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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数的单调性与,曲线的凹凸性,1,函数的单调性与1,一、函数单调性的判别法,二、曲线的凹凸与拐点,主要内容：,2,一、函数单调性的判别法 二、曲线的凹凸与拐点 主要内容：2,一、函数单调性的判定法,3,一、函数单调性的判定法 3,o,o,a,b,a,b,从导数的几何意义考察函数的单调性：,4,ooabab从导数的几何意义考察函数的单调性：4,定理,1,严格单调,5,定理1严格单调5,6,6,(2),区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性,.,例如,注意,:,(1),定理条件中的闭区间换成一般区间，定理的结论仍然成立；,7,(2)区间内个别点导数为零,不影响区间的严格单调性.例如,注,例,1.,解,注意,:,函数的单调性是一个区间上的性质,要用,一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,.,导数在这一区间上的符号来判定,而不能用,令,得,把 分成两个区间,8,例1.解注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用一点处的,例,2.,解,:,单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点,.,说明,:,9,例2.解:单调区间的分界点除驻点外,也可能是导数不存在的点.,把函数的定义域区间分成若干个区间，,总结求单调区间的步骤,1,写出函数的定义域，并求出函数的导数,2,求出导函数的零点、和导数不存在的点,(,不可导点,),3,以导数等于零的点、不可导点为分点，,并确定导函数在各个区间内的符号，,从而确定函数在每个区间内的单调性。,10,把函数的定义域区间分成若干个区间，总结求单调区间的步骤1写,解,:,令,得,故,的,单调增,区间为,的,单调减,区间为,11,解:令得故的单调增区间为的单调减区间为11,练习,解,5/21,12,练习解5/2112,例,4,证,注,利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。,13,例4证注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。,练习,.,证明,时,成立不等式,证,:,令,从而,因此,且,14,练习.证明时,成立不等式证:令从而因此且14,二、曲线的凹凸与拐点,15,二、曲线的凹凸与拐点15,图形上任意弧段位于所张弦的上方。,图形上任意弧段位于所张弦的下方。,问题,:,如何用准确的数学语言描述曲线的弯曲方向,?,16,图形上任意弧段位于所张弦的上方。图形上任意弧段位于所张弦的下,定义,1,设函数,在区间,I,上连续,(1),若恒有,则称,图形是,凹的,;,(2),若恒有,则称,图形是,凸的,.,17,定义1 设函数在区间 I 上连续,(1)若恒有则称图,18,曲线凹凸的判定,定理,2,18,18曲线凹凸的判定定理218,定理,2.(,凹凸判定法,),(1),在,I,内,则 在,I,内图形是凹的,;,(2),在,I,内,则 在,I,内图形是凸的,.,证,:,设函数,在区间,I,上有二阶导数,只证,(2),由定义只须证：,只须证：,只须证：,记作,只须证：,19,定理2.(凹凸判定法)(1)在 I 内则,定理,2.(,凹凸判定法,),(1),在,I,内,则 在,I,内图形是凹的,;,(2),在,I,内,则 在,I,内图形是凸的,.,证,:,设函数,在区间,I,上有二阶导数,只证,(2),由定义只须证：,只须证：,分别在区间,上应用拉格朗日中值定理,得,这说明 在,I,内单调递减,.,20,定理2.(凹凸判定法)(1)在 I 内则,21,例,5,判断曲线,的凹凸性,.,解,上是凸的,.,21,21例5 判断曲线的凹凸性.解上是凸的.21,22,例,6,解,注意到,22,22例6解注意到,22,定义,2,若连续曲线 在其上一点,的两侧凹凸性相反，则称此点为曲线 的,拐点,.,x,y,o,y,=,f,(,x,),注：,拐点是凹弧与凸弧的分界点,23,定义2 若连续曲线 在,证,24,证24,注意,:,例如,例如,y,x,o,y,x,o,25,注意:例如,例如,yxoyxo25,1,写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数,2,求出二阶导函数的零点、和不存在的点,3,检查这些点左右两侧符号，从而判定曲线的凹凸性,注意,判断曲线的凹凸性和拐点的步骤：,26,1写出函数的定义域，并求出函数的导数及二阶导数2求出二阶,例,7.,求曲线,的凹凸区间及拐点,.,解,:,1),求,2),求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3),列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点,(0,1),及,均为拐点,.,凹,凹,凸,27,例7.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑,例,8,讨论 的凹凸性及拐点,.,解：,x,y,o,1,x,0,0,不存在,y,凸,拐点,凹,非拐点,凹,28,例8 讨论 的凹凸性及拐点.解：xy,曲线的,凹凸性,反映的是,不等式,关系：,(1),若曲线的图形是,凹,的（即 ），则有,(2),若曲线的图形是,凸,的（即 ），则有,注：,利用凹凸性也可以证明一些不等式。,29,曲线的凹凸性反映的是不等式关系：(1)若曲线的图形是凹的,例,9,解,30,例9解30,31,例,10,31,31例1031,2.,曲线凹凸与拐点的判别,+,拐点,连续曲线上凹凸弧的分界点,小结,1.,可导函数单调性判别,在,I,上单调递增,在,I,上单调递减,32,2.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上凹凸弧的分界点,思考题,33,思考题33,思考题解答,不能断定,.,例,但,34,思考题解答不能断定.例但34,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增,35,当 时，当,
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