空间向量与垂直关系-ppt课件

*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,*,空间向量与垂直关系,空间向量与垂直关系,1.,空间中直线、平面垂直关系的向量表示,(1),两直线垂直的关系,:,设直线,l,的方向向量为,a,=(a,1,a,2,a,3,),直线,m,的方向向量为,b,=(b,1,b,2,b,3,),则,l,m,_,_,_,_=0.,(2),直线与平面的垂直关系,:,设直线,l,的方向向量是,a,=(a,1,b,1,c,1,),平面,的法向量为,u,=(a,2,b,2,c,2,),则,l,_,_.,a,b,a,b,=0,a,1,b,1,+,a,2,b,2,+a,3,b,3,a,u,a,=k,u,1.空间中直线、平面垂直关系的向量表示abab=0a1b,(3),两个平面的垂直关系,:,若平面,的法向量为,u,=(a,1,b,1,c,1,),平面,的法向量为,v,=(a,2,b,2,c,2,),则,:,_,_.,u,v,u,v,=0,(3)两个平面的垂直关系:uvuv=0,2.,空间中直线、平面垂直关系的证明方法,(1),线线垂直,向量法,证明两直线的方向向量的数量,积为,0,；,几何法,证明两直线所成的角为直角,.,2.空间中直线、平面垂直关系的证明方法向量法证明两直线的方向,(2),线面垂直,方法一,:,根据线面垂直的判定定理转化为线线垂直,;,方法二,:,证明直线的方向向量与平面的法向量平行,.,(3),面面垂直,方法一,:,根据判定定理证明线面垂直,;,方法二,:,证明两个平面的法向量垂直,.,(2)线面垂直,1.,用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么,?,提示,:,需要确定直线的方向向量和平面的法向量,然后把证明线、面的垂直关系转化为向量的平行或垂直的关系,.,1.用向量法证明空间的线、面垂直关系的关键是什么?,2.,与向量,a,=(1,2,3),b,=(3,1,2),都垂直的向量为,_.,【解析】,设,n,=(x,y,z),且,n,a,n,b,则,:,解得,取,z=5k(k0),则,n,=(-k,-7k,5k),这是所有的与,a,b,都垂直的向量的坐标表示,.,取其中一个向量,例如,k=-1,则,n,0,=(1,7,-5).,答案：,(1,7,-5)(,答案不唯一,),2.与向量a=(1,2,3),b=(3,1,2)都垂直的向量,3.,若平面,的法向量分别为 则平面,的位置关系为,_.,【解析】,u,v,即平面,的位置关系为两平面相互垂直,.,答案：,垂直,3.若平面,的法向量分别为,4.,若,a,=(0,，,1,，,-1),，,b,=(1,1,0),且,(,a,+,b,),a,则实数,的值,是,_.,【解析】,a,+,b,=(0,1,-1)+(,0)=(,+1,-1),，,(,a,+,b,),a,，,(,+1,-1),(0,，,1,，,-1)=0,，,+1+1=0,，,=-2.,答案：,-2,4.若a=(0，1，-1)，b=(1,1,0),且(a+b,1.,空间中线、面的垂直关系的认识,空间中线、面的垂直关系有以下几种类型,:,(1),空间两直线的垂直,分为相交垂直和异面垂直,都可以与两直线的方向向量相互垂直进行相互转化,;,(2),直线与平面的垂直,空间直线与平面的垂直是与直线的方向向量与平面的法向量相互平行等价的,.,(3),两个平面的垂直,两个平面的垂直与这两个平面的法向量相互垂直是等价的,.,1.空间中线、面的垂直关系的认识,2.,判定空间线、面垂直关系时,直线的方向向量与平面的法向量的确定方法,在实际解题过程中,需要确定直线的方向向量和平面的法向量,通常是先确定直线上两点的坐标,从而求出直线的方向向量,;,平面的法向量则通常需要确定平面内三个点的坐标,然后确定平面内两条相交直线的方向向量,最后用待定系数法求出平面的法向量,.,2.判定空间线、面垂直关系时,直线的方向向量与平面的法向量的,利用空间向量判断线线垂直,利用空间向量判断空间两直线垂直的方法,(1),基向量法：,选取三个不共线的已知向量,(,通常是它们的模及其两两夹角为已知,),为空间的一个基底,;,把两直线的方向向量用基底表示,;,利用空间向量判断线线垂直,利用向量的数量积运算,计算出两直线的方向向量的数量积为,0;,由方向向量垂直得到两直线垂直,.,(2),坐标法,:,根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标,;,根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标,;,计算两直线方向向量的数量积为,0;,由方向向量垂直得到两直线垂直,.,利用向量的数量积运算,计算出两直线的方向向量的数量积为0;,【典例训练】,1.,如图所示,已知空间四边形,OABC,中,M,为,BC,的中点,N,为,AC,的中点,P,为,OA,的中点,Q,为,OB,的中点,若,AB=OC.,求证,:PMQN.,【典例训练】,2.,如图所示,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,是棱,A,1,A,的中点,N,在,AB,上,且,ANNB=13,求证,:C,1,MMN.,2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A,【证明】,1.,连接,OM,ON,M,N,分别为,BC,AC,的中点,P,A,B,M,C,O,N,Q,【证明】1.连接OM,ON,PABMCONQ,即,PMQN.,即PMQN.,2.,以,A,为原点,分别以,AB,AD,AA,1,所在直,线为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标,系,Axyz,设,AB=4,则,N(1,0,0),M(0,0,2),C,1,(4,4,4),2.以A为原点,分别以AB,AD,AA1所在直,【思考,】,(1),利,用,基向量法在证明两直线垂直时,如何选择基向量,?,(2),用坐标法证明两直线垂直时,如何确定各点的坐标,?,提示,:,(1),利用基向量法证明两直线垂直的关键是基向量的确定,即根据已知条件,从已知线段,的,长度和角度,入,手来选择基向量,如本题,1,中选取向量,来表,示,向,量 和 因,为,AB=OC;,然,后,用选取的基向量表示要证明的,向量,.,【思考】(1)利用基向量法在证明两直线垂直时,如何选择基向量,(2),题中各线段长度若,是,已知,则在建立空间直角坐标系后,即可写出各点坐标,;,或根据题中各线段的相等关系,用一个字母表示各条线段的长度,(,例如本题,2,设,AB=4,可使计算简便,),然后再表示出各点坐标,.,(2)题中各线段长度若是已知,则在建立空间直角坐标系后,即可,利用空间向量证明线面垂直,用向量法证明线面垂直的方法与步骤,1.,基向量法,具体步骤如下,(1),确定基向量作为空间的一个基底,用基向量表示有关直线的方向向量,;,(2),找出平面内两条相交直线的方向向量,并分别用基向量表示,;,利用空间向量证明线面垂直,(3),分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的向量的数量积,根据数量积为,0,证得线线垂直,然后由线面垂直的判定定理得出结论,.,2.,坐标法,方法一,:(1),建立空间直角坐标系,;,(2),将直线的方向向量用坐标表示,;,(3),找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量,;,(4),分别计算两组向量的数量积,得到数量积为,0;,(3)分别计算有关直线的方向向量与平面内相交直线的向量的数量,方法二,:(1),建立空间直角坐标系,;,(2),将直线的方向向量用坐标表示,;,(3),求出平面的法向量,;,(4),判断直线的方向向量与平面的法向量平行,.,方法二:(1)建立空间直角坐标系;,【典例训练】,1.,如图,正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,，,G,分别是,B,1,B,，,AB,，,BC,的中点,.,证明,:D,1,F,平面,AEG.,【典例训练】,2.,如图所示,正方形,ABCD,和四边形,ACEF,所在的平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=,求证,:CF,平面,BDE.,2.如图所示,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂,【证明】,1.,方法一,:,设,则,【证明】1.方法一:设,即,D,1,FAG;,即,D,1,FAE,又,AEAG=A,平面,AEG.,即D1FAG;,方法二,:,以,D,为原点，分别以,DA,DC,DD,1,为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空,间直角坐标系，设正方体棱长为,1,，则：,D,1,FAG,D,1,FAE,又,AGAE=A,D,1,F,平面,AEG.,方法二:以D为原点，分别以DA,DC,DD1为x轴，y轴，z,方法三,:,以,D,为原点，,DA,DC,DD,1,分别为,x,轴，,y,轴,z,轴建立空间,直角坐标系，设正方体棱长为,1,，则,设平面,AEG,的法向量,n,=(x,y,z),，则：,即,方法三:以D为原点，DA,DC,DD1分别为x轴，y轴,z轴,取,y=1,则,x=2,z=-2,n,=(2,1,-2),平面,AEG,即,D,1,F,平面,AEG.,取y=1,则x=2,z=-2,n=(2,1,-2),2.,正方形,ABCD,和四边形,ACEF,所在的平面互相垂直,且,CEAC,CE,平面,ABCD.,以,C,为原点,CD,CB,CE,所在的直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空,间直角坐标系,Cxyz,则,:,2.正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且C,CFBE,CFDE,又,BEDE=E,CF,平面,BDE.,CFBE,CFDE,又BEDE=E,【互动探究】,若本题,1,中的条件不变,试证明,:A,1,C,平面,C,1,BD.,【解题指南】,选择正方体的一个顶点为,原点建立空间直角坐标系后,可以求出,平面,C,1,BD,内相交直线的两个方向向量,或求出平面,C,1,BD,的法向量,.,【互动探究】若本题1中的条件不变,试证明:A1C平面C1B,【证明】,【证明】,【归纳】,用坐标法证明线面垂直时应注意的问题,.,提示,:,(1),建系应选择恰当的位置,根据题中的已知条件和要证明的结论,选择一个恰当的点作为原点，尽可能使各点的坐标简单,从而使后面向量的运算简便,.,(2),证线面垂直时,通常转化为线线垂直,即用向量法证明线线垂直,.,【归纳】用坐标法证明线面垂直时应注意的问题.,利用空间向量证明面面垂直,1.,利用空间向量证明面面垂直的方法,(1),利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题；,(2),直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直,.,利用空间向量证明面面垂直,2.,向量法证明面面垂直的优越性,主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式化”,.,2.向量法证明面面垂直的优越性,【典例训练】,1.,在四棱锥,P-ABCD,中,已知,PA,平面,ABCD,PBA=60,底面,ABCD,是直角梯形,ABC=,BAD=90,AB=,求证,:,平面,PCD,平面,PAC.,【典例训练】,2.,如图,在六面体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,四边形,ABCD,是边长为,2,的正方形,四,边形,A,1,B,1,C,1,D,1,是边长为,1,的正方形,DD,1,平面,A,1,B,1,C,1,D,1,DD,1,平面,ABCD,DD,1,=2.,求证,:,平面,A,1,ACC,1,平面,B,1,BDD,1,.,2.如图,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,【证明】,1.,建系,如图所示，建立空间直角坐标系，设AB=l，,则A(O，O，O)，C(1，1，O)，D(O，2，O)，,求法向量,设平面,PCD,的法向量,n,=(x,，,y,，,z),，则,令,x=1,，则,y=1,，,即 同理得平面,PAC,的一个法向量为,m=(1,，,1,，,0).,【证明】1.建系如图所示，建立空间直角坐标系，设AB=l，求,证垂直,则,所以,mn,，故平面,PCD,平面,P