变化率与导数课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,a,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,a,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,a,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,a,*,人民教育出版社 高中数学,1.1,变化率与导数,1,a,人民教育出版社 高中数学 1.1 变化率与导数,微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。,微积分简介,2,a,微积分（Calculus）是高等数学中研究函,到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。,微积分的创立,3,a,到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问,十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。,微积分的创立,4,a,十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学,十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。,微积分的创立,5,a,十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿,牛顿,莱布尼茨,6,a,牛顿莱布尼茨6a,牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中,分析学,这一大分支名称的来源。,微积分的创立,牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。,7,a,牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因,人民教育出版社 高中数学,1.1,变化率与导数,8,a,人民教育出版社 高中数学 1.1 变化率与导数,1,、变化率问题,9,a,1、变化率问题 9a,问题一：气球膨胀率,很多人都吹过气球，可以发现，随着气球空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。从数学的角度，如何解释这个现象呢？,空气容量从,0,增加到,1,时，气球的平均膨胀率为：,空气容量从,1,增加到,2,时，气球的平均膨胀率为：,气球的平均膨胀率减小了，所以我们感觉气球变大得越来越慢。,10,a,问题一：气球膨胀率 很多人都吹过气球，可以发现，,思考：,空气容量从,V,1,增加到,V,2,时，气球的平均膨胀率是多少,?,11,a,思考：11a,问题二：高台跳水,在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度,h(,单位：,m),与起跳后的时间,t(,单位：,s),存在函数关系,如果用运动员在某段时间内的平均速度,描述其运动状态，那么：,(1),在,0,t0.5,这段时间里，,(2),在,1,t2,这段时间里，,12,a,问题二：高台跳水 在高台跳水运动中，运动员相对于,探究,计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：,(1),运动员在这段时间是静止的吗？,(2),你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？,答：（,1,）,（,2,）平均速度不能准确反映该段时间的运动状态,.,13,a,探究 计算运动员在 这,平均变化率的定义,式子 称为函数,f(x),从,x,1,到,x,2,的平均变化率,.,若设,则平均变化率为,这里，我们称,x,是相对于,x,1,的一个,增量,（也叫做,自变量的增量,），可用,x,1,+x,代替,x,2,，同理,y,叫做,函数值的增量,，可用,y,1,+y,代替,y,2,注意：,x,（,y,）是一个整体,可正可负！,14,a,平均变化率的定义 式子 称,于是，函数,f(x),从,x,1,到,x,2,的平均变化率等于,函数值的增量,/,自变量的增量,，即,15,a,于是，函数f(x)从x1到x2的平均变化率等于函数值,思考,根据平均变化率的定义：,你认为其几何意义是什么？,平均变化率表示直线,AB,的斜率,16,a,思考根据平均变化率的定义：平均变化率表示直线AB的斜率16a,例题讲解,例,1,已知函数,f(x)=x,2,分别计算在下列区间上，,f(x),的平均变化率,.,（,1,）,1,3,；（,2,）,1,2,；（,3,）,1,1.1,17,a,例题讲解例1 已知函数f(x)=x2,分别计算在下列区间,例题讲解,例,2,求函数,y=5x,2,+6,在区间,2,，,2+,x,上的平均变化率,.,步骤：,18,a,例题讲解例2 求函数 y=5x2+6在区间2，2+x,例题讲解,例,2,求函数,y=5x,2,+6,在区间,2,，,2+,x,上的平均变化率,.,所以平均变化率为,不能写成,x,2,19,a,例题讲解例2 求函数 y=5x2+6在区间2，2+x,课堂练习,1,、一质点运动的方程为,s=1-2t,2,则在一段时间,1,2,内的平均速度为（）,A.-4 B.-8 C.-6 D.6,2.,设函数,y=f(x),当自变量,x,由,x,0,改变到,x,0,+x,时，函数的该变量为（）,A.f(x,0,+x)B.f(x,0,)+x,C.f(x,0,)x D.f(x,0,+,x,)-f(x,0,),C,D,20,a,课堂练习1、一质点运动的方程为 s=1-2t2,则在一段时间,瞬时速度,：物体在,某一时刻,的速度,2,、瞬时变化率,在高台跳水中，函数关系是,h=-4.9t,2,+6.5t+10,如何求,t=2,时的瞬时速度？,计算函数在,2,2+,t,内的平均速度,21,a,瞬时速度：物体在某一时刻的速度2、瞬时变化率 在高台,2,、瞬时变化率,瞬时速度：,思考：,（,1,）如何求瞬时速度？,先求平均速度，再取极限,（,2,）,lim,是什么意思？,在其下方的条件下，求后边的极限,（,3,）如何求运动员在某一时刻,t,0,时的瞬时速度？,22,a,2、瞬时变化率 瞬时速度：思考：（1）如何,思考,1,、函数,f(x),在,x,0,x,0,+x,的平均变化率怎么表示？,2,、函数,f(x),在,x=x,0,处的瞬时变化率怎么表示？,23,a,思考1、函数f(x)在x0,x0+x的平均变化率怎么表,导数的定义,函数,y=f(x),在,x=x,0,处的瞬时变化率是,称为函数,y=f(x),在,x=x,0,处的导数，记作,或,24,a,导数的定义函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数,导数的,几何,意义：函数的瞬时变化率,导数的,物理,意义：物体的瞬时速度,25,a,导数的几何意义：函数的瞬时变化率导数的物理意义：物体的瞬时速,总结提升,1,、,f(x,0,),与,x,0,的值,有关,，不同的,x,0,其导数值一般也不同；,2,、,f(x,0,),的值与,x,的值,无关,；,3,、,瞬时变化率,和,导数,是同一概念的两个名称,.,26,a,总结提升1、f(x0)与x0的值有关，不同的x0,其导数,求函数,y=f(x),在,x=x,0,处的导数的步骤：,（,1,）求函数的增量,（,2,）求平均变化率,（,3,）取极限,一差,二比,三极限,27,a,求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤：（1）求函数的增,例,1.(1),求函数,y=3x,2,在,x=1,处的导数；,(2),求函数,f(x)=-x,2,+x,在,x=-1,附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；,(3),质点运动规律为,s=t,2,+3,求质点,t=3,的瞬时速度。,解：,(1),=6,28,a,例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数；(2)求函数f,例,1.(1),求函数,y=3x,2,在,x=1,处的导数；,(2),求函数,f(x)=-x,2,+x,在,x=-1,附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；,(3),质点运动规律为,s=t,2,+3,求质点,t=3,的瞬时速度。,解：,(2),所以平均变化率为,29,a,例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数；(2)求函数f,例,1.(1),求函数,y=3x,2,在,x=1,处的导数；,(2),求函数,f(x)=-x,2,+x,在,x=-1,附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；,(3),质点运动规律为,s=t,2,+3,求质点,t=3,的瞬时速度。,解：,(3),30,a,例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数；(2)求函数f,例,2,、已知函数 在,x=x,0,处附近有定义，,且 ，求,x,0,的值。,31,a,例2、已知函数 在x=x0处附近有定,例,3,将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,.,如果在第,x h,时,原油的温度为,y=f(x)=x,2,7x+15(0 x8).,计算第,2h,与第,6h,时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义,.,解,:,在第,2h,和第,6h,时,原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,32,a,例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,解,所以,同理可得,在第,2h,和第,6h,时,原油温度的瞬时变化率分别为,3,和,5.,它说明在第,2h,附近,原油温度大约以,3 /h,的速率下降,;,在第,6h,附近,原油温度大约以,5 /h,的速率上升,.,33,a,所以,同理可得 在第2h和第6h时,原油温度的瞬时,练习,(1),求函数,f(x)=1/x,在,x=1,处的导数；,(2),已知函数,f(x)=ax,2,+c,，且,f(1)=2,求,a.,34,a,练习(1)求函数 f(x)=1/x 在x=1处的导数；(2,1.,已知函数,f(x)=-x,2,+x,的图象上的一点,A(-1,-2),及,临近一点,B(-1+x,-2+y),则,=(),A.3 B.3x-(x),2,C.3-(x),2,D.3-x,D,2.,如图，函数,y=f,（,x,）在,A,，,B,两点间的平均变化率是（,）,A.1 B.-1,C.2 D.-2,B,35,a,1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2,2.,求函数的平均变化率的步骤,:,(1),求函数的增量,y=f(x,2,)-f(x,1,),(2),计算平均变化率,1.,函数的平均变化率,36,a,2.求函数的平均变化率的步骤:1.函数的平均变化率36a,3.,求物体运动的瞬时速度：,（,1,）求位移增量,s=s(t+t)-s(t),(2),求平均速度,（,3,）求极限,4.,由导数的定义求,f(x),在,x=x,0,处的导数的一般步骤：,（,1,）求函数的增量,y=f(x,0,+x)-f(x,0,),(2),求平均变化率,（,3,）求极限,37,a,3.求物体运动的瞬时速度：4.由导数的定义求f(x)在x=x,