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,4.6,正弦定理和余弦定理,1,正弦定理：,在,一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,即,2,余弦定理：,三,角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即,a,2,b,2,c,2,2,bc,cos,A,；,b,2,a,2,c,2,2,ac,cos,B,；,c,2,a,2,b,2,2,ab,cos,C,.,3,三角形中的射影定理：,在,ABC,中，,a,b,cos,C,c,cos,B,；,b,a,cos,C,c,cos,A,；,c,a,cos,B,b,cos,A,.,4,三内角与三角函数值的关系,在,ABC,中,sin(,A,B,),sin,C,；,cos(,A,B,),cos,C,；,tan(,A,B,),tan,C,；,sin,cos,；,1,在,三角形,ABC,中，,A,120,，,AB,5,，,BC,7,，则 的值为,(,),A.B.C.D.,解析：,本,题考查正、余弦定理应用；由余弦定理,BC,2,AB,2,AC,2,2,AB,AC,cos,A,得：,7,2,5,2,AC,2,2,5,AC,cos 120,AC,3,，由正弦定理可知,答案：,D,2,在,ABC,中，,AB,3,，,BC,，,AC,4,，则边,AC,上的高为,(,),A.B.,C.,D,解析：,由,余弦定理可得：,cos,A,sin,A,，则,AC,边上的高,h,AB,sin,A,故选,B,项,答案：,B,3,若,A,、,B,、,C,是,ABC,的三个内角，且,A,B,C,(,C,),，,则下列结论中正确的是,(,),A,sin,A,sin,C,B,cos,A,cos,C,C,tan,A,tan,C,D,cot,A,cot,C,解析：,解,法一：因为,A,C,，在,ABC,中，大角对大边,因此,c,a,，即,2,R,sin,C,2,R,sin,A,所以,sin,C,sin,A,选,A,项,解法二：,当,ABC,为锐角三角形时，由于余弦和余切在,(0,，,),内单调递减，故可排除,B,、,D,两项；当,ABC,为钝角三角形时可排除,C,项，故选,A,项,答案：,A,4,(2009,广东卷,),已,知,ABC,中，,A,，,B,，,C,的对边分别为,a,，,b,，,c,.,若,a,c,，且,A,75,，则,b,(,),A,2 B,4,2 C,4,2 D.,解析：,a,c,，,A,75,，,B,30,，,b,2,a,2,c,2,2,ac,cos 30,4.,b,2.,答案：,A,1.,已,知三角形中的两角一边，可使用正弦定理解三角形；,2,已知三角形的两边及其一边对角，可利用正弦定理解三角形,(,也可考虑使用余弦定理,),；,3,已知三角形的三边或已知三角形的两边及其夹角，,使用余弦定理解三角形,【例,1,】,在,ABC,中，若,B,30,，,AB,，,AC,2,，求,ABC,的面积,S,.,解答：如右图，,B=30,，,AB=,，,AC=2,，根据正弦定理,即,，,sin C=.,又,0,C,180,，,C=60,或,C=120,.,当,C,60,时，,ABC,为直角三角形，,S,当,C,120,时，,A,30,，,S,变式,1.,在,ABC,中，若,A,120,，,AB,5,，,BC,7,，,则,ABC,的面积,S,_.,解析：,如,图，设,AC,x,，根据余弦定理，,BC,2,AB,2,AC,2,2,AB,AC,cos,A,，,即,49,25,x,2,5,x,，整理得：,解得,x,3,，或,x,8(,舍去,),，,S,AB,AC,sin,A,答案,：,三角形一般由三个条件确定,，比如已知三边,a,，,b,，,c,，或两边,a,，,b,及夹角,C,，可以将,a,，,b,，,c,或,a,，,b,，,C,做为解三角形的基本要素，根据已知条件，通过正弦定理、余弦定理、面积公式等利用解方程组等手段进行求解，必要时可考虑作辅助线，将所给条件置于同一三角形中,【例,2,】,在,ABC,中，已知,AB,，,cos,B,，,AC,边上的中线,BD,求,sin,A,的值,解答：,如图,，取,AB,中点,E,，连结,DE,，在,BDE,中，,BE,，,BD,，又,cos,DEB,cos,B,设,DE,x,，根据余弦定理得，,BD,2,BE,2,DE,2,2,DE,BE,cos,DEB,，,即,5,.,整理得：,3,x,2,4,x,7,0,，即,(3,x,7)(,x,1),0,，解得,x,1.,在,DEA,中，,cos,DEA,，,EA,，,DE,1,，,DA,2,DE,2,EA,2,2,DE,EA,cos,DEA,.,DA,.,又,sin,DEA,，,根据正弦定理 ，,sin,A,.,变式,2.,在,ABC,中，,tan,A,，,tan,B,.,(1),求角,C,的大小；,(2),若,ABC,最大边的边长为 ，求最小边的边长,解答：,(1),C,(,A,B,),，,tan,C,tan(,A,B,),1.,又,0,C,，,C,.,(2),C,，,AB,边,最大，即,AB,又,tan,A,tan,B,，,A,、,B,(0,，,),，,角,A,最小，,BC,边为最小边,由且,A,(0,，,),，得,sin,A,.,由 得,BC,.,最小边,BC,.,1.,根,据所给条件确定三角形的形状：可通过正弦定理、余弦定理进行边角转化，其具体途径是都转化为角，利用三角函数变换确定三角形形状，也可统一转化为边，利用代数式的变形，判断三角形的形状,2,三角形中的三角函数恒等变换,【例,3,】,在,ABC,中，角,A,、,B,、,C,所对的边分别为,a,、,b,、,c,，且,cos,A,.,(1),求,sin,2,cos,2,A,的值；,(2),若,a,，求,bc,的最大值,解答：,(1)sin,2,cos,2,A,1,cos(,B,C,),(2cos,2,A,1),(1,cos,A,),(2cos,2,A,1),(2),，,bc,b,2,c,2,a,2,2,bc,a,2,，,bc,a,2,，,又,a,，,bc,.,当,且仅当,b,c,时，,bc,，故,bc,的最大值是,.,变式,3.,在,ABC,中，,a,、,b,、,c,分别为角,A,、,B,、,C,的对边，,(1),求,A,的度数；,(2),若,a,，,b,c,3,，求,b,、,c,的值,解答：,(1),B,C,A,，,即,，由,得,，即,2(1,cos,A,),(2cos,2,A,1),，,整理得,4cos,2,A,4cos,A,1,0,，即,(2cos,A,1),2,0.,cos,A,，又,0,A,180,，,A,60.,(2),由,A,60,，根据余弦定理,cos,A,，即,b,2,c,2,bc,3,，,又,b,c,3,，,b,2,c,2,2,bc,9.,整理得：,bc,2.,解,联立方程组得或,【,方法规律,】,1,正,弦定理、余弦定理和三角形的面积公式三个命题互为等价命题,2,在解三角形时，其三边可视为确定三角形的基本量，可将有关角的条件转化为边，通过解方程组进行求解；也可考虑将有关边的条件化为角解决三角函数问题,3,可利用正弦定理求三角形外接圆的半径；可利用面积求三角形的高线和三角形的内切圆半径等,4,在解三角形时，有可能需要作辅助线，如例,2,等,.,(2009,海南,),(,本小题满分,12,分,),为,了测量两山顶,M,，,N,间的距离，飞机沿水平方向,A,，,B,两点进行测量,A,，,B,，,M,，,N,在同一个铅垂平面内,(,如示意图,),飞机能够测量的数据有俯角和,A,，,B,间的距离请设计一个方案，包括：,指出需要测量的数据,(,用字母表示，并在图中标出,),；,用文字和公式写出计算,M,，,N,间的距离的步骤,【,答题模板,】,解答：,解,法一：,需要测量的数据有：,A,点到,M,，,N,点的俯角,1,，,1,，,B,点到,M,，,N,的俯角,2,，,2,；,A,，,B,间的距离,d,(,如图所示,),第一步：计算,AM,.,由正弦定理得,AM,第二步：计算,AN,.,由正弦定理得,AN,第三步：计算,MN,.,由余弦定理得,MN,.,解法二：,需,要测量的数据有：,A,点到,M,，,N,点的俯角,1,，,1,；,B,点到,M,，,N,点的俯角,2,，,2,；,A,，,B,间的距离,d,(,如图所示,),第一步：计算,BM,.,由正弦定理得,BM,第二步：计算,BN,.,由正弦定理得,BN,第三步：计算,MN,.,由余弦定理得,MN,.,【,分析点评,】,点击此处进入 作业手册,本题考查利用正弦定理、余弦定理解斜三角形的知识；本题最大的创新是让考生自己组织语言描述解题的步骤，这是一大难点同时考生经历了现实生活中从已知到未知的解题过程，能发挥数学的价值，这最能体现新课标的意图，还能有效考查考生的能力其中距离只能得到飞机的飞行距离,(,其他的距离得不到,),，几个俯角容易得到，下面只是选择哪个定理的问题了,.,
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