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单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学课件,*,常系数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八节,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第十二章,11/13/2024,高等数学课件,常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结,1,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的,特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(,r,为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为,特征根,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得,2,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(,u,(,x,),待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取,u=x,则得,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另,3,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,3.当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:,4,小结:,特征方程:,实根,特 征 根,通 解,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,小结:特征方程:实根 特 征 根通,5,若特征方程含,k,重复根,若特征方程含,k,重实根,r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则,6,例1.,的通解.,解:,特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.,求解初值问题,解:,特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,例1.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2,7,例3.,解:,由第七节例1,(P293),知,位移满足,质量为,m,的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设,t,=0 时物体的位置为,取其平衡位置为原点建,因此定解问题为,自由振动方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,例3.解:由第七节例1(P293)知,位移满足质量为m,8,方程:,特征方程:,特征根:,利用初始条件得:,故所求特解:,方程通解:,1)无阻尼自由振动情况 (,n,=0,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解,9,解的特征:,简谐振动,A,:振幅,:初相,周期:,固有频率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,仅由系统特性确定),11/13/2024,高等数学课件,解的特征:简谐振动 A:振幅,:初相,周期:固有,10,方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼:,n,k,临界阻尼:,n,=,k,解的特征,解的特征,解的特征,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,方程:特征方程:特征根:小阻尼:n k这时需分如下三,11,(,n,k,),小阻尼自由振动解的特征:,由初始条件确定任意常数后变形,运动周期:,振幅:,衰减很快,随时间,t,的增大物体,趋于平衡位置.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,(n,k,),大阻尼解的特征:,1)无振荡现象;,此图参数:,2)对任何初始条件,即随时间,t,的增大物体总趋于平衡位置.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,(n k)大阻尼解的特征:1)无振荡现象;,13,(,n,=,k,),临界阻尼解的特征:,任意常数由初始条件定,最多只与,t,轴交于一点;,即随时间,t,的增大物体总趋于平衡位置.,2)无振荡现象;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,(n=k)临界阻尼解的特征:任意常数由初始条件,14,例4.,的通解.,解:,特征方程,特征根:,因此原方程通解为,例5.,解:,特征方程:,特征根:,原方程通解:,(不难看出,原方程有特解,推广 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5,15,例6.,解:,特征方程:,即,其根为,方程通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,例6.解:特征方程:即其根为方程通解:机动 目录,16,例7.,解:,特征方程:,特征根为,则方程通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,例7.解:特征方程:特征根为则方程通解:机动 目录,17,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为,18,思考与练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,作业,P310 1,(3),(6),(10),;,2,(2),(3),(6);,3,第九节 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,思考与练习 求方程的通解.答案:通解为通解为通解为作,19,备用题,为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.,解:,根据给定的特解知特征方程有根:,因此特征方程为,即,故所求方程为,其通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/13/2024,高等数学课件,备用题为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.,20,
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