实二次型及其标准形课件

,*,*,*,一、二次型及其矩阵,称为,n,元二次型,.,一、二次型及其矩阵 称为 n 元二次型.,1,若,a,ij,为实数，则称为,实二次型,.,若,a,ij,为复数，则称为,复二次型,.,则,f,(,x,1,x,n,)=,X,T,AX,.,A,:,二次型,f,(,x,1,x,n,),的矩阵,.,若aij 为实数，则称为实二次型.若aij 为复数，,2,例,1,f,(,x,1,x,2,x,3,)=2x,1,2,3x,2,2,+4x,3,2,-2,x,1,x,2,+3,x,2,x,3,A,:,f,(,x,1,x,2,x,3,),的矩阵,若令,则有,f,(,x,1,x,2,x,3,)=,X,T,BX,但,B,T,B,故,B,不是,f,(,x,1,x,2,x,3,),的矩阵,例1 f(x1,x2,x3)=2x12,3,二次型,也记为,f,(,X,)=,X,T,AX,.(,A,T,=,A,),二次型,f,(,X,),的秩,：,A,的秩,.,在例,1,中，,f,(,x,1,x,2,x,3,),的矩阵,R(,A,),=,3,故,f,(,x,1,x,2,x,3,),的秩为,3.,二次型 也记为 f(X)=X TAX.,4,实二次型及其标准形课件,5,解：,解：,6,例,2,：求对称矩阵 所对应的二次型。,解：,例,3,：已知二次型 的秩为,2,，求参数,c,。,解：,例2：求对称矩阵 所对应的二次型。解：例3：已知二,7,可逆线性替换,定义,8-2,：设 是两组变量，,我们将下列关系式称为从变量组,到 的一个,线性替换（变换）,。,(2),可逆线性替换定义8-2：设,8,系数,矩阵,则线性变换（,2,）可记作：,若,C,可逆，则称,(2),为,非退化（可逆），（满秩）线性变换,。,若,C,正交，则称,(2),为,正交线性变换,。,系数则线性变换（2）可记作：若C可逆，则称(2)为非退化（可,9,非退化线性替换的性质：,（,1,）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换,证：,（,2,）连续施行线性替换的结果还是一个线性替换,证：,（,3,）连续施行非退化线性替换的结果还是一个,非退化线性替换；连续施行正交替换的结果,还是正交替换。,非退化线性替换的性质：（1）非退化线性替换的逆还是非退化线性,10,矩阵的合同,经过非退化线性变换,可化为,则,矩阵的合同经过非退化线性变换可化为则,11,矩阵的合同：,所以，通过非退化线性变换，,新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的,.,矩阵合同的性质：,(1),反身性：矩阵,A,与自身合同；,(2),对称性：若,A,与,B,合同，则,B,与,A,合同；,(3),传递性：若,A,与,B,合同，且,B,与,C,合同,则,A,与,C,合同,.,矩阵的合同：所以，通过非退化线性变换，矩阵合同的性质：,12,A,与,B,等价：,PAQ=B,P,Q,可逆；,A,与,B,相似：,P,-,1,AP=B,P,可逆；,请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？,A与B等价：PAQ=B,P,Q 可逆；,13,三、用配方法化二次型为标准形,只含平方项的二次型,d,1,y,1,2,+,d,2,y,2,2,+,d,r,y,r,2,(,d,i,0),称为,标准形,.,形如,z,1,2,+,+,z,p,2,z,p,+1,2,-,z,r,2,的二次型称为,规范形,.,p,:,正惯性指数,；,r-p,:,负正惯性指数,；,|,r-2p|,:,符号差,.,三、用配方法化二次型为标准形 只含平方项的二次型,14,例,用配方法化二次型为标准形,f,(,x,1,x,2,x,3,)=,x,1,2,+2,x,2,2,+3,x,3,2,+2,x,1,x,2,+6,x,2,x,3,+2,x,1,x,3,=(,x,1,2,+2,x,1,x,2,+2,x,1,x,3,+,x,2,2,+,x,3,2,+2,x,2,x,3,)+,x,2,2,+2,x,3,2,+4,x,2,x,3,=(,x,1,+,x,2,+,x,3,),2,+(,x,2,2,+4,x,2,x,3,+,4,x,3,2,)-2,x,3,2,=(,x,1,+,x,2,+,x,3,),2,+(,x,2,+2,x,3,),2,-2,x,3,2,则,f,(,x,1,x,2,x,3,)=,y,1,2,+,y,2,2,2,y,3,2,（法,1,）,例 用配方法化二次型为标准形 f(x1,x2,x,15,f,(,x,1,x,2,x,3,)=,x,1,2,+2,x,2,2,+3,x,3,2,+2,x,1,x,2,+6,x,2,x,3,+2,x,1,x,3,=(,x,1,2,+2,x,1,x,2,+2,x,1,x,3,)+2,x,2,2,+3,x,3,2,+6,x,2,x,3,=(,x,1,+,x,2,+,x,3,),2,+(,x,2,2,+4,x,2,x,3,)+2,x,3,2,=(,x,1,+,x,2,+,x,3,),2,+(,x,2,+2,x,3,),2,-2,x,3,2,则,f,(,x,1,x,2,x,3,)=,y,1,2,+,y,2,2,2,y,3,2,（法,2,）,f(x1,x2,x3)=x12+2x22,16,即,(1):,从,x,1,x,2,x,3,到,y,1,y,2,y,3,的线性变换,.,(2):,从,y,1,y,2,y,3,到,x,1,x,2,x,3,的线性变换,.,(1),与,(2),所表达的,x,1,x,2,x,3,与,y,1,y,2,y,3,的关系是相同的,.,利用配方法与归纳法可以证明：,定理,1,任一实二次型,f,(,X,)=,X,T,AX,都可用配方法化为标准形,.,即(1):从x1,x2,x3到 y1,y2,y,17,例,f,(,x,1,x,2,x,3,)=2,x,1,x,2,+2,x,1,x,3,-6,x,2,x,3,令,则,f,(,x,1,x,2,x,3,)=2,y,1,2,2,y,2,2,4,y,1,y,3,+8,y,2,y,3,=2(,y,1,2,2,y,1,y,3,+,y,3,2,)-2,y,2,2,-2,y,3,2,+8,y,2,y,3,=2(,y,1,y,3,),2,2(,y,2,2,-4,y,2,y,3,+4,y,3,2,)+6,y,3,2,=2(,y,1,y,3,),2,2(,y,2,-2,y,3,),2,+6,y,3,2,=2,z,1,2,2,z,2,2,+6,z,3,2,（法,1,）,例 f(x1,x2,x3)=2 x1x2,18,上式最后一步使用的变换是,则,f,=2,z,1,2,2,z,2,2,+6,z,3,2,=,t,1,2,+,t,2,2,-,t,3,2,上式最后一步使用的变换是则,19,f,(,x,1,x,2,x,3,)=2,x,1,x,2,+2,x,1,x,3,-6,x,2,x,3,令,则,f,(,x,1,x,2,x,3,)=2,y,1,2,2,y,2,2,4,y,1,y,3,+8,y,2,y,3,（法,2,）,=2(,y,1,2,2,y,1,y,3,)-2,y,2,2,+8,y,2,y,3,=2(,y,1,y,3,),2,-2(,y,2,2,-4,y,2,y,3,)-2,y,3,2,=2(,y,1,y,3,),2,-2(,y,2,-2,y,3,),2,+6,y,3,2,=2,z,1,2,2,z,2,2,+6,z,3,2,f(x1,x2,x3)=2 x1x2+2 x,20,上式最后一步使用的变换是,则,f,=2,z,1,2,2,z,2,2,+6,z,3,2,=,t,1,2,+,t,2,2,-,t,3,2,上式最后一步使用的变换是则,21,特点,:,二次型中至少有一个平方项系数不为零,特点:二次型中至少有一个平方项系数不为零,22,实二次型及其标准形课件,23,特点,:,二次型中平方项系数全为零,.(,即无平方项,),特点:二次型中平方项系数全为零.(即无平方项),24,实二次型及其标准形课件,25,定理,2,任何一个实二次型的规范形都是惟一的,.,证,将实二次型,f,(,X,)=,X,T,AX,经合同变换化为标准形后，将正项集中在前，负项集中在后：,d,1,y,1,2,+,d,p,y,p,2,-,d,p+1,y,p+1,2,-,d,r,y,r,2,得,f,(,X,)=,X,T,AX,的规范形为,z,1,2,+,+,z,p,2,z,p,+1,2,-,z,r,2,由于合同变换不改变二次型的秩，所以,r,是惟一确定的,.,进一步还可证明正惯性指数,p,是惟一的，因此，负惯性指数,r p,与符号差,|r 2p|,也是惟一的,.,定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的.证,26,四、用正交变换化二次型为标准形,定理,3,任一,n,元实二次型,f,(,X,)=,X,T,AX,都可用正交变换,X=CY,化为标准形,1,y,1,2,+,2,y,2,2,+,n,y,n,2,其中,1,，,2,，,，,n,是,A,的特征值,.,证,因,A,为,n,阶实对称矩阵，,所以存在正交矩阵,C,使,C,T,AC=C,-1,AC=,diag(,1,，,2,，,，,n,),令,X=CY,则,f,(,X,),=Y,T,C,T,ACY=,1,y,1,2,+,2,y,2,2,+,n,y,n,2,四、用正交变换化二次型为标准形 定理3 任一 n 元,27,例,4,用正交变换化二次型为标准形,f,(,x,1,x,2,x,3,)=,x,1,2,-2,x,2,2,-2,x,3,2,-4,x,1,x,2,+4,x,1,x,3,+8,x,2,x,3,解,f,(,x,1,x,2,x,3,),的矩阵,特征值：,1,=2,（二重特征值），,2,=-7,，,例4 用正交变换化二次型为标准形 f(x1,x2,28,求,1,=2,的特征向量：,x,1,+2,x,2,-2,x,3,=0,特征向量：,1,=(-2,1,0),T,2,=(2,0,1),T,将,1,2,正交化：,1,=,1,=(-2,1,0),T,求1=2 的特征向量：x1+2x2-2x3=,29,求,1,=-7,的特征向量：,3,=(1,2,2),T,将,1,2,3,单位化：,求1=-7 的特征向量：3=(1,2,2),30,X=,(,x,1,x,2,x,3,),T,Y=,(,y,1,y,2,y,3,),T,则,X=CY,为正交变换，且,f =,2,y,1,2,+2,y,2,2,-7,y,3,2,X=(x1,x2,x3)T,Y=(,31,实二次型及其标准形课件,32,实二次型及其标准形课件,33,