大学物理质点运动学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第一章 运动的描述,1-1 参考系 坐标系 物理模型,1-2 运动的描述,1-3 相对运动,首 页,上 页,下 页,退 出,1,1.1.1 运动的绝对性和相对性,1-1 参考系 坐标系 物理模型,世界上万物都处在不停地运动中，大到日、月、星体，小到各种微观粒子（分子、原子、质子、电子），没有不运动的物质，也没有物质不运动，所以物质运动是绝对的。,物体运动的绝对性，对运动描述的相对性。,2,运动描述的相对性：,即选不同的参考系，运动的描述是不同的。,V,例如，在匀速直线运动的火车上所作的自由落体运动，,火车上的观察者：物体作匀变速直线运动；,地面上的观察者：物体作平抛运动。,描述物体运动时被选作参考（标准）的物体或物体群称为参考系。,1.1.2,参考系,3,1.1.3 坐标系,为定量地描述物体位置而引入。,常用的有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、球面坐标系或柱面坐标系等。,(1)运动学中参考系可任选。,(2)参照物选定后，坐标系可任选。,(3)常用坐标系,直角坐标系（,x,y,z,）球坐标系（,r,）,柱坐标系（,z,）自然坐标系(,s,),极坐标系,（,r,）,4,1.1.4 物理模型,对真实的物理过程和对象，根据所讨论的问题的基本要求对其进行理想化的简化，抽象为可以用数学方法描述的理想模型。,*关于物理模型的提出,（）明确所提问题；,（）突出主要因素，提出理想模型；,“理想模型”是对所考察的问题来说的，不具有绝对意义。,（）分析各种因素在所提问题中的主次；,（）实验验证。,5,1、理想质点模型,选用质点模型的前提条件是：,物体自身线度,l,与所研究的物体运动的空间范围,r,相比可以忽略；,两个条件中，具一即可。,或者物体只作平动。,*,质点力学是基础,如,N,个沙粒组成的物质系统 质点系,方法,：一个沙粒一个沙粒地解决,如果是质量连续体,方法,：,切割无限多个质量元,一个质量元一个质量元地解决,6,2、理想刚体模型,刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。,当物体自身线度,l,与所研究的物体运动的空间范围,r,比不可以忽略；物体又不作平动时，即必须考虑物体的空间方位，我们可以引入刚体模型。,刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布的质点系。,7,1)位置坐标,1-2 运动的描述,1,、,位置矢量,质点P在直角坐标系中的位置可由P所在点的三个坐标（x，y，z）来确定,位矢、位移、速度和加速度在直角坐标系中的表示式,参照系,r,Y,Z,X,o,P(x,y,z),8,2)位置矢量,r,其在直角坐标系中为,由坐标原点引向考察点的矢量，简称位矢。,r,的方向余弦是,9,3）运动方程和轨道方程,表示为：,或,运动方程是时间t的显函数。,a、质点在运动过程中，空间位置随时间变化的函数式称为运动方程。,b、质点在空间所经过的路径称为轨道（轨迹）。,从上式中消去t即可得到轨道方程。,轨道方程不是时间t显函数。,10,2、位移和路程,1）位移,a、定义,：由起始位置指向终了位置的有向线段；,t 时间内位置矢量的增量,位移的模 与矢量模的增量 不是同一个量,11,b、位移在直角坐标系中的表示式,2）路程S,位移和路程的比较与联系,联系：在t 0时，,t 时间内质点在空间实际运行的路径。,不同处：,只与始末位置有关；,S与轨道形状和往返次数有关；,因此，一般情况下,是矢量，,S是,标量；,但仍是,12,3、速 度,1）平均速度与平均速率,读成t时刻附近t时间内的平均速度（或速率）,描述质点位置变化和方向变化快慢的物理量,13,2）瞬时速度与瞬时速率,在一般情况下,在直角坐标系中,是轨道切线方向上的单位矢。,可见速度是位矢对时间的变化率。,可见速率是速度的模。,可见速率是路程对时间的变化率。,14,在直角坐标系中的表示式,3）,15,4、加速度,描述质点速度大小和方向变化快慢的物理量,为描述机械运动的状态参量,称为机械运动状态的变化率,1）平均加速度与瞬时加速度,A,o,B,v,r,D,16,2）加速度在直角坐标系中,17,例1.1如图1.5，一人用绳子拉着小车前进，小车位于高出绳端,h,的平台上，人的速率,v,0,不变，求小车的速度和加速度大小.,解,小车沿直线运动，以小车前进方向为,x,轴正方向，以滑轮为坐标原点，小车的坐标为,x,，人的坐标为,s,，由速度的定义，小车和人的速度大小应为,由于定滑轮不改变绳长，所以小车坐标的变化率等于拉小车的绳长的变化率，即,图1.5,18,又由图1.5可以看出有 ，,或,同理可得小车的加速度大小为,两边对,t,求导得,19,1、已知运动方程，求速度、加速度(用求导法,),2、已知加速度(速度)，初始条件，求速度(运动程)(用积分的方法),设初始条件为：,t=0,时，,，,1.2.3 运动学中的两类问题,20,x,=3,t,，,y,=-4,t,2,解将运动方程写成分量式,消去参变量,t,，得轨道方程：,4,x,2,9,y,0，这是顶点在原点的抛物线.见图1.15.,由速度定义得,其模为 ，与,x,轴的夹角,图1.15,例1.4已知一质点的运动方程为，式中,r,以m计，,t,以s计，求质点运动的轨道、速度、加速度.,21,由加速度的定义得,即加速度的方向沿,y,轴负方向，大小为,22,解,已知,求,和运动方程。,代入初始条件,代入初始条件,例,t,=0 时，,积分初始值（下限）由初始条件确定,等式两边积分变量的积分限一一对应,得运动方程为,得,由,23,1.2.2 曲线运动的描述,1）物体作抛体运动的运动学条件：,2）重力场中抛体运动的描述,(1)速度公式,(2)坐标公式,1、平面曲线运动的直角坐标系描述以抛体运动为例,X,Y,24,(3)几个重要问题,(i)射高:,将t,H,代入坐标公式y中 得,（或看成竖直上抛）,(ii)射程：,飞行总时间,代入坐标公式x中 得,讨论：,当 时，射程最大,当 时，有最大射高,25,）自然坐标系,坐标架单位矢,：,方向通常指向前进方向，,方向指向曲线凹侧,2、曲线运动的自然坐标系描述,质点作曲线运动，将质点运动的轨迹曲线作为一维坐标的轴线自然坐标。,26,2）切向加速度和法向加速度,P,1,P,2,A,B,C,27,a、,法向加速度,b、,切向加速度,描述的是速度大小的变化,描述的是速度方向的变化,28,注意 的区别,引入曲率、曲率半径,将 向不同的坐标轴中投影,29,例1.2以速度,v,0,平抛一小球，不计空气阻力，求,t,时刻小球的切向加速度量值,a,、法向加速度量值,a,n,和轨道的曲率半径,.,解：由图可知,30,3、圆周运动,位矢,速度,加速度,匀速率圆周运动：,元位移,1）圆周运动的线量描述,31,2）圆周运动的角量描述,角位置,角位移,角速度,角加速度,（1）基本知识,32,（2）匀角加速圆周运动,请与匀速率圆周运动区别。,当我们用平面极坐标描述圆周运动时，只有一个变量，故其可与匀变速直线运动类比。,匀变速直线运动,匀角加速圆周运动,33,3）线量与角量的关系,同一种运动的两种描述方法，二者必有联系。,角速度矢量的方向：,由右手螺旋法规确定。,角速度矢量与线速度的关系。,0,r,v,34,例1.3一飞轮以转速,n,1 500转每分(rev/min)转动，受制动后而均匀地减速，经,t,50 s后静止.(1)求角加速度,和从制动开始到静止飞轮的转数,N,；(2)求制动开始后,t,25 s时飞轮的角速度,；(3)设飞轮的半径,R,1 m，求,t,25 s时飞轮边缘上任一点的速度和加速度.,解(1)由题知 ，当,t,50 s时,0，故由式(1.26)可得：,从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数分别为：,35,(2),t,25 s时飞轮的角速度为：,(3),t,25 s时飞轮边缘上任一点的速度为,相应的切向加速度和向心加速度为：,36,解由速率定义，有,例1.5一质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长,s,按,s,t,2,的规律变化.问它在2 s末的速率、切向加速度、法向加速度各是多少？,将,t,2代入，得2 s末的速率为,其法向加速度为,由切向加速度的定义，得,37,解：,因为,例1.6一飞轮半径为2 m，其角量运动方程为,23,t,4,(SI)，求距轴心1 m处的点在2 s末的速率和切向加速度.,将,t,2 代入，得2 s末的角速度为,2 s末的角加速度为,在距轴心1 m处的速率为,v,R,45 m/s,切向加速度为,38,1-3 相对运动,引出：运动是绝对的，运动的描述具有相对性。,以车站为参照系,以汽车为参照系,车站,车站,39,一、运动参照系，静止参照系,、“静止参照系”、“运动参照系”都是相对的。,对于一个处于运动参照系中的物体，相对于静止参照系的运动称为,绝对运动;,相对于观察者为静止的,参照系,称为,静止参照系。,相对于观察者为运动的,参照系,称为,运动参照系。,X,运动参照系相对于静止参照系的运动称为,牵连运动;,物体相对于运动参照系的运动称为,相对运动。,40,X,Y,O,S,X,/,Y,/,O,/,S,/,v,0,P,二、参照系彼此之间有相对运动（非相对论效应）,设,系相对系以速度v,运动，P为S,/,系中的一个质点，,在牛顿的时、空观中,即绝对位矢=牵连位矢+相对位矢,P对于O点的位矢为绝对位矢,O,/,对于O点的位矢为牵连位矢,P对于O,/,点的位矢为相对位矢,41,绝对速度v,绝,，牵连速度v,牵,，相对速度v,相,，且有,将上式再对t求导，即可得绝对加速度，牵连加速度，相加对速度,之间的关系,将 两边对t求导，即得,两点说明：,上述各式均只在vc时成立；,上述结论只适用于两参考系间不存在转动的情况。,42,三、同一参照系内，质点系各质点之间的相对运动,两质点间的相对位矢，即B对A的位矢为,B对A的相对速度,B对A的相对加速度,若一质点系同在某一基本参考系内运动，如果我们讨论的是质点系内各质点间的相对运动，则有时运用下面的方法要方便些。,设A、B为质点系内的两个质点，它们同在,OXYZ,系内运动，,r,A,、r,B,为对,O,点的位矢，则,43,后一种描述相对运动的方法可以统一到前一种方法中。例如，将A质点看成S,/,系，则,r,A,为牵连位矢，,r,BA,为相对位矢，则,r,B,为绝对位矢，于是有,44,(船换向时间忽略不计).,例1.9如图1.18(a)所示，河宽为,L,，河水以恒定速度,u,流动，岸边有,A,，,B,码头，,A,，,B,连线与岸边垂直，码头,A,处有船相对于水以恒定速率,开动，证明：船在,A,，,B,两码头间往返一次所需时间为,解设船相对于岸边的速度(绝对速度)为,v,，由题知，,v,的方向必须指向,A,，,B,连线，此时河水流速,u,为牵连速度，船对水的速度,为相对速度，于是有,据此作出矢量图，如图1.18(b)，由图知,图1.18,45,可证当船由,B,返回,A,时，船对岸的速度的模亦由上式给出.因为在,AB,两码头往返一次的路程为2,L,，故所需时间为,讨论：,(1)若,u,0，即河水静止，则 ，这是显然的.,(2)若,u,，即河水流速,u,等于船对水的速率 ，则,t,，即船由码头,A,(或,B,)出发后就永远不能再回到原出发点了.,(3)若,u,，则,t,为一虚数，这是没有物理意义的，即船不能在,A,，,B,间往返.,综合上述讨论可知，船在,A,，,B,间往返的必要条件是,46,例1.10如图1.19(a)所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为,，下落雨滴的速度方向与铅直方向成,角，偏向于汽车前进方向，速率为,，车后有一长方形物体,A,(尺寸如图所示)，问车速,多大时，此物体刚好不会被雨水淋湿.,解因为