人教A版高中数学必修空间中直线与直线之间的位置关系课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学必修2,2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系,数学必修22.1.2空间中直线与直线之间的位置关系,A,B,C,D,复习与准备：平面内两条直线的位置关系,相交直线,平行直线,相交直线,（有一个公共点）,平行直线,（无公共点）,两路相交,立交桥,立交桥中,两条路线AB,CD,a,b,o,a,b,既不平行，又不相交,ABCD复习与准备：平面内两条直线的位置关系相交直线平行直线,A,B,C,D,六角螺母,ABCD六角螺母,两直线异面的判别二,:,两条直线,不同在任何一个平面内.,1.异面直线的定义,:,不同在,任何,一个平面内的两条直线叫做异面直线。,两直线异面的判别一:,两条直线,既不相交、又不平行.,1.异面直线的定义:不同在 任何 一个平面,相交直线：,同一平面内，有且只有一个公共点；,共面直线,平行直线：,同一平面内，没有公共点；,异面直线：,不同在任何一个平面内，没有公共点。,空间中直线与直线之间的位置关系,空间两条直线的位置关系有且只有三种：,相交直线：,按平面基本性质分,同在一个平面内,相交直线,平行直线,不同在任何一个平面内:,异面直线,有一个公共点:,按公共点个数分,相交直线,无 公 共 点,平行直线,异面直线,空间中直线与直线之间的位置关系,按平面基本性质分同在一个平面内相交直线平行直线 不同在任何,a,与b是,相交,直线,a,与b是,平行,直线,a,与b是,异面,直线,a,b,M,答：,不一定,：它们可能异面，可能相交，也可能平行。,分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？,a,b,a,b,合作探究一,a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不,2.异面直线的画法,说明:画异面直线时,为了,体现,它们不共面的特点。,常借,助一个或两个平面来衬托.,如图：,a,A,b,a,b,(1),b,a,(3),(2),2.异面直线的画法说明:画异面直线时,为了体现如图：a,下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么,AB，CD，EF，GH,这四条线段所在的直线是异面直线的有,对。,D,B,A,C,E,F,H,G,3,直线,EF,和直线,HG,直线,AB,和直线,HG,直线,AB,和直线,CD,探究,下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体,：,我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?,公理：,平行于同一条直线的两条直线互相平行,平行线的传递性,推广,：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行,3、平行公理的推导,如图，长方体,ABCD-ABCD,中，,BB/AA,DD/AA,那么,BB,与,DD,平行吗？,：我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,例1、已知,空间四边形,ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证四边形EFGH是一个平行四边形。,解题思想：,把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题,解立体几何时最主要、最常用的一种方法。,A,B,D,E,F,G,H,C,EH是ABD的中位线,EH BD且EH=BD,同理，FG BD且FG=BD,EH FG且EH=FG,EFGH是一个平行四边形,证明：,连结BD,例1、已知空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，,在例2中，如果再加上条件,AC=BD,，那么四边形,EFGH,是什么图形？,四边形,EFGH,是菱形。,探究,B,C,A,D,E,F,H,G,在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形E,在正方体ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，直线 AB与C,1,D,1,，,AD,1,与 BC,1,是什么位置关系？为什么？,解：,C,1,A,B,C,D,A,1,B,1,D,1,1）ABA,1,B,1,，C,1,D,1,A,1,B,1,，,AB C,1,D,1,2）AB C,1,D,1,，且AB=C,1,D,1,ABC,1,D,1,为平行四边形,故AD,1,BC,1,练习,在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线 AB与C1D1,：,在平面内,我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角的,两边分别平行，那么这两个角相等或互补”空间中这一结,论是否仍然成立呢？,定理（等角定理）：,空间中，如果两个角的两边分别对应平行，,那么这两个角相等或互补,观察:如图所示,长方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,ADC与A,1,D,1,C,1,ADC与A,1,B,1,C,1,两边分别对应平行,这两组角的大小,关系如何?,答:从图中可看出,ADC=A,1,D,1,C,1,ADC+A,1,B,1,C,1,=180,O,D,1,C,1,B,1,A,1,C,A,B,D,：在平面内,我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角,人教A版高中数学必修空间中直线与直线之间的位置关系课件,3.异面直线所成的角,在平面内,两条直线相交成四,个角,其中不大于90度的角称为它,们的夹角,用以刻画两直线的错开,程度,如图.,在空间,如图所示,正方体ABCD,EFGH中,异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?,A,B,G,F,H,E,D,C,O,(2)问题提出,(1)复习回顾,3.异面直线所成的角 在平面内,两条直线相交成四,如图所示，,a，b是两条,异面直线，,在空间中任选一点,O，,过,O点分别作 a，b的平行线 a和 b，,a,b,P,a,b,O,则这两条线所成,的锐角（或直角），,称为,异面直线,a，b所成的角。,？,O,a,(3)解决问题,思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题,思考:,这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?,如果两条异面直线,a,b,所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为,a,b,异面直线所成的角的范围,(0,90,o,o,如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分,思考:,这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小,是否改变?,a,a,a,a,a,a,(公理4),解答：,如图,设,a,与,b,相交所成的角为1,a,与,b,所成的角为2,同理,b,b,1=2,(等角定理),b,a,O,1,a,a,b,2,答:,这个角的大小与O点的位置,无关.,思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同,在求作异面直线所成的角时,O点,常选在其中的一条直线上,(如线段的,端点,线段的,中点,等),下图长方体中,平行,相交,异面,BD 和FH是,直线,EC 和BH是,直线,BH 和DC是,直线,B,A,C,D,E,F,H,G,(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有,条?,4,分别是：CG、HD、GF、HE,课后思考,:,这个长方体的棱中共有多少对异面直线?,(1)说出以下各对线段的位置关系?,例2,下图长方体中平行相交异面 BD 和FH是,A,B,G,F,H,E,D,C,例3,如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求,(1)BE与CG所成的角？,(2)FO与BD所成的角？,（3）那些棱所在的直线与直线EA垂直？,解:,(1)如图:,BF,CG，,EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，,又,BEF中,EBF,=45,，所以,BE与CG所成的角是,45,o,o,O,连接HA、AF，,依题意知O为AH中点,HFO=30,o,(2)连接FH，,所以,FO与BD所成的夹角是30,o,四边形BFHD为平行四边形，HFBD,HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角,HD EA，EA FB,HD FB,=,=,=,则AH=HF=FA,AFH为等边,AB、BC、CD、DA、EF、FG、GH、HE,ABGFHEDC例3 如图，正方体ABCD-,求异面直线所成的角的步骤是:,一作(找)：作（或找）平行线,二证：证明所作的角为所求的异,面直线所成的角。,三求：在一恰当的三角形中求出角,求异面直线所成的角的步骤是:,例4：,长方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,，,AB,=,AA,1,=,2cm，,AD,=,1cm，求异面直线,A,1,C,1,与,BD,1,所成角的余弦值.,取,BB,1,的中点,M,，连,O,1,M,，则,O,1,M,D,1,B,，,如图，连,B,1,D,1,与,A,1,C,1,交于,O,1,，,于是,A,1,O,1,M,就是异面直线,A,1,C,1,与,BD,1,所成的角（或其补角）,O,1,M,D,B,1,A,1,D,1,C,1,A,C,B,解：,例4：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm,例4,：,长方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,，,AB,=,AA,1,=,2cm，,AD,=,1cm，求异面直线,A,1,C,1,与,BD,1,所成角的余弦值.,于是,A,1,O,1,M,就是异面直线,A,1,C,1,与,BD,1,所成的角（或其补角），,取,BB,1,的中点,M,，连,O,1,M,，则,O,1,M,D,1,B,，,如图，连,B,1,D,1,与,A,1,C,1,交于,O,1,，,解：,O,1,M,D,B,1,A,1,D,1,C,1,A,C,B,由余弦定理得,A,1,C,1,与,BD,1,所成角的余弦值为,方法归纳：,平移法,连,A,1,M,，在,A,1,O,1,M,中,即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角.,例4：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm,解法二,：,方法归纳：,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系.,在,A,1,C,1,E,中，,由余弦定理得,A,1,C,1,与,BD,1,所成角的余弦值为,如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面,连结,A,1,E,，,C,1,E,，则,A,1,C,1,E,为,A,1,C,1,与,BD,1,所成的角,(或补角)，,F,1,E,F,E,1,B,D,B,1,A,1,D,1,C,1,A,C,BC,1,的长方体,B,1,F,，,解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，,如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2,(1)求BC 和EG 所成的角是多少度?,(2)求AE 和BG 所成的角是多少度?,解答：,(1)GFBC,EGF（或其补角）为所求.,RtEFG中，求得EGF=45,o,(2)BFAE,FBG（或其补角）为所求,RtBFG中，求得FBG=60,o,5.课堂练习,A,B,G,F,H,E,D,C,2,如图,已知长方体ABCD-EFGH,不同在,任何,一个平面内的两条直线叫做异面直线。,异面直线的定义,:,相交直线,平行直线,异面直线,空间两直线的位置关系,6.课堂小结,公理：,在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行,异面直线的求法:,一作(找)二证三求,空间中，如果两个角的两边分别对应平行，,那么这两个角相等或互补,等角定理：,异面直线的画法,用平面来衬托,异面直线所成的角,平移，转化为相交直线所成的角,不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定,例5、在正四面体ABCD（四个面是全等,的等边三角形的几何体,）中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE与BD所成角的余弦值。,A,B,C,D,E,F,例5、在正四面体ABCD（四个面是全等的等边三角形的几何体）,1、正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中,AC,、,BD,交于,O,则,OB,1,与,A,1,C,1,所成的角的度数为,A,1,B,1,C,1,D,1,A,B,C,D,O,练习,90,0,A1B1C1D1ABCDO练习9