函数的奇偶性

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,人教版必修一,新课标,数学,1,3.2,奇偶性,第,1,课时函数奇偶性的概念,目,标,要,求,热,点,提,示,1.,结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；,2,掌握判断函数奇偶性的方法,.,利用函数奇偶性概念来判断函数奇偶性是本课时的热点内容,.,我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，如和谐美、自然美、对称美,下图中的图标给我们什么感觉呢？如果给下图中的图标建立适当的坐标系，我们不难发现它们有的关于,y,轴对称，有的关于坐标原点对称图象关于,y,轴对称和关于坐标原点对称的函数是什么特殊函数呢？,1,偶函数,(1),定义：如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,，都有,f,(,x,),，那么函数,f,(,x,),叫做偶函数,(2),几何意义：定义域关于原点对称；图象关于,对称,f,(,x,),y,轴,温馨提示：,函数,f,(,x,),是偶函数,对定义域内任意一个,x,，有,f,(,x,),f,(,x,),0,f,(,x,),的图象关于,y,轴对称,2,奇函数,(1),定义：如果对于函数,f,(,x,),的定义域内任意一个,x,，都有,f,(,x,),，那么函数,f,(,x,),叫做奇函数,(2),几何意义：定义域关于原点对称；图象关于,对称,f,(,x,),原点,温馨提示：,函数,f,(,x,),是奇函数,对定义域内任意一个,x,，有,f,(,x,),f,(,x,),0,f,(,x,),的图象关于原点对称,3,奇偶性,(1),定义：如果函数,f,(,x,),是奇函数或是偶函数，那么就说函数,f,(,x,),具有奇偶性,(2),几何意义：定义域关于,对称；图象关于原点或,y,轴对称,原点,温馨提示：,函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上的性质，是,“,整体性质,”,，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是,“,局部,”,性质,1,函数,y,x,4,x,2,(,),A,是奇函数,B,是偶函数,C,既是奇函数又是偶函数,D,既不是奇函数也不是偶函数,解析：,定义域是,R,，,f,(,x,),(,x,),4,(,x,),2,x,4,x,2,f,(,x,),，所以是偶函数,答案：,B,解析：,定义域是,(,，,1),(,1,，,),，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数,答案：,D,4,(2010,北京师大附中高一检测,),已知函数,f,(,x,),ax,2,bx,3,a,b,是偶函数，且定义域为,a,1,2,a,，则,a,_,，,b,_.,思路分析：,利用函数奇偶性的定义判断,解：,(1),定义域为,R,，,f,(,x,),(,x,),3,(,x,),x,3,x,f,(,x,),，,f,(,x,),为奇函数,(2),定义域为,x,|,x,1,或,x,1,，定义域关于原点不对称，,f,(,x,),为非奇非偶函数,(3),定义域为,2,2,，任取,x,2,2,，则,x,2,2,f,(,x,),0,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),既是奇函数又是偶函数,温馨提示：,证明函数奇偶性必须用定义：任取,x,D,，则,x,D,，,f,(,x,),f,(,x,),如果,D,不关于原点对称，立刻否定有奇偶性因为它不满足任意,x,D,，则,x,D,.,判断函数奇偶性方法很多，如奇函数奇函数奇函数，奇函数,偶函数奇函数，奇函数,奇函数偶函数等等,思路分析：,由题目可获取以下主要信息：,已知函数为分段函数；,判断此函数的奇偶性,解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明,解：,(1),当,x,0.,f,(,x,),(,x,),2,2(,x,),3,x,2,2,x,3,f,(,x,),；,(2),当,x,0,时，,x,0,时，,f,(,x,),满足,f,(,x,),x,2,2,x,3,，,x,f,(3),温馨提示：,给出奇函数,(,或偶函数,),在直角坐标平面内的某个半平面上的图象，要作出它的另一个半平面内的图象是依据奇、偶函数图象的对称性其过程是作出原图象几个关键点,(,图象的最高点、最低点、拐点等,),关于原点或,y,轴的对称点然后按原图象的特征用平滑曲线连接这些点，就作出了它们在另一个半平面的图象,温馨提示：,本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力对思维能力要求较高，如果,“,赋值,”,不够准确，运算技能不过关，结果很难获得,解：,(1),函数定义域为,R.,f,(,x,),(,x,),3,(,x,),5,(,x,3,x,5,),f,(,x,),f,(,x,),是奇函数,(2),函数的定义域为,x,|,x,1,不关于原点对称，,函数,f,(,x,),既不是奇函数也不是偶函数,设奇函数,f,(,x,),的定义域为,5,5,若当,x,0,5,时，,f,(,x,),的图象如下图所示，则不等式,f,(,x,)0,的解集是,_,解析：,如下图，根据,y,f,(,x,),，,x,5,5,的图象知,f,(,x,)0,的解集为,x,|,2,x,0,或,2,x,5,答案：,x,|,2,x,0,或,2,x,5,已知,f,(,x,),是定义在,R,上的不恒为零的函数，且对任意的,a,、,b,R,都满足：,f,(,ab,),af,(,b,),bf,(,a,),(1),求,f,(0),、,f,(1),的值,(2),证明,f,(,x,),为奇函数,解：,(1),令,a,b,0,，,f,(0),0,f,(0),0,f,(0),0.,令,a,b,1,，,f,(1),1,f,(1),1,f,(1),2,f,(1),，,f,(1),0.,(2),令,a,b,1,，则,f,(,1),0.,f,(,x,),f,(,1,x,),f,(,x,),xf,(,1),f,(,x,),0,f,(,x,),，,f,(,x,),为奇函数,3,(1),若,f,(,x,),是偶函数，则,f,(,x,),f,(|,x,|),，反之亦真,(2),若,f,(,x,),为奇函数，且,0,在定义域内，则,f,(0),0.,(3),若,f,(,x,),0,且,f,(,x,),的定义域关于原点对称，则,f,(,x,),既是奇函数又是偶函数,(4),奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性,