例谈“一线三等角”课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,寻图形之关联 搭模型之框架,例谈“一线三等角”,寻图形之关联 搭模型之框架例谈“一线三等角”,缘从何起,数学离不开解题，解题教学是数学教学的重要组成部分。,著名数学大师华罗庚曾说：“学数学不做题目，等于入宝山而空返,”,；著名数学教育家波利亚说：“掌握数学就意味着要善于解题”。毋庸讳言，初中三年的数学教学的成与败，将直接体现在学生中考两个小时的解题能力上。,因此，数学教师加强对中考数学解题的研究，有着极其重要的现实意义。,缘从何起 数学离不开解题，解题教学是数学教学的,缘从何起,在近些年的数学中考复习中，模型教学与渗透越来越受到广大数学教师的关注，而在众多的基本模型中，相似模型,（含全等模型）,因其种类多、图形美、内涵丰富，常常成为各类公开课和展示课上的“嘉宾”。而“一线三等角”模型作为其中的“翘楚”，更是受到了许多中考命题者的青睐，以其为基本框架而精心设计的试题，在近些年各省市的中考中，屡见不鲜，精彩纷呈（,2018,年连云港市中考数学就考到了两题，且均为压轴题）。其中有些试题，“一线三等角”直接跃然于纸上，让人一目了然，茅塞顿开；另有部分试题，“一线三等角”并非直观呈现，而是隐藏在所给的图形中，这就需要我们通过观察辨别和分析探究，合理地予以构造，挖掘出图中隐藏的“一线三等角”。,缘从何起 在近些年的数学中考复习中，模型教学与渗透越来,追根溯源,追根溯源,追根溯源,你会证明勾股定理吗？,你能用至少三种方法证明勾股定理吗？,追根溯源你会证明勾股定理吗？你能用至少三种方法证明勾股定理吗,“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是,有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,（包含全等图形）,。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”，有的地区叫“,K,型图,”，也有的地区叫“,M,型图,”，在这里我们统一称为“一线三等角”。,在连云港，主要考察的是“一线三直角”。,追根溯源,“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角,一线三等角的呈现形式有三种：,直角形、锐角形、钝角形。,一线三等角的呈现形式有三种：,模型呈现,直角形“一线三等角”,结论：,ADB,CEA,“一线三直角”,模型呈现直角形“一线三等角”结论：ADBCEA“一,模型呈现,锐角形“一线三等角”,结论：,ADB,CEA,CAB,模型呈现锐角形“一线三等角”结论：ADBCEACA,模型呈现,钝角形“一线三等角”,结论：,ADB,CEA,CAB,模型呈现钝角形“一线三等角”结论：ADBCEACA,模型呈现,一线三等角,直角形“一线三等角”,锐角形“一线三等角”,钝角形“一线三等角”,ADB,CEA,ADB,CEA,ADB,CEA,最特殊,考到几,率最大,模型呈现一线三等角直角形“一线三等角”锐角形“一线三等角”钝,下面我们一起研究“一线三等角”常见的四种类型。,下面我们一起研究“一线三等角”常见的四种类型。,模型应用,类型一 三角齐见，模型自现,（,2018,连云港,16,）如图，,E,、,F,、,G,、,H,分别为矩形,ABCD,的边,AB,、,BC,、,CD,、,DA,的中点，连接,AC,、,HE,、,EC,，,GA,，,GF,已知,AG,GF,，,AC,=,，则,AB,的长为,在,Rt,DAC,中，利用勾股定理可求,DC,模型应用类型一 三角齐见，模型自现（2018连云港16,模型应用,类型一 三角齐见，模型自现,（,2017,四川绵阳,17,）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点,D,在,AB,边上，,DEF,绕点,D,旋转，腰,DF,和底边,DE,分别交,CAB,的两腰,CA,，,CB,于,M,，,N,两点，若,CA,=5,，,AB=,6,，,AD,:,AB=,1:3,，则 的最小值为,模型应用类型一 三角齐见，模型自现（2017四川绵阳1,以上两例都是典型的“一线三等角”试 题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的难度 两道题虽涉及不同的图形变换，但解法本质一 致，均为利用模型构建比例式解决问题 两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想,模型应用,类型一概述,以上两例都是典型的“一线三等角”试 题，由于模,模型应用,类型二 隐藏局部，小修小补,（,2017,泰安,14,）如图，在正方形,ABCD,中，,M,为,BC,上一点，,ME,AM,，,ME,交,AD,的延长线于点,E,，若,AB,=12,，,BM,=5,，则,DE,的长为（）,F,模型应用类型二 隐藏局部，小修小补（2017泰安14）,模型应用,类型二 隐藏局部，小修小补,（,2017,丽水,16,）如图，在平面直角坐标系,xOy,中，直线,y,=-,x,+,m,分别交,x,轴、,y,轴于点,A,、,B,，已知点,C,（,2,0,）。,（,2,）设点,P,为线段,OB,的中点，连接,PA,、,PC,，若,CPA,=,ABO,，则,m,的值是,。,模型应用类型二 隐藏局部，小修小补（2017丽水16）,模型应用,类型二概述,上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景，但图形的共性较明显,:,均将原有“一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图中的几何模型两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查，提升了学生思维的层次性和灵活性,模型应用类型二概述 上述两道题虽分别以四边形和一,模型应用,类型三 一角独处，两侧添补,（,2015,连云港,16,）如图，在,ABC,中，,BAC,=60,，,ABC,=90,，直线,l,1,l,2,l,3,，,l,1,与,l,2,之间的距离是,1,，,l,2,与,l,3,之间的距离是,2,，,l,1,、,l,2,、,l,3,分别经过点,A,、,B,、,C,，则边,AC,的长为,。,“矩形大法”,在,Rt,ADB,中，,BD=1,可求,AB,则,AC=2AB,模型应用类型三 一角独处，两侧添补（2015连云港16,模型应用,类型三 一角独处，两侧添补,（变式题,1,）如图，,l,1,、,l,2,、,l,3,是同一平面内的三条平行直线，,l,1,与,l,2,之间的距离是,1,，,l,2,与,l,3,之间的距离是,2,，等边,ABC,的三顶点分别在,l,1,、,l,2,、,l,3,上，则,ABC,的边长,a,为,。,BDF=60,，,BF=1,CEG=60,，,CG=3,AF,已知，,BF=1,利用勾股定理可求,AB,模型应用类型三 一角独处，两侧添补（变式题1）如图，l1,模型应用,类型三 一角独处，两侧添补,（变式题,1,）如图，,l,1,、,l,2,、,l,3,是同一平面内的三条平行直线，,l,1,与,l,2,之间的距离是,1,，,l,2,与,l,3,之间的距离是,2,，正三角形,ABC,的三顶点分别在,l,1,、,l,2,、,l,3,上，则,ABC,的边长,a,为,。,D,为,GF,中点，,DG=DF=GE=1,则,ED=2.,在,Rt,DFC,中，,DF=1,FC,已知，可求,DC.,模型应用类型三 一角独处，两侧添补（变式题1）如图，l1,模型应用,类型三 一角独处，两侧添补,（变式题,2,）如图，在平面直角坐标系中，点,A,（,0,），点,B,（,4,0,），点,C,在第一象限内，若,ABC,为等边三角形，则点,C,的坐标为,。,模型应用类型三 一角独处，两侧添补（变式题2）如图，在平面,模型应用,类型三 一角独处，两侧添补,（,2018,连云港,8,）如图，菱形,ABCD,的两个顶点,B,、,D,在反比例函数 的图象上，对角线,AC,与,BD,的交点恰好是坐标原点,O,，已知点,A,（,1,，,1,），,ABC,=,60,，则,k,的值是（）,A,5,B,4,C,3,D,2,因为,OAF,的面积为,所以,BOE,的面积为,模型应用类型三 一角独处，两侧添补（2018连云港8）,模型应用,类型三 一角独处，两侧添补,（,2017,株洲,17,）如图，一块,30,、,60,、,90,的直角三角板，直角顶点,O,位于坐标原点，斜边,AB,垂直于,x,轴，顶点,A,在函数 （其中,x,0,）的图像上，顶点,B,在函数 （其中,x,0,）的图像上，,ABO,=30,，则,=,。,模型应用类型三 一角独处，两侧添补（2017株洲17）,模型应用,类型三 一角独处，两侧添补,（,2017,徐州,27,）如图，已知二次函数 的图象与,x,轴交于,A,、,B,两点，与,y,轴交于点,C,，,C,的半径为 ，,P,为,C,上一动点,.,（,2,）是否存在点,P,，使得,PBC,为直角三角形？若存在，求出点,P,的坐标；若不存在，请说明理由。,直角三角形存在性问题,模型应用类型三 一角独处，两侧添补（2017徐州27）,（,2015,连云港,27,）如图，已知一条直线过点（,0,4,），且与抛物线 交于,A,，,B,两点，其中点,A,的横坐标是,-,2,（,2,）在,x,轴上是否存在点,C,，使得,ABC,是直角三角形？若存在，求出点,C,的坐标；若不存在，请说明理由；,模型应用,类型三 一角独处，两侧添补,（2015连云港27）如图，已知一条直线过点（0,上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴含 知识技能、思想方法、数学模型于图形之中，题中的“特殊角”是解题的关键，也是搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的来源与“脚手架”这几道题实质上都是考查学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况,模型应用,类型三概述,上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴含 知识技能,模型应用,类型四 线角齐藏，经验来帮,（,2017,金华,15,）如图，已知点,A,(,2,3,),和点,B,(,0,2,),点,A,在反比例函数 的图像上作射线,AB,，再将射线,AB,绕点,A,按逆时针方向旋转,45,交反比例函数图像于点,C,，则点,C,的坐标为,把,D,点坐标代入直线,AB,的解析式,模型应用类型四 线角齐藏，经验来帮（2017金华15）,模型应用,类型四概述,本题实质上以图形的旋转为问题的切入点，较好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运动的同时，自发地利用题中所蕴含的特殊角，展开适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经验，搭建模型框架。本题意在寻求突破，体现分层考查，有着较好的考试信度与效度,模型应用类型四概述 本题实质上以图形的旋转为问题,通过上述四种应用类型的后三种，我们不难发现：对于有些中考试题，“一线三等角”并非直观、完整地呈现，而是在原图中隐藏了局部或全部结构，因此思维层次随之提升。若我们能充分利用题中所给的已知角或挖掘图中隐藏的特殊角，