高等数学第四讲(4学分)ppt课件

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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章,1、和差积商的极限等于极限的和差积商,第三讲主要内容回顾:,2、复合函数极限的运算法则,3、分式函数的极限:,1,第一章 1、和差积商的极限等于极限的和差积商第三讲主要内容,x,趋于无穷大时,分式函数的极限:,为非负常数),2,x趋于无穷大时,分式函数的极限:为非负常数)2,4、两个重要的极限,5、无穷小量的阶:重点掌握等价无穷小,6、求极限时的等价无穷小因式代替规则:,3,4、两个重要的极限5、无穷小量的阶:重点掌握等价无穷小6、求,第四节,函数的连续性,第一章,4,第四节函数的连续性 第一章 4,函数,在点,4.1、连续函数的概念,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2),极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,1、函数在点,x,0,处连续的概念,5,函数在点4.1、连续函数的概念定义:在的某邻域内有定义,若,x,0,不是函数的连续点,,则称,x,0,是函数的间断点,函数在此点是间断的。,6,若x0不是函数的连续点,6,考察函数,讨论,处,的连续性.,解:,因为,不存在.,所以上述函数在0处不连续,。,7,考察函数讨论 处的连续性.解:因为不存在.所以上述函数,自变量在,x,0,的增量,函数在点,x,0,的增量:,函数,在点,连续有下列,等价命题,:,函数在,x,0,处连续的,增量定义,8,自变量在x0的增量函数在点x0的增量:函数在点连续有下列等价,结论:函数在,x,0,处连续的充要条件是函数在此点处的增量是无穷小。,9,结论:函数在 x0处连续的充要条件是函数在此点处的增量是无穷,函数在点,x,0,处单侧连续,左连续:,右连续:,函数在点,x,0,处连续的充要条件是函数在此点既左连续又右连续。,10,函数在点x0处单侧连续左连续:右连续:函数在点x0处连续的充,例:设函数,问:当,a,取何值时,函数在1处连续?,解,:,11,例:设函数问:当a取何值时,函数在1处连续?解:11,函数在区间连续的概念,若,在某开区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的,连续函数,.,12,函数在区间连续的概念若在某开区间上每一点都连续,则称它在,证明:,在,上连续.,证明:,有理分式函数,在其定义域内连续,.,13,证明:在上连续.证明:有理分式函数在其定义域内连续.1,函数在闭区间上连续,函数在,a,b 连续指:函数在右端点处左连续,而在左端点处右连续及相应的开区间连续。,14,函数在闭区间上连续函数在a,b 连续指:函数在右端点处左,在,在,函数的间断点(不连续点):,(1),函数,(2),函数,不存在,;,(3),函数,存在,但,设,在点,的某去心邻域内有定义,符合上述情形之一的点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为函数的,间断点,.,在,无定义,;,15,在在函数的间断点(不连续点):(1)函数(2)函数不存在,例:,x,=1/2是函数,的间断点,例:考察,x,=0,是不是符号函数,的间断点。,16,例:x=1/2是函数的间断点例:考察x=0是不是符号函数的间,间断点分类:,第一类间断点:左右极限都存在的间断点。,若,称,第二类间断点:左右极限至少有一个不存在的间断点。,为,可去间断点,.,无穷间断点:属于第二类间断点。,或,若,称,为,跳跃间断点,.,17,间断点分类:第一类间断点:左右极限都存在的间断点。若称第二类,显然,为其可去间断点.,考察,y,=tan,x,的间断点,18,显然为其可去间断点.考察y=tanx的间断点18,4.2,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,19,4.2连续函数的运算与初等函数的连续性 第一章 19,定理2.,连续单调递增(递减)函数的反函数,也连续单调递增(递减).,一、连续函数的运算法则,定理1.,在某点连续的,有限个,函数经,有限次,和,差,积,(,利用极限的四则运算法则证明),商,(分母不为 0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,(证明略),20,定理2.连续单调递增(递减)函数的反函数一、连续函数的,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,因为,在其定义域内连续,因为,因为,在,上连续单调递增,,其反函数,在 1,1 上也连续单调递增.,结论:基本初等函数在其定义域内连续,21,在上连续 单调 递增,其反函数在上也连续单调递增.因为 在其,函数,f,(,u,)在,u,0,连续,,则,若,函数,g,(,x,)在,x,0,连续,,,连续函数的复合运算法则,22,函数f(u)在u0连续,则若函数g(x)在x0连续,连续函数,例如,是由连续函数,因此,在,上连续.,复合而成,23,例如,是由连续函数因此在上连续.复合而成,23,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,连续,例如,的连续区间为,(,端点处单侧连续,),的连续区间为,求初等函数的连续区间只要求定义域即可。,24,二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四,利用连续性求极限,例:求,25,利用连续性求极限例:求25,4.3,闭区间上连续函数的性质,第一章,26,4.3闭区间上连续函数的性质 第一章 26,注意:,若函数在,开区间,上连续,结论不一定成立.,一,、最值定理,定理1.,在,闭区间,上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内,有间断点,在该区间上一定有最大,(,证明略,),27,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.一、最值定,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,28,例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如,28,推论.,二、介值定理,定理2.,(零点定理),至少有一点,且,使,(,证明略,),在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,29,推论.二、介值定理定理2.(零点定理)至少有一点且使,中间值定理,设,且,则对,A,与,B,之间的任一数,C,一点,证:,作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值.,30,中间值定理设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点证,例.,证明方程,一个根.,证:,显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,31,例.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少,1、求下列数列的极限,习题选讲,32,1、求下列数列的极限习题选讲32,2、求下列函数的极限,习题选讲,33,2、求下列函数的极限习题选讲33,3、,求函数的连续区间,若有间断点,判断间断点的类型。,34,3、求函数的连续区间,若有间断点,判断间断点的类型。34,4、,利用函数的连续性,求下列极限,35,4、利用函数的连续性,求下列极限35,课后作业,P57-58:19(奇数题)、20(1、3、5),36,课后作业P57-58:19(奇数题)、20(1、3、5)3,
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