复变函数(西交大)第三讲

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三讲,解析函数的充要条件,初等函数,1.,解析函数的充要条件,2.,举例,2.2 解析函数的充要条件,如果复变函数,w,=,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,)在定义域 D内处处可导，则函数,w,=,f,(,z,)在 D内解析。,本节从函数,u,(,x,y,)及,v,(,x,y,)的可导性，探求,函数,w,=,f,(,z,)的可导性，从而给出判别函数解析的,一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。,问题,如何判断函数的解析性呢？,一.解析函数的充要条件,记忆,定义,方程,称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).,定理1,设,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,)在 D 内有定义，,则,f,(,z,)在点,z,=,x,+,iy,D处可导的充要条件是,u,(,x,y,)和,v,(,x,y,)在点(,x,y,)可微，且满足,Cauchy-Riemann方程,上述条件满足时,有,证明,（,由,f,(,z,)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证,f,(,z,)的可导 函数,u,(,x,y,)、,v,(,x,y,)可微,）。,函数,w,=,f,(,z,)点,z,可导，即,则,f,(,z+,z,)-,f,(,z,)=,f,(,z,),z,+,(,z,),z,(1),且,u,+,iv,=(,a,+,ib,)(,x,+,i,y,)+(,1,+,i,2,)(,x,+,i,y,),=(,a,x,-,b,y,+,1,x,-,2,y,),+,i,(,b,x,+,a,y,+,2,x,+,1,y,),令：,f,(,z,+,z,),-,f,(,z,)=,u,+,i,v,，,f,(,z,)=,a,+,ib,，,(,z,)=,1,+,i,2,故（1）式可写为,因此 ,u,=,a,x,-,b,y,+,1,x,-,2,y,v=b,x,+,a,y,+,2,x,+,1,y,所以,u,(,x,y,)，,v,(,x,y,)在点(,x,y,)处可微.,（由函数,u,(,x,y,),v,(,x,y,)在点(,x,y,)处可微及满足,C-R方程,f,(,z,)在点,z=x+iy,处可导）,u,(,x，y,)，,v(x，y,)在(,x，y,)点可微，即：,定理2,函数,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,iv,(,x,y,)在D内解析充要,条件是,u,(,x,y,)和,v,(,x,y,)在D,内可微，且,满足Cauchy-Riemann方程,由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系,.,当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来,.,利用该定理可以判断那些函数是不可导的,.,使用时:i)判别,u,(,x,y,)，,v,(,x,y,)偏导数的连续性，,ii)验证C-R条件.,iii)求导数,：,前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于,x,y,求导简单拼凑成的,.,二.举例,例1,判定下列函数在何处可导，在何处解析：,解,(1)设,z,=,x,+,iy,w,=,x,-,iy,u,=,x,v=-y,则,解,(2),f,(,z,)=e,x,(cos,y,+,i,sin,y,)则,u,=e,x,cos,y,v=,e,x,sin,y,仅在点,z,=0处满足C-R条件，故,解,(3)设,z,=,x,+,iy,w,=,x,2,+,y,2,u,=,x,2,+,y,2,v=,0 则,例2,求证函数,证明,由于在,z,0处，,u,(,x,y,)及,v,(,x,y,)都是可微函数，,且满足C-R条件：,故函数,w,=,f,(,z,)在,z,0处解析，其导数为,例3,证明,例4,如果,f,(,z,)=,u,(,x,y,)+,i v,(,x,y,)是一解析函数，,且,f,(,z,)0，那么曲线族,u,(,x,y,)=C,1,，,v,(,x,y,)=C,2,必互相正交，这里C,1,、C,2,常数.,那么在曲线的交点处，i),u,y,、,v,y,均不为零时，,由隐函数求导法则知曲线族,u,(,x,y,)=C,1,，,v,(,x,y,)=C,2,中任一条曲线的斜率分别为,解,利用C-R方程,u,x,=v,y,u,y,=-v,x,有,k,1,k,2,=(-,u,x,/,u,y,)(-,v,x,/,v,y,)=-1，即：两族曲线互相正交.,ii),u,y,，,v,y,中有一为零时，不妨设,u,y,=0，则,k,1,=，,k,2,=0（由C-R方程）,即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另,一条是铅直的,它们仍互相正交。,练习:,a,=2,b,=-1,c,=-1,d,=2,1.,指数函数,2.,三角函数和双曲函数,3.,对数函数,4.,乘幂与幂函数,5.,反三角函数与反双曲函数,2.3 初等函数,本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。,内 容 简 介,一.指数函数,它与实变指数函数有类似的性质,：,定义,这个性质是实变指数函数所没有的。,例1,例2,例3,二.三角函数和双曲函数,推广到复变数情形,定义,正弦与余弦函数的性质,思考题,由正弦和余弦函数的定义得,其它三角函数的定义(详见P51),定义,称为双曲正弦和双曲余弦函数,双曲正弦和双曲余弦函数的性质,三.对数函数,定义,指数函数的反函数称为对数函数。即，,(1)对数的定义,故,特别,(2)对数函数的性质,见1-6例1,例4,四.乘幂 与幂函数,乘幂,a,b,定义,多值,一般为多值,q,支,(2),当,b,=1/,n,(,n,正整数,),时,，,乘幂,a,b,与,a,的,n,次根意义一致。,(1),当,b,=,n,(,正整数,),时,，,乘幂,a,b,与,a,的,n,次幂,意义一致。,解,例5,幂函数,z,b,定义,当,b,=,n,(正整数),w=z,n,在整个复平面上是单值解析函数,除去,b,为正整数外，多值函数，,当b为无理数或复数时，无穷多值。,5.反三角函数与反双曲函数,详见P52,重点：,指数函数、对数函数,、乘幂,作 业,P67 2,8,15,18,