第二讲参数方程(圆锥曲线的参数方程)课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二讲 参数方程,第二讲 参数方程,1,圆锥曲线的参数方程,圆锥曲线的参数方程,2,椭圆的参数方程,椭圆的参数方程,3,复习,圆的参数方程,1,.,圆心在原点,半径为r的圆的参数方程,:,2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:,3.椭圆的标准方程：,它的参数方程是什么样的？,复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.,4,M,如图,以原点为圆心,分别以a,b(ab0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作ANOx,垂足为N,过点B作BMAN,垂足为M,x,O,y,A,N,B,设以Ox为始边，OA为终边的角为,，,点M的坐标是(x,y)。,那么点A的横坐标为x，点B的纵坐标为y。,由于点A,B均在角,的终边上，由三角函数的定义有:,yNM,xON,这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。,在椭圆的参数方程中，通常规定参数,的范围为,|OA|cosacos，,|OB|sinbsin,M如图,以原点为圆心,分别以a,b(ab0)为半径作两,5,O,A,M,x,y,N,B,椭圆的标准方程:,椭圆的参数方程中参数的几何意义:,x,y,O,圆的标准方程:,圆的参数方程:,x,2,+y,2,=r,2,的几何意义是,AOP=,P,A,椭圆的参数方程:,是AOX=,不是,MOX=,.,称为点M的离心角,OAMxyNB椭圆的标准方程:椭圆的参数方程中参数的几何,6,小 结,椭圆的标准方程：,椭圆的参数方程：,离心角,一般地：,在椭圆的参数方程中，常数,a、b,分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长.ab,小 结 椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：离心角一般地：,7,练习,把下列普通方程化为参数方程.,(1),(2),(3),(4),把下列参数方程化为普通方程,练习 把下列普通方程化为参数方程.(1)(2)(3,8,练习 O是坐标原点，P是椭圆 上,离心角为-/6所对应的点，那么直线OP的倾角的正切值是,.,解：把,代入椭圆参数方程,可得P点坐标,所以直线OP的倾角的正切值是:,练习 O是坐标原点，P是椭圆,9,x,y,O,M,解：因为椭圆的参数方程为,(,为参数)，,所以可设点M的坐标为,由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为,例1、如图，在椭圆 上求一点M，使M到直线,l,：x+2y-10=0的距离最小.,xyOM解：因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点M的坐,10,例1、如图，在椭圆 上求一点M，(1)使M到直线,l,：x+2y-10=0的距离最小.,例1、如图，在椭圆,11,例1、已知椭圆 上点M(x,y)，(2),求2x+3y的最大值和最小值；,例1、已知椭圆,12,例2、,如图，在椭圆x,2,+8y,2,=8上求一点P，使P到直线,l,：x-y+4=0的距离最小.,x,y,O,P,分析1：,分析2：,分析3：,平移直线,l,至首次与椭圆相切，切点即为所求.,例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线xy,13,y,X,O,A,2,A,1,B,1,B,2,F,1,F,2,A,B,C,D,Y,X,例3、已知椭圆 有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。,yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX 例,14,练习,已知A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.,练习 已知A,B两点是椭圆,15,例4 求椭圆 的内接矩形的面积及周长的最大值。,解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是,矩形面积和周长分别是S、L,当且仅当,时，,此时存在。,例4 求椭圆,16,例6 取一切实数时，连接,A(4sin,6cos)和B(-4cos,6sin),两点的线段的中点轨迹是,.,A.圆 B.椭圆 C.直线 D.线段,例5 四边形ABCD内接于椭圆,其中点A(3,0)，C(0,4)，B、D分别位于椭圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形ABCD面积的最大值。,例6 取一切实数时，连接 例,17,例7 已知点A在椭圆 上运动，点B(0,9)、点M在线段AB上，且 ,试求动点M的轨迹方程。,解：由题意知B(0,9),设A(,),并且设M(x,y),(是参数),消去参数得动点M的轨迹的参数方程是:,例7 已知点A在椭圆,18,例6 椭圆 与x轴的正向相交于点A,O为坐标原点,若这个椭圆上存在点P，使得OPAP。求该椭圆的离心率e的取值范围。,解:设椭圆上的点P的坐标是,(0且),A(a,0),而OPAP，,（舍去），,因为,所以,可转化为,解得,于是,例6 椭圆,19,B,设中点M(x,y),x=2sin-2cos,y=3cos+3sin,练习:,1 取一切实数时，连接,A(4sin,6cos)和B(-4cos,6sin)两点的线段的中点轨迹是,.,A.圆 B.椭圆 C.直线 D.线段,B设中点M(x,y)x=2sin-2cosy=3co,20,第二讲参数方程(圆锥曲线的参数方程)课件,21,(),B,()B,22,双曲线的参数方程,双曲线的参数方程,23,A,B,B,O,y,x,M,A,以原点,O,为圆心,a,b,(,a,0,b,0)为半径分别作同心圆,C,1,C,2.,设,A,为圆,C,1,上任一点,作直线,OA,过,A,作圆,C,1,的切线,AA,与,x,交于点,A,过圆,C,2,与,x,轴的交点,B,作圆,C,2,的切线,BB,与直线,OA,交于点,B,。,过点,A,B,分别作,y,轴,x,轴的平行线,A,M,B,M,交于点,M,设,OA,与,OX,所成角为,(,0,2,),/2,3/2),求点,M,的轨迹方程,并说出点,M,的轨迹。,研究双曲线,的参数方程,ABBOyxM A以原点O为圆心,a,b(a0,24,A,B,B,O,y,x,M,A,ABBOyxM A,25,b,a,o,x,y,),M,B,A,事实上,baoxy)MBA事实上,26,(t 是参数,t 0),化为普通方程,画出方程的曲线.,表示什么曲线?画出图形.,练习:,4,(t 是参数,t 0)化为普通方程,画出方程的曲线.表,27,例1.求点M,0,(0,2)到双曲线x,2,y,2,=1上点的最小距离。,例1.求点M0(0,2)到双曲线x2y2=1上点的最,28,不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为,则直线MA的方程为,解得点A的横坐标为,平行四边形MAOB的面积为,由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，,与点M在双曲线上的位置无关,不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为 则直线MA的方程为 解,29,说明：,这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.,双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式 相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.,说明：这里参数 叫做双曲线的离心,30,例3,例3,31,例4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。,A,2,A,1,B,A,y,x,O,证明：设双曲线方程为,取顶点A,2,(a,0),弦AB Ox，,弦AB对A,1,张直角，,同理对A,2,也张直角,例4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶,32,M,O,y,x,B,A,例5 已知双曲线，A，B是双曲线同支上相异两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P ,求证：,，,解：设A，B坐标分别为,则中点为M,于是线段AB中垂线方程为,将 代入上式,(A，B相异)，,MOyxBA 例5 已知双曲线，,33,例6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。,例6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线,34,第二讲参数方程(圆锥曲线的参数方程)课件,35,抛物线的参数方程,抛物线的参数方程,36,M,F,O,Y,X,A,前面曾经得到以时刻 t 为参数的抛物线的参数方程:,对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？,以抛物线的普通方程,为例，其中p为焦点到准线的距离。,MFOYXA前面曾经得到以时刻 t 为参数的抛物线的参数方程,37,设M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作,显然，当在 内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M与之对应，因此，可以取为参数来探求抛物线的参数方程.,因为点M在的终边上，根据三角函数定义可得,由方程,(为参数),这是抛物线(不包括顶点)的参数方程.,设M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一,38,如果令,则有,（t为参数）,(为参数),当t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),因此，当 时，,（t为参数）,就表示整条抛物线参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数,如果令则有（t为参数）(为参数)当t=0时,39,C,练习,C练习,40,例1 如图，O为原点，A,B为抛物线 上异于顶点的两动点，且OAOB，OMAB于M，求点M的轨迹方程,例1 如图，O为原点，A,B为抛物线,41,当点A,B在何位置时,AOB面积最小？最小值是多少？,当点A,B在何位置时,AOB面积最小？最小值是多少？,42,第二讲参数方程(圆锥曲线的参数方程)课件,43,练习 已知椭圆C,1,:及抛物线C,2,:y,2,=6(x-3/2)；若C,1,C,2,，求m的取值范围。,代入得 cos,2,+4cos+2m-1=0,所以 t,2,+4t+2m-1=0 在-1,1内有解；,练习 已知椭圆C1:,44,3 已知A,B,C是抛物线 y,2,=2px(p0)上的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB和AC分别与抛物线的轴交于D,E两点，求证：抛物线的顶点平分DE.,练习,3 已知A,B,C是抛物,45,4 经过抛物线y,2,=2px(p0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。,解：直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为,由y,2,=2px和y=kx，得,A点坐标为,同理B点坐标(2pk,2,-2pk),4 经过抛物线y2=2px(p0)的顶,46,5 已知椭圆 上任意一点M，(除短轴端点外)与短轴端点B,1,B,2,的连线分别与x轴交于P,Q两点，O为椭圆的中心，求证：|OP|OQ|为定值。,5 已知椭圆,47,练习 对于一切实数，若,直线 与曲线,恒有公共点，则m的范围是：,A B C D,直线恒过,点,当直线与曲线恒有公共点时，必满足,练习 对于一切实数，若A,48,