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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,www.1230.org 初中数学资源网,*,7.5,三角形内角和定理,第七章 平行线的证明,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第,2,课时 三角形的外角,7.5 三角形内角和定理第七章 平行线的证明导入新课讲授新,学习目标,1.,了解并掌握三角形的外角的定义（重点）,2.,掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算（难点）,学习目标1.了解并掌握三角形的外角的定义（重点）,导入新课,复习引入,1.,在,ABC,中，,A=80,B=52,则,C=.,3.,什么是三角形的内角？其内角和等于多少？,48,三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，,它们的和是,180.,2.,如图，在,ABC,中，,A=70,B=60,则,ACB=，ACD=.,A,B,C,D,50,130,导入新课复习引入1.在ABC中，A=80,B=52,B,D,C,A,O,40,70,？,问题：发现懒洋洋独自在,O,处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从,A,前进到,C,处，然后再折回到,B,处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在,A,处拦截懒洋洋，已知,BAC=40,，,ABC=70.,灰太狼从,C,处要转多少度角才能直达,B,处？,BDCAO40 70？问题：发现懒洋洋独自,利用“三角形的内角和为,180”,来求,BCD,，你会吗？,思考：像,BCD,这样的角有什么特征吗？猜想它的性质,.,这节课让我们一起来探讨吧,.,B,D,C,A,O,40,70,？,由三角形内角和易得,BCA=180,A,CBA=70,，,所以,BCD=180,BCA=110.,利用“三角形的内角和为180”来求BCD，你会吗？思考：,讲授新课,三角形的外角的概念,一,定义,如图，把,ABC,的一边,BC,延长，得到,ACD,，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角,.,ACD,是,ABC,的一个外角,C,B,A,D,讲授新课三角形的外角的概念一定义ACD是ABC的一个外角,问题,1,如图，延长,AC,到,E,BCE,是不是,ABC,的一个外角？,DCE,是不是,ABC,的一个外角？,E,在三角形每个顶点处都有两个外角,.,ACD,与,BCE,为对顶角，,ACD=BCE,；,C,B,A,D,BCE,是,ABC,的一个外角，,DCE,不是,ABC,的一个外角,.,问题,2,如图，,ACD,与,BCE,有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？,问题1 如图，延长AC到E,BCE是不是ABC的一个外,A,B,C,画一画 画出,ABC,的所有外角，共有几个呢,?,每一个三角形都有,6,个外角,每一个顶点相对应的外角都有,2,个，且这,2,个角为对顶角,.,ABC画一画 画出ABC的所有外角，共有几个呢?,三角形的外角应具备的条件：,角的顶点是三角形的顶点；,角的一边是三角形的一边；,另一边是三角形中一边的延长线,.,ACD,是,ABC,的一个外角,C,B,A,D,每一个三角形都有,6,个外角,总结归纳,三角形的外角应具备的条件：角的顶点是三角形的顶点；ACD,F,A,B,C,D,E,如图,BEC,是哪个三角形的外角？,AEC,是哪个三角形的外角？,EFD,是哪个三角形的外角？,BEC,是,AEC,的外角,;,AEC,是,BEC,的外角,;,EFD,是,BEF,和,DCF,的外角,.,练一练,FABCDE如图,BEC是哪个三角形的外角？AEC是哪,三角形的外角,A,C,B,D,相邻的内角,不相邻的内角,三角形的外角的性质,二,问题,1,如图，,ABC,的外角,BCD,与其相邻的内角,ACB,有什么关系？,BCD,与,ACB,互补,.,三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角三角形的外角的性质,问题,2,如图，,ABC,的外角,BCD,与其不相邻的两内角,(A,，,B),有什么关系？,三角形的外角,A,C,B,D,相邻的内角,不相邻的内角,A+B+ACB=180,，,BCD+ACB=180,，,A+B=BCD.,你能用作平行线的方法证明此结论吗？,问题2 如图，ABC的外角BCD与其不相邻的两内角(,D,证明：过,C,作,CE,平行于,AB,，,A,B,C,1,2,1=B,，,（两直线平行，同位角相等）,2=A,，,（两直线平行，内错角相等）,ACD=1+2=A+B.,E,已知：如图，,ABC,，求证：,ACD=A+B.,验证结论,D证明：过C作CE平行于AB，ABC121=B，,如图 ，试比较,2,、,1,的大小；,如图 ，试比较,3,、,2,、,1,的大小,.,图,图,解：,2=1+B,2,1.,解：,2=1+B,3=2+D,3,2,1.,拓展探究,如图 ，试比较2、1的大小；如图 ，试比较3,性质,1,：三角形的一个外角等于,与它不相邻的两个内角的和,.,性质,2,：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角,.,A,B,C,D,三角形外角的性质：,B+C=CAD,CAD B,，,CAD C,归纳总结,性质1：三角形的一个外角等于 性质2：三角形的一个外角大于任,练一练：说出下列图形中,1,和,2,的度数：,A,B,C,D,(,(,(,80,60,(,2,1,(1),A,B,C,(,(,(,(,2,1,50,32,(2),1=40,2=140,1=18,2=130,练一练：说出下列图形中1和2的度数：ABCD(80,例,1,如图,在,ABC,中,AD,平分外角,EAC,B=C.,求证,:ADBC.,A,C,D,B,E,典例精析,例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实,.,证法一,:EAC=B+C(,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,),B=C(,已知,),C=EAC(,等式的性质,).,AD,平分,EAC(,已知,).,DAC=EAC(,角平分线的定义,).,DAC=C(,等量代换,).,ADBC(,内错角相等,两直线平行,).,例1 如图,在ABC中,AD平分外角EAC,B=,证法二,:,推理可得,:,DAC=C(,已证,),BAC+B+C=180(,三角形内角和定理,).,BAC+B+DAC=180(,等量代换,).,ADBC(,同旁内角互补,两直线平行,).,这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实,.,A,C,D,B,E,这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.AC,例,2,如图,P,是,ABC,内一点，连接,PB,，,PC.B=C.,求证,:BPC,A.,证明,:,如图，延长,BP,，交,AC,于点,D.,BPC,是,PDC,的一个外角,(,外角定义,),BPCPDC(,三角形的一个外角,大于和它不相邻的任何一个内角,).,PDC,是,ABD,的一个外角,(,外角定义,),PDCA,(,三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角,).,BPCA.,（不等式的性质）,A,B,C,P,D,还有其他证明方法吗？,例2 如图,P是ABC内一点，连接PB，PC.B=,1.,若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是,(),A.,直角三角形,B.,锐角三角形,C.,钝角三角形,D.,无法确定,C,2.,如图所示,若,A=32,B=45,C=38,则,DFE,等于,(),A.120 B.115 C.110 D.105,F,E,D,C,B,A,B,练一练,1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是,例,3,如图,A=42,ABD=28,ACE=18,求,BFC,的度数,.,BEC,是,AEC,的一个外角，,BEC=A+ACE,，,A=42,，,ACE=18,，,BEC=60.,BFC,是,BEF,的一个外角，,BFC=ABD+BEF,，,ABD=28,，,BEC=60,，,BFC=88.,解：,F,A,C,D,E,B,典例精析,例3 如图,A=42,ABD=28,ACE=18,例,4,如图，,P,为,ABC,内一点，,BPC,150,，,ABP,20,，,ACP,30,，求,A,的度数,解析：延长,BP,交,AC,于,E,或连接,AP,并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出,A,的度数,E,例4 如图，P为ABC内一点，BPC150，解析：,解：延长,BP,交,AC,于点,E,，,则,BPC,，,PEC,分别为,PCE,，,ABE,的外角，,BPC,PEC,PCE,，,PEC,ABE,A,，,PEC,BPC,PCE,150,30,120.,A,PEC,ABE,120,20,100.,解：延长BP交AC于点E，,【,变式题,】(,一题多解,),如图，,A=51,，,B=20,，,C=30,，求,BDC,的度数,.,A,B,C,D,(,(,(,51,20,30,思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题,.,【变式题】(一题多解)如图，A=51，B=20，A,A,B,C,D,(,(,20,30,解法一：连接,AD,并延长于点,E.,在,ABD,中，,1+ABD=3,，,在,ACD,中，,2+ACD=4.,因为,BDC=3+4,，,BAC=1+2,，,所以,BDC=BAC+ABD+ACD,=51+20+30=101.,E,),),1,2,),3,),4,你发现了什么结论？,ABCD(20 30 解法一：连接AD并延长于点E.E,A,B,C,D,(,(,(,51,20,30,E,),1,解法二：延长,BD,交,AC,于点,E.,在,ABE,中，,1=ABE+BAE,，,在,ECD,中，,BDC=1+ECD.,所以,BDC,=BAC+ABD+ACD,=51+20+30=101.,解法三,:,连接延长,CD,交,AB,于点,F,（解题过程同解法二）,.,),2,F,解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解,.,总结,ABCD(51 20 30 E)1解法二：延长B,三角形的外角和,三,例,5,如图，,BAE,CBF,ACD,是,ABC,的三个外角，它们的和是多少？,解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得,BAE=2+3,，,CBF=1+3,ACD=1+2.,又知,1+2+3=180,，,所以,BAE+CBF+ACD,=2(1+2+3)=360.,A,B,C,E,F,D,(,(,(,(,(,(,2,1,3,你还有其他解法吗？,三角形的外角和三例5 如图，BAE,CBF,A,解法二：如图，,BAE+1=180 ,，,CBF+2=180 ,，,ACD+3=180 ,，,又知,1+2+3=180,，,+,得,BAE+CBF+ACD,+(1+2+3)=540,，,所以,BAE+CBF+ACD=540-180=360.,A,B,C,E,F,D,(,(,(,(,(,(,2,1,3,解法二：如图，BAE+1=180 ，ABCEF,解法三：过,A,作,AM,平行于,BC,，,3,4,B,C,1,2,3,4,A,2,BAM,，,所以,1,2,3,1,4,BAM=360,M,2,3,4,BAM,，,结论：三角形的外角和等于,360.,思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？,D,E,F,解法三：过A作AM平行于BC，3 4BC1234A2,当堂练习,1.,判断下列命题的对错,.,（,1,）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和,.,（）,（,2,）三角形的外角和等于它的内角和的,2,倍,.,（）,（,3,）三角形的一个外角等于两个内角的和,.,（）,（,4,）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,.,（）,（,5,）三角形的一个外角大于任何一个内角,.,（）,（,6,）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角,.,（）,当堂练习 1.判断下列命题的对错.,2.,如图，,AB/CD,，,A
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