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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,24.2,直线和圆的位置关系,第,2,课时 切线的判定与性质,24.2 直线和圆的位置关系第2课时 切线的判定与性质,转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？,都是沿切线方向飞出的,.,生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白,.,转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方,A,B,C,问题：,已知圆,O,上一点,A,，怎样根据圆的切线定义过点,A,作圆,O,的切线？,观察,：,（,1,）,圆心,O,到直线,AB,的距离和圆的半径有什么数量关系,?,（,2,）,二者位置有什么关系？为什么？,O,ABC问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的,切线,.,OA,为,O,的,半径,BC,OA,于,A,BC,为,O,的,切线,A,B,C,切线的判定定理,应用格式,O,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OA为O,判一判：,下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？,O,.,A,O,.,A,B,A,O,(1),(2),(3),(1),不是，因为没有垂直,.,(2),(3),不是，因为没有经过半径的外端点,A,.,在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线,.,注意,判一判：下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？O,判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：,1.,定义法：,直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线,;,2.,数量关系法：,圆心到这条直线的距离等于半径,(,即,d,=,r,),时，直线与圆相切；,3.,判定定理：,经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,.,l,A,l,O,l,r,d,判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只,例,1,：,如图,ABC,=45,，,直线,AB,是,O,上的直径，点,A,且,AB=AC,.,求证：,AC,是,O,的切线,.,解析：直线,AC,经过半径的一端，因此只要证,OA,垂直于,AB,即可,.,证明：,AB,=,AC,，,ABC,45,，,ACB,ABC,45.,BAC,=180,-,ABC,-,ACB=,90.,AB,是,O,的直径，,AC,是,O,的切线,.,A,O,C,B,例1：如图,ABC=45，直线AB是O上的直径，点A,例,2,已知：直线,AB,经过,O,上的点,C,，并且,OA,=,OB,，,CA,=,CB,.,求证：直线,AB,是,O,的切线,.,O,B,A,C,分析：由于,AB,过,O,上的点,C,，所以连接,OC,，,只要证明,AB,OC,即可,.,证明,：,连接,OC,(,如图,),.,OA,OB,CA,CB,OC,是等腰三角形,OAB,底边,AB,上的中线,.,AB,OC,.,OC,是,O,的半径,AB,是,O,的切线,.,例2 已知：直线AB经过O上的点C，并且OA=OB，CA=,例,3,如图,ABC,中，,AB,AC,，,O,是,BC,的,中点，,O,与,AB,相切于,E,.,求证：,AC,是,O,的切线,B,O,C,E,A,分析：根据切线的判定定理，要证明,AC,是,O,的切线，只要证明由点,O,向,AC,所作的垂线段,OF,是,O,的半径就可以了,，,而,OE,是,O,的半径,，,因此只需要证明,OF,=,OE,.,F,例3 如图,ABC 中，AB AC，O 是BC的中,证明：,连接,OE,，,OA,过,O,作,OF,AC.,O,与,AB,相切于,E,，,OE,AB.,又,ABC,中,，,AB,AC,，,O,是,BC,的,中点,AO,平分,BAC,，,F,B,O,C,E,A,OE,OF.,OE,是,O,半径,，,OF,OE,，,OF,AC.,AC,是,O,的切线,又,OE,AB,，,OF,AC.,证明：连接OE，OA,过O 作OF AC.O 与A,如图，已知直线,AB,经过,O,上的点,C,，,并且,OA,OB,，,CA,CB,求证：直线,AB,是,O,的切线,.,C,B,A,O,如图，,OA,OB=5,，,AB,8,O,的直径为,6.,求证：直线,AB,是,O,的切线,.,C,B,A,O,对比思考,？,作垂直,连接,如图，已知直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CAC,(1),有交点，,连半径,证垂直,;,(2),无交点，,作垂直,证半径,.,证切线时辅助线的添加方法,例,1,例,2,有切线时常用辅助线添加方法,见切点，连半径，得垂直,.,切线的其他重要结论,(1),经过圆心且垂直于切线的直线,必经过切点,;,(2),经过切点且垂直于切线的直线,必经过圆心,.,(1)有交点，连半径,证垂直;证切线时辅助线的添加方法例1,思考：,如图，如果直线,l,是,O,的切线，点,A,为切点，那么,OA,与,l,垂直吗？,A,l,O,直线,l,是,O,的切线，,A,是切点，,直线,l,OA.,切线性质,圆的切线垂直于经过切点的半径,应用格式,思考：如图，如果直线l是O 的切线，点A为切点，那么OA与,小亮的理由是,:,直径,AB,与直线,CD,要么垂直,要么不垂直,.,（,1,）,假设,AB,与,CD,不垂直,过点,O,作一条直径垂直于,CD,垂足为,M,（,2,）,则,OM,OA,即圆心到直线,CD,的距离小于,O,的半径,因此,CD,与,O,相交,.,这与已知条件“直线与,O,相切”相矛盾,.,C,D,B,O,A,（,3,）,所以,AB,与,CD,垂直,.,M,证法,1,：,反证法,.,性质定理的证明,小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.（1）,C,D,O,A,证法,2,：,构造法,.,作出小,O,的同心圆大,O,，,CD,切小,O,于点,A,且,A,点为,CD,的中点，连接,OA,根据垂径定理，则,CD,OA,即圆的切线垂直于经过切点的半径,CDOA证法2：构造法.作出小O的同心圆大O，CD切小,1.,如图：在,O,中，,OA,、,OB,为半径，直线,MN,与,O,相切于点,B,，若,ABN=30,，则,AOB=,.,2.,如图,AB,为,O,的直径，,D,为,AB,延长线上一点，,DC,与,O,相切于点,C,，,DAC=30,，若,O,的半径长,1cm,，则,CD=,cm.,60,1.如图：在O中，OA、OB为半径，直线MN与O相切于点,利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题,.,利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与,例,4,如图，,PA,为,O,的切线，,A,为切点直线,PO,与,O,交于,B,、,C,两点，,P,30,，连接,AO,、,AB,、,AC,.,(1),求证：,ACB,APO,；,(2),若,AP,，求,O,的半径,解析：,(1),根据已知条件我们易得,CAB,=,PAO,=90，由,P,=30可得出,AOP,=60，则,C,=30=,P,，即,AC,=,AP,；这样就凑齐了角边角，可证得,ACB,APO,；,O,A,B,P,C,(2),由已知条件可得,AOP,为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径,OA,的长,.,例4 如图，PA为O的切线，A为切点直线PO与O交,(1),求证：,ACB,APO,；,O,A,B,P,C,在,ACB,和,APO,中，,BAC,OAP,，,AB,AO,，,ABO,AOB,，,ACB,APO,.,(1),证明：,PA,为,O,的切线，,A,为切点，,又,P,30,，,AOB,60,，,又,OA,OB,，,AOB,为等边三角形,AB,AO,，,ABO,60.,又,BC,为,O,的直径，,BAC,90.,OAP,90.,(1)求证：ACBAPO；OABPC在ACB和AP,(2),若,AP,，求,O,的半径,O,A,B,P,C,AO,1,，,CB,OP,2,，,OB,1,，即,O,的半径为,1.,(2),解：在,Rt,AOP,中，,P,30,，,AP,，,(2)若AP ，求O的半径OABPCAO1,当堂练习,1.,判断下列命题是否正确,.,经过半径外端的直线是圆的切线,.,（）,垂直于半径的直线是圆的切线,.,（）,过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线,.,（）,和圆只有一个公共点的直线是圆的切线,.,（）,过直径一端,点,且垂直于直径的直线是圆的切线,.,（）,当堂练习 1.判断下列命题是否正确.,3.,如图，在,O,的内接四边形,ABCD,中，,AB,是直径，,BCD,=120,，,过,D,点的切线,PD,与直线,AB,交于点,P,，,则,ADP,的度数为（,）,A,40 B,35 C,30 D,45,2.,如图所示，,A,是,O,上一点，且,AO,=5,PO,=13,AP,=12,则,PA,与,O,的位置关系是,.,A,P,O,第,2,题,P,O,第,3,题,D,A,B,C,相切,C,3.如图，在O的内接四边形ABCD中，AB是直径，BCD,4.,如图,O,切,PB,于点,B,PB,=4,PA,=2,则,O,的半径多少？,O,P,B,A,解：连接,OB,，则,OBP,=90,.,设,O,的,半径为,r,则,OA=OB=r,OP=OA,+,PA=,2,+r,.,在,Rt,OBP,中，,OB,2,+PB,2,=PO,2,，即,r,2,+4,2,=(2+,r,),2,.,解得,r,=3,，,即,O,的半径为,3.,4.如图,O切PB于点B,PB=4,PA=2,则O的半,证明：连接,OP,.,AB,=,AC,B,=,C,.,OB,=,OP,，,B,=,OPB,，,OBP,=,C,.,OPAC,.,PE,AC,，,PE,OP,.,PE,为,O,的切线,.,5.,如图,ABC,中，,AB,=,AC,，,以,AB,为直径的,O,交,边,BC,于,P,，,PE,AC,于,E,.,求证,:,PE,是,O,的切线,.,O,A,B,C,E,P,证明：连接OP.5.如图,ABC中，AB=AC，以AB为直,6.,如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点M.求证：CD与O相切,证明：连接,OM,，过点,O,作,ON,CD,于点,N,，,O,与,BC,相切于点,M,，,OM,BC,.,又,ON,CD,，,O,为正方形,ABCD,对角线,AC,上一点，,OM,ON,，,CD,与,O,相切,M,N,6.如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，O,7.已知：,ABC,内接于,O,，过点,A,作直线,EF,.,（,1,）,如图,1,，,AB,为直径，要使,EF,为,O,的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：,_,；,_.,（,2,）,如图,2,，,AB,是非直径的弦，,CAE,=,B,，,求证：,EF,是,O,的切线,.,BA,EF,CAE,=,B,A,F,E,O,A,F,E,O,B,C,B,C,图,1,图,2,7.已知：ABC内接于O，过点A作直线EF.BAEF,证明：连接,AO,并延长交,O,于,D,连接,CD,则,AD,为,O,的直径,.,D,+,DAC,=90,D,与,B,同对,D,=,B,又,CAE,=,B,D,=,CAE,DAC,+,EAC,=90,EF,是,O,的切线,.,A,F,E,O,B,C,图,2,D,证明：连接AO并延长交O于D,连接CD,则AD为O的直径,切线的,判定方法,定义法,数量关系法,判定定理,1,个公共点，则相切,d,=,r,，,则相切,经过圆的半径的外端且,垂直,于这条半径的直线是圆的切线,.,切线的,
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