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,-,#,-,5.2.3,简单复合函数的导数,课前篇自主预习,课堂篇探究学习,5.2.3,简单复合函数的导数,5.2.3简单复合函数的导数,新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5,激趣诱思,知识点拨,我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算得到新的函数,还有一种构造新函数的方法,那就是把两个或几个函数,“,复合,”,起来,怎样,“,复合,”,呢,复合后的函数怎样求导呢,?,本节课就让我们来解决这些问题,.,激趣诱思知识点拨我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数,激趣诱思,知识点拨,1,.,复合函数的概念,一般地,对于两个函数,y=f,(,u,),和,u=g,(,x,),如果通过中间变量,u,y,可以表示成,x,的函数,那么称这个函数为函数,y=f,(,u,),和,u=g,(,x,),的复合函数,记作,y=f,(,g,(,x,),.,2,.,复合函数的求导法则,一般地,对于由函数,y=f,(,u,),和,u=g,(,x,),复合而成的函数,y=f,(,g,(,x,),它的导数与函数,y=f,(,u,),u=g,(,x,),的导数间的关系为,y,x,=,y,u,u,x,即,y,对,x,的导数等于,y,对,u,的导数与,u,对,x,的导数的乘积,.,激趣诱思知识点拨1.复合函数的概念,激趣诱思,知识点拨,名师点析,求复合函数的导数需处理好以下环节,:,(1),中间变量的选择应是基本函数结构,;,(2),关键是正确分析函数的复合层次,;,(3),一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导,;,(4),善于把一部分表达式作为一个整体,;,(5),最后要把中间变量换成关于自变量的函数,.,激趣诱思知识点拨名师点析求复合函数的导数需处理好以下环节:,激趣诱思,知识点拨,微思考,函数,y=,log,2,(,x+,1),是复合函数吗,?,是由哪些函数复合而成的,?,提示,:,是,函数,y=,log,2,(,x+,1),是由,y=,log,2,u,及,u=x+,1,这两个函数复合而成的,.,微练习,(1),函数,y=,sin 4,x,的导数为,;,(2),函数,y,=,的,导数为,.,激趣诱思知识点拨微思考微练习,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,求复合函数的导数,例,1,求下列函数的导数,:,分析,:,先分析每个复合函数的构成,再按照复合函数的求导法则进行求导,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测求复合函数的导数分析:先,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,解,:,(1),设,y=u,2,u=,4,-,3,x,则,y,u,=,2,u,u,x,=-,3,于是,y,x,=y,u,u,x,=-,6(4,-,3,x,),=,18,x-,24,即,y=,18,x-,24,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)设y=u2,u=,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,反思感悟,1,.,解答此类问题常犯两个错误,:,(1),不能正确区分所给函数是否为复合函数,;,(2),若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成,.,2,.,复合函数求导的步骤,:,探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟1.解答此类问题常,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,变式训练,1,求下列函数的导数,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1求下列函数的导数,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,探究一探究二探究三素养形成当堂检测,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,复合函数求导与导数的运算法则的综合应用,例,2,求下列函数的导数,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测复合函数求导与导数的运算法,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,反思感悟,此类问题出错的主要因素一般有两个,:,一是基本初等函数的导数公式记忆有误,;,二是求导法则掌握不到位,尤其是对于积与商的求导法则中的符号问题出现混淆,导致运算结果出现错误,.,对于复杂函数求导,一般遵循先化简再求导的原则,但要注意化简过程中变换的等价性,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟此类问题出错的主要,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,变式训练,2,求下列函数的导数,:,(1),y=,(2,x-,1),3,;(2),y=,sin 2,x+,cos 2,x,;(3),y=,ln,2,x.,解,:,(1),设,y=u,3,u=,2,x-,1,则,y,u,=,3,u,2,u,x,=,2,于是,y,x,=y,u,u,x,=,6(2,x-,1),2,即,y=,6(2,x-,1),2,;,(2),y=,(sin,2,x,),+,(cos,2,x,),=,2cos,2,x-,2sin,2,x,;,探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2求下列函数的导数,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,导数运算法则的综合应用,例,3,(1),曲线,y=,ln(2,x-,1),上的点到直线,2,x-y+,3,=,0,的最短距离是,(,),(2),设曲线,y=,e,ax,在点,(0,1),处的切线与直线,x+,2,y+,1,=,0,垂直,则,a=,.,求,P,(,x,0,y,0,),由点到直线的距离求最小值,(2),求,y,由,y|,x=,0,=,2,求,a,的值,探究一探究二探究三素养形成当堂检测导数运算法则的综合应用(2,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,解析,:,(1),设曲线,y=,ln(2,x-,1),在点,(,x,0,y,0,),处的切线与直线,2,x-y+,3,=,0,平行,.,(2),令,y=f,(,x,),则曲线,y=,e,ax,在点,(0,1),处的切线的斜率为,f,(0),又切线与直线,x+,2,y+,1,=,0,垂直,所以,f,(0),=,2,.,因为,f,(,x,),=,e,ax,所以,f,(,x,),=,(e,ax,),=,e,ax,(,ax,),=a,e,ax,所以,f,(0),=a,e,0,=a,故,a=,2,.,答案,:,(1)A,(,2)2,探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)设曲线y=ln,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,反思感悟,导数综合应用的解题策略,本题正确地求出复合函数的导数是前提,审题时注意所给点是否是切点,挖掘题目隐含条件,求出参数,解决已知经过一定点的切线问题,寻求切点是解决问题的关键,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟导数综合应用的解题,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,延伸探究,1,本例,(1),的条件变为,“,曲线,y=,ln(2,x-,1),上的点到直线,2,x-y+m=,0,的最小距离为,2 ”,求,m,的值,.,即实数,m,的值为,8,或,-,12,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究1本例(1)的条件,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,延伸探究,2,求本例,(2),中曲线的切线与坐标轴围成的面积,.,解,:,由题意可知,切线方程为,y-,1,=,2,x,即,2,x-y+,1,=,0,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究2求本例(2)中曲,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,等价转化思想在导数几何意义中的应用,典例,已知点,P,是曲线,y=f,(,x,),=x,2,-,ln,x,上任意一点,求点,P,到直线,y=x-,2,的距离的最小值,.,审题视角,所求点,P,应为与直线,y=x-,2,平行的曲线,y=x,2,-,ln,x,的切线的切点,此时最小距离应为该切线与已知直线之间的距离,即切点到已知直线的距离,从而转化为求曲线,y=x,2,-,ln,x,的斜率等于,1,的切线的切点坐标问题,故可借助导数的几何意义进行求解,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测等价转化思想在导数几何意义,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,解,:,由已知,可得当点,P,是曲线,y=f,(,x,),的平行于直线,y=x-,2,的切线的切点时,点,P,到直线,y=x-,2,的距离最小,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:由已知,可得当点P是曲,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,方法点睛,这类,“,求某曲线上任意一点到某已知直线的最小距离,”,问题,可结合图形,利用等价转化思想,将问题转化为求曲线的平行于已知直线的切线的切点问题,从而借助导数的几何意义进行求解,.,其基本步骤与方法如下,:,(1),根据切线与已知直线平行,它们的斜率相等,得到切线的斜率,.,(2),根据导数的几何意义,由切线的斜率得到切点的横坐标,.,(3),由切点在曲线上,求得切点的纵坐标,得到切点的坐标,.,(4),利用点到直线的距离公式求得最小距离,.,探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛这类“求某曲线上任,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,变式训练,点,P,是曲线,y=-x,2,上任意一点,则点,P,到直线,y=x+,2,的最小距离为,(,),解析,:,依题意知,点,P,就是曲线,y=-x,2,上与直线,y=x+,2,平行的切线的切点,.,设点,P,坐标为,(,x,0,y,0,),因为,y=-,2,x,所以曲线在点,P,处的切线的斜率为,k=-,2,x,0,.,因为该切线与直线,y=x+,2,平行,所以有,-,2,x,0,=,1,得,答案,:,B,探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练点P是曲线y=-x,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,1,.,函数,y=,(,x,2,-,1),n,的复合过程正确的是,(,),A,.y=u,n,u=x,2,-,1,B,.y=,(,u-,1),n,u=x,2,C,.y=t,n,t=,(,x,2,-,1),n,D,.y=,(,t-,1),n,t=x,2,-,1,答案,:,A,探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.函数y=(x2-1)n,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,2,.,(2020,黑龙江大庆实验中学高二期末,),已知,f,(,x,),=,sin 2,x+,e,2,x,则,f,(,x,),=,(,),A.2cos 2,x+,2e,2,x,B.cos 2,x+,e,2,x,C.2sin 2,x+,2e,2,x,D.sin 2,x+,e,2,x,解析,:,因为,f,(,x,),=,sin,2,x+,e,2,x,所以,f,(,x,),=,2cos,2,x+,2e,2,x,.,故选,A,.,答案,:,A,探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.(2020黑龙江大庆实,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,3,.,(2020,福建高二期末,),已知,f,(,x,),=,ln(2,x+,1),-ax,且,f,(2),=-,1,则,a=,(,),答案,:,A,探究一探究二探究三素养形成当堂检测3.(2020福建高二期末,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,探究一探究二探究三素养形成当堂检测,
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