逼近拟合中的基本概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,引言,插值问题中,控制误差的度量标准,几个概念,常用范数,其它概念,内积的概念,有关定理,(,证明见,P66),称为格拉姆,(Gram),矩阵，则,G,非奇异的充分必要条件是,u,1,u,n,线性无关,权函数的概念,定义 设 称,为函数 在区间,a,b,上的内积,.,其中 为区间,a,b,上的权函数,且满足下面两个条件,:,函数内积的定义,容易验证,上述定义的函数内积满足一般内积概念中四条基本性质,.,函数的欧几里得范数,定义 设 称,为函数,f(x),的欧几里得范数,或,2,范数,.,数据拟合,函数逼近,最佳一致逼近,最佳平方逼近,超定方程组的最小二乘解,仍然是已知,x,1,x,m,;,y,1,y,m,求一个简单易算的近似函数,P,(,x,),f,(,x,),。,但是,m,很大；,y,i,本身是测量值，不准确，即,y,i,f,(,x,i,),这时没必要取,P,(,x,i,),=,y,i,而要使,P,(,x,i,),y,i,总体上,尽可能小。,常见做法：,使 最小,/minimax problem/,太复杂,使 最小,不可导，求解困难,使 最小,/Least-Squares method/,多项式拟合,最小二乘拟合,多项式,/L-S approximating polynomials/,对应法方程（或正规方程组,/,normal equations,/,）,为：,回归系数,/regression coefficients/,定理,5.,证明：,记法方程组为,Ba,=,c,.,则有 其中,对任意 ，必有 。,若不然，则,存在一个 使得,即,是,n,阶多项式,的根,则,B,为,正定阵,，则非奇异，所以法方程组,存在唯一,解。,广义多项式拟合,定义,线性无关,/linearly independent/,函数族,0,(,x,),1,(,x,),n,(,x,),满足条件：其中任意函数的线性组合,a,0,0,(,x,)+,a,1,1,(,x,)+,a,n,n,(,x,)=0,对任意,x,a,b,成立,当且仅当,a,0,=a,1,=,=,a,n,=0,。,定义,考虑一般的线性无关函数族,=,0,(,x,),1,(,x,),n,(,x,),，其有限项的线性组合,称为,广义多项式,/generalized polynomial/.,常见广义多项式：,j,(,x,),=,x,j,对应,代数,多项式,/algebraic polynomial/,j,(,x,),=cos,jx,、,j,(,x,),=sin,jx,j,(,x,),j,(,x,),对应,三角,多项式,/trigonometric polynomial/,j,(,x,),=,k,i,k,j,对应,指数,多项式,/exponential polynomial/,定义 广义,L-S,拟合：,离散型,/*discrete type*/,在点集,x,1,x,m,上测得,y,1,y,m,，在一组权系数,w,1,w,m,下求广义多项式,P,(,x,),使得,误差函数,最小。,=,-,=,n,i,i,i,i,y,x,P,w,1,2,),(,连续型,/*continuous type*/,已知,y,(,x,),C,a,b,以及权函数,(,x,),，,求广义多项式,P,(,x,),使得误差函数,=,最小,。,dx,x,y,x,P,x,b,a,2,),(,),(,),(,-,r,内积,与,范数,离散型,连续型,则易证,(,f,g,),是,内积,，而 是,范数,。,(,f,g,)=0,表示,f,与,g,带权正交,。,广义,L-S,问题可叙述为：求广义多项式,P,(,x,),使得,最小。,n,k,y,a,k,n,j,j,j,k,.,0,),(,),(,0,=,=,=,j,j,j,设,则完全类似地有：,),(,.,),(,),(,),(,1,1,0,0,x,a,x,a,x,a,x,P,n,n,j,j,j,+,+,+,=,法方程组,/*normal equations*/,即：,),(,),(,),(,0,0,y,y,a,a,b,n,n,j,i,ij,j,j,j,j,=,=,=,c,例：,用 来拟合 ，,w,1,解：,0,(,x,)=1,，,1,(,x,)=,x,，,2,(,x,)=,x,2,例：,连续型拟合中，取,则,Hilbert,阵！,改进：,若能取函数族,=,0,(,x,),1,(,x,),n,(,x,),，使得任意一对,i,(,x,),和,j,(,x,),两两,（带权）正交,，则,B,就化为,对角阵,！,这时直接可算出,a,k,=,正交,多项式,的构造：,将正交函数族中的,k,取为,k,阶,多项式,，为简单起见，可取,k,的,首项系数为,1,。,有递推,关系式：,其中,例：,用 来拟合 ，,w,1,解：,通过正交多项式,0,(,x,),1,(,x,),2,(,x,),求解,设,),(,),(,),(,2,2,1,1,0,0,x,a,x,a,x,a,y,j,j,j,+,+,=,1,),(,0,=,x,j,2,29,),(,),(,0,0,0,0,=,=,j,j,j,y,a,2,5,),(,),(,0,0,0,0,1,=,=,j,j,j,j,a,x,2,5,),(,),(,),(,0,1,1,-,=,-,=,x,x,x,x,j,a,j,5,37,),(,),(,1,1,1,1,=,=,j,j,j,y,a,2,5,),(,),(,1,1,1,1,2,=,=,j,j,j,j,a,x,4,5,),(,),(,0,0,1,1,1,=,=,j,j,j,j,b,5,5,),(,4,5,),(,),2,5,(,),(,2,0,1,2,+,-,=,-,-,=,x,x,x,x,x,x,j,j,j,2,1,),(,),(,2,2,2,2,=,=,j,j,j,y,a,与前例结果一致。,注：,手算时也可用待定系数法确定函数族。,