性能指标达到最小值。这类最优控制问题，称为输出调节器问题。其实质是用不大的控制能量，使输出变量,y,(,t,),保持在零值附近。,Beihang University线性时变系统输出调节器问,32,y(t)=C(t)x(t,),Beihang University,线性时变系统输出调节器问题,将输出方程,代入,性能指标,得到,状态调节器的性能指标函数,y(t)=C(t)x(t)Beihang Universi,33,Beihang University,线性时变系统输出调节器问题,在状态调节器的性能指标中，要求,P,和,Q(t),为半正定矩阵。由于系统可观测，可证明出输出调节器的性能指标中 和,也是半正定的。输出调节器的问题就可以用状态调节器问题来阐述。即：对于系统,和性能指标,B